CURVE PIANE ---> INDICE
Sia P(x, y) un generico punto del piano, in cui è stato fissato un riferimento qualsiasi, affine, metrico, polare.
Definizione - Si chiama curva l'insieme di tutti i punti reali o complessi che con le loro coordinate soddisfano l'equazione
f(x, y) = 0.
Si osserva che, quando si parla di punto in generale, si confonde tale nozione con quella di curva.
Definizione - Si chiama grafico di una curva l'insieme di tutti i punti reali della curva considerata.
Si osserva che, se si fissa un riferimento generico, e se f(x, y) = 0 è l'equazione di una curva,
tale equazione si chiama equazione cartesiana.
Esempi
1)-L'equazione x - 2y + 1 = 0 rappresenta una retta, quindi in tal caso
f(x, y) = 0
rappresenta una retta, inoltre essa comprende infiniti punti reali.
2)-L'equazione (x + 1)2 + (y + 2)2 = 0 rappresenta una circonferenza; tale curva si spezza in due rette complesse e coniugate, essa ha un solo punto reale e tutti gli altri sono complessi e coniugati. In tal caso,
f(x, y) = 0
rappresenta una circonferenza.
3)-L'equazione 2x2 + 3y2 + 1 = 0 rappresenta una curva di cui non si possono determinare coppie di punti reali, quindi la curva non ha punti reali.
Nota bene
Negli esempi 1) e 2) si hanno grafici ben precisati, mentre nell'esempio 3) il grafico risulta vuoto.
Si osserva ora che, se f(x, y) = 0 e se il punto P ha coordinate reali soddisfacenti l'equazione, anche il trasformato di tale punto mediante un'affinità, è reale.
Curve algebriche
Definizione - Una curva si dice algebrica se ammette una rappresentazione cartesiana, f(x,y) = 0, inoltre tale equazione che la rappresenta è algebrica.
Definizione - Se una curva non è algebrica, essa si dice trascendente.
Un esempio di curva trascendente è dato da
y - senx = 0.
Definizione - Considerata l'equazione φ(x, y, t) = 0, con t variabile nell'intervallo [a, b], allora, per ogni valore di t appartenente all'intervallo e sostituito nell'equazione, si ha una curva.
Così operando, si dice che t descrive una famiglia di curve.
Definizione - Considerate le equazioni φ(x, y, t) = 0, Ψ(x, y, t), definite nello stesso intervallo [a, b], con t variabile in tale intervallo, allora, per ogni t appartenente all'intervallo si hanno due curve φ(x, y, t0) = 0, Ψ(x, y, t0), che hanno punti in comune al variare di t.
Tali punti variano nel piano descrivendo una curva che si dice rappresentata in forma parametrica dalle due equazioni, che rappresentano le due famiglie di curve considerate.
Si osserva che, a volte, le equazioni di una curva sono espresse da
che rappresentano una famiglia di rette parallele all'asse x e rispettivamente all'asse y.Si osserva inoltre che, per passare dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana, basta eliminare il parametro.
Si considera ora la seguente famiglia di curve:
con t1, t2, ..., ts parametri.
Si osserva che per ogni valore di t si ha una curva, quindi per passare dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana, basta eliminare il parametro.
Si suppone ora che, quando si passa dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana, si pervenga all'equazione f(x, y) = 0.
Quindi la curva rappresentata da f(x, y) = 0, contiene quella rappresentata dalla forma parametrica, cioè se
Inoltre, se
0 ≤ t < 2π
0 < |x| ≤ 1, 0 < |y| ≤ 1.
Se si considera l'equazione x - y = 0, non è necessaria alcuna limitazione, perchè la curva rappresentata da tale equazione è una retta passante per i punti di coordinate (1, 1) e (-1, -1).
Si osserva ora che quando si eliminano i parametri, la retta contiene la curva data, però può capitare che essa contenga altri rami di curva o altri punti, che rispettivamente prendono il nome di rami parassiti e di punti parassiti.
Definizione - Una curva algebrica Cn, di ordine n, si dice irriducibile se, considerata la sua rappresentazione f(x, y) = 0, il suo polinomio è irriducibile nel campo complesso.
Definizione - Una curva algebrica Cn, di ordine n, si dice riducibile se, considerata la sua rappresentazione f(x, y) = 0, il suo polinomio è riducibile nel campo complesso.
Quindi, tale polinomio si può scomporre come segue:
f(x, y) = f1(x, y) · f2(x, y) · ... · fk(x, y).
Se capita che il grado del polinomio è uguale ad n, mentre il grado dei polinomi fattori è
n1, n2, ..., nk,
si ha:
n = n1 + n2 + ... + nk,
cioè il grado del polinomio è dato dalla somma dei gradi dei polinomi fattori.
Se
e se n1, n2, ..., nr sono i gradi dei polinomi distinti, dev'essere
n = n1h1 + n2h2 + ... + nrhr.
Quindi, l'equazione f(x, y) = 0 è equivalente all'insieme delle equazioni
(*) f1(x, y) = 0, f2(x, y) = 0, ..., fk(x, y) = 0.
Queste sono le rappresentazioni delle curve γ1, γ2, γ3 o, se si vuole, di
Si dice quindi che:
-la curva data si scompone nelle curve irriducibili γ1, γ2, γ3, aventi rispettivamente per equazioni quelle ora considerate.
Tali equazioni si dicono equazioni componenti dell'equazione data.
Se C è una curva, e le sue equazioni sono le (*), si dice che la curva è scomponibile in γ1, γ2, γ3.
Si osserva che il grado dell'equazione che rappresenta una curva algebrica ha significato geometrico ben determinato.
Infatti, se si ha una curva algebrica di grado n di equazione
f(x, y) = 0,
ed una retta di equazione
ax + by + c = 0,
si mostra il significato di n.
Si determinano le intersezioni della curva con la retta, considerando il sistema formato dalle loro equazioni:
Si ottiene così un'equazione che ammette n radici, in corrispondenza di ognuna di esse si ha una soluzione del sistema che individua un punto appartenente alla curva ed alla retta assegnate.
In generale, si hanno n soluzioni, cioè la curva e la retta hanno n punti in comune.
Il numero n prende il nome di ordine della curva.
Si osserva che il sistema è di grado n, cioè Pn(x) = 0, quindi il sistema ammette n soluzioni.
Inoltre, si osserva che una retta del piano interseca una curva algebrica di ordine n, in n punti.
Può capitare, per delle rette particolari, che l'equazione risolutiva, invece di essere di grado n, sia di grado minore di n, cioè se il polinomio
Pn-k(x) = 0,
si hanno n - k punti in comune, quelli di intersezione sono n e k cadono all'infinito.
Può capitare inoltre che l'equazione risolutiva sia indeterminata, e ciò equivale a dire che il sistema è indeterminato.
Allora, ogni soluzione dell'equazione della retta è anche soluzione dell'equazione della curva, cioè la curva contiene la retta. Inoltre, se essa contiene la retta, è riducibile, cioè contiene come sua componente la retta.
Analiticamente, si ha quindi che
f(x, y) = (ax + by + c) · f1(x, y).
La curva si spezza in una retta ed in una curva residua di grado n - 1.
Siccome Cn contiene n rette, il polinomio ammette al massimo n fattori lineari o n rette e quindi le rette contenute nella curva e le n rette hanno le stesse possibilità.
Si osserva infine che, n esprime il numero delle intersezioni della retta generica del piano con la curva.
Corollario
Considerate una curva algebrica di ordine n ed una retta, se si verifica che la retta ha con la curva più di n intersezioni, si deduce che la retta appartiene alla curva.
Esempi di curve algebriche riducibili notevoli
Considerata una curva algebrica di ordine n rappresentata da un'equazione in x di grado n, si osserva che:
Pn(x) = 0
a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0
rappresenta una curva nel piano.
Quindi, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione ammette n radici con il proprio ordine di molteplicità.
Se tali radici sono
α1, α2, ..., αr,
rispettivamente di molteplicità
h1, h2, ..., hr,
si ha che l'equazione suddetta è equivalente alla seguente:
con
1 ≤ h1, h2, ..., hr
N 
h1 + h2 + ... + hr = n 
r ≤ n.
Ciò significa che la curva è riducibile, e quindi si spezza nelle curve di equazioni
x - α1 = 0, da contarsi h1 volte,
x - α2 = 0, da contarsi h2 volte,
...................................................,
x - αr = 0, da contarsi hr volte.
Quindi, la curva data risulta riducibile e si spezza in n rette reali o complesse, distinte o no, che sono parallele all'asse y.
Supposto n ≠ 0, anche xn ≠ 0, quindi ha senso dividere l'equazione suddetta per xn, ottenendo:
Se le radici distinte sono
m1, m2, ..., mr,
rispettivamente di molteplicità
h1, h2, ..., hr,
con
r ≤ m m1h1 + m2h2 + ... + mrhr = 0,
si ha che l'equazione suddetta è equivalente alla seguente:
cioè a
Quindi, l'equazione data risulta equivalente alla (*), allora la curva considerata si spezza in n rette uscenti dall'origine, pertanto si ha:
y - m1x = 0, da contarsi h1 volte,
y - m2x = 0, da contarsi h2 volte,
....................................................,
y - mrx = 0, da contarsi hr volte.
Se capita che
a0,n = a1,n-1 = ak+1,n-k-1 = 0,
l'equazione risulta sempre omogenea, solo che si possono mettere in evidenza alcuni termini, ottenendo:
xk(an,0xn-k + an-1,1xn-k-1y + ... + ak-1,n-k-1yn-k) = 0.
Quindi, la curva data ha come componenti la curva di equazione x = 0 da contarsi k volte ed una curva residua rappresentata da una curva avente equazione
an,0xn-k + an-1,1xn-k-1y + ... + ak-1,n-k-1yn-k = 0,
che rientra nel caso precedentemente esaminato.
Anche in tal caso l'equazione ha componenti reali o complesse, distinte o no, che però passano l'origine.
Si osserva che l'equazione residua ha grado n - k ed ha per componenti n - k rette.
Quindi, la curva rappresentata mediante un'equazione lineare omogenea di grado n in x ed y è una curva che ha come componenti n rette passanti per l'origine.
Nel caso in cui
f(x - x0, y - y0) = 0,
la curva ha come componenti n rette reali o complesse, distinte o no, passanti per il punto P(x0, y0).
Teorema di Bézout
Due curve algebriche di ordine n ed m, Cn e Cm, non aventi punti in comune, s'intersecano in m·n punti, reali o complessi, distinti o no.
La dimostrazione è conseguenza del teorema fondamentale dell'algebra.
Se due curve algebriche di ordine n ed m, Cn e Cm, hanno in comune, m·n punti o m·n + 1 punti, allora le due curve hanno infiniti punti in comune.
Si presentano due casi:
1)-le curve sono riducibili ed hanno due componenti in comune,
2)-una curva è componente dell'altra.
Si osserva ora che l'equazione di una curva algebrica si può ordinare secondo le potenze decrescenti:
φ0 + φ1(x, y) + φ2 (x, y) + ... + φn(x, y) = 0,
dove
φ1(x, y), φ2 (x, y), ..., φn(x, y)
rappresentano rispettivamente il complesso dei termini di 1°, 2°, ..., n° grado.
Si vogliono determinare ora i parametri da cui dipende una curva algebrica.
In generale, φi(x, y) è un polinomio di grado i in x ed y, cioè
φi(x, y) = ai,0x1 + ai-1,1xi-1y + ... + a0,iyi = 0,
ed il termine generico di grado i è il numero dei coefficienti dato da
cioè dalla somma dei primi n termini.
Il numero dei parametri di una curva è dato dal numero dei coefficienti meno uno, cioè da
Si dice quindi che le curve algebriche di ordine n formano un sistema lineare o ad
dimensioni, oppure un sistema lineare ad
dimensioni.
Curve razionali
Una curva C si dice razionale, se ammette una rappresentazione parametrica razionale, cioè se essa è rappresentata da equazioni parametriche razionali:
in cui φ1(t), φ2(t), φ3(t) sono tre polinomi in t, tali che non abbiano fattori costanti in comune.
Si osserva che due dei tre polinomi possono avere fattori costanti in comune.
Se dalla rappresentazione algebrica si elimina il parametro, si passa alla rappresentazione cartesiana.
Viceversa, le curve algebriche sono razionali.
Se una curva ammette una rappresentazione parametrica razionale, ne ammette infinite.
Definizione - Si chiama curva l'insieme di tutti i punti reali o complessi che con le loro coordinate soddisfano l'equazione
f(x, y) = 0.
Si osserva che, quando si parla di punto in generale, si confonde tale nozione con quella di curva.
Definizione - Si chiama grafico di una curva l'insieme di tutti i punti reali della curva considerata.
Si osserva che, se si fissa un riferimento generico, e se f(x, y) = 0 è l'equazione di una curva,
tale equazione si chiama equazione cartesiana.
Esempi
1)-L'equazione x - 2y + 1 = 0 rappresenta una retta, quindi in tal caso
f(x, y) = 0
rappresenta una retta, inoltre essa comprende infiniti punti reali.
2)-L'equazione (x + 1)2 + (y + 2)2 = 0 rappresenta una circonferenza; tale curva si spezza in due rette complesse e coniugate, essa ha un solo punto reale e tutti gli altri sono complessi e coniugati. In tal caso,
f(x, y) = 0
rappresenta una circonferenza.
3)-L'equazione 2x2 + 3y2 + 1 = 0 rappresenta una curva di cui non si possono determinare coppie di punti reali, quindi la curva non ha punti reali.
Nota bene
Negli esempi 1) e 2) si hanno grafici ben precisati, mentre nell'esempio 3) il grafico risulta vuoto.
Si osserva ora che, se f(x, y) = 0 e se il punto P ha coordinate reali soddisfacenti l'equazione, anche il trasformato di tale punto mediante un'affinità, è reale.
Curve algebriche
Definizione - Una curva si dice algebrica se ammette una rappresentazione cartesiana, f(x,y) = 0, inoltre tale equazione che la rappresenta è algebrica.
Definizione - Se una curva non è algebrica, essa si dice trascendente.
Un esempio di curva trascendente è dato da
y - senx = 0.
Definizione - Considerata l'equazione φ(x, y, t) = 0, con t variabile nell'intervallo [a, b], allora, per ogni valore di t appartenente all'intervallo e sostituito nell'equazione, si ha una curva.
Così operando, si dice che t descrive una famiglia di curve.
Definizione - Considerate le equazioni φ(x, y, t) = 0, Ψ(x, y, t), definite nello stesso intervallo [a, b], con t variabile in tale intervallo, allora, per ogni t appartenente all'intervallo si hanno due curve φ(x, y, t0) = 0, Ψ(x, y, t0), che hanno punti in comune al variare di t.
Tali punti variano nel piano descrivendo una curva che si dice rappresentata in forma parametrica dalle due equazioni, che rappresentano le due famiglie di curve considerate.
Si osserva che, a volte, le equazioni di una curva sono espresse da
che rappresentano una famiglia di rette parallele all'asse x e rispettivamente all'asse y.
Si considera ora la seguente famiglia di curve:
con t1, t2, ..., ts parametri.
Si osserva che per ogni valore di t si ha una curva, quindi per passare dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana, basta eliminare il parametro.
Si suppone ora che, quando si passa dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana, si pervenga all'equazione f(x, y) = 0.
Quindi la curva rappresentata da f(x, y) = 0, contiene quella rappresentata dalla forma parametrica, cioè se
Inoltre, se
0 ≤ t < 2π
0 < |x| ≤ 1, 0 < |y| ≤ 1.Se si considera l'equazione x - y = 0, non è necessaria alcuna limitazione, perchè la curva rappresentata da tale equazione è una retta passante per i punti di coordinate (1, 1) e (-1, -1).
Si osserva ora che quando si eliminano i parametri, la retta contiene la curva data, però può capitare che essa contenga altri rami di curva o altri punti, che rispettivamente prendono il nome di rami parassiti e di punti parassiti.
Definizione - Una curva algebrica Cn, di ordine n, si dice irriducibile se, considerata la sua rappresentazione f(x, y) = 0, il suo polinomio è irriducibile nel campo complesso.
Definizione - Una curva algebrica Cn, di ordine n, si dice riducibile se, considerata la sua rappresentazione f(x, y) = 0, il suo polinomio è riducibile nel campo complesso.
Quindi, tale polinomio si può scomporre come segue:
f(x, y) = f1(x, y) · f2(x, y) · ... · fk(x, y).
Se capita che il grado del polinomio è uguale ad n, mentre il grado dei polinomi fattori è
n1, n2, ..., nk,
si ha:
n = n1 + n2 + ... + nk,
cioè il grado del polinomio è dato dalla somma dei gradi dei polinomi fattori.
Se
e se n1, n2, ..., nr sono i gradi dei polinomi distinti, dev'essere
n = n1h1 + n2h2 + ... + nrhr.
Quindi, l'equazione f(x, y) = 0 è equivalente all'insieme delle equazioni
(*) f1(x, y) = 0, f2(x, y) = 0, ..., fk(x, y) = 0.
Queste sono le rappresentazioni delle curve γ1, γ2, γ3 o, se si vuole, di
Si dice quindi che:
-la curva data si scompone nelle curve irriducibili γ1, γ2, γ3, aventi rispettivamente per equazioni quelle ora considerate.
Tali equazioni si dicono equazioni componenti dell'equazione data.
Se C è una curva, e le sue equazioni sono le (*), si dice che la curva è scomponibile in γ1, γ2, γ3.
Si osserva che il grado dell'equazione che rappresenta una curva algebrica ha significato geometrico ben determinato.
Infatti, se si ha una curva algebrica di grado n di equazione
f(x, y) = 0,
ed una retta di equazione
ax + by + c = 0,
si mostra il significato di n.
Si determinano le intersezioni della curva con la retta, considerando il sistema formato dalle loro equazioni:
Si ottiene così un'equazione che ammette n radici, in corrispondenza di ognuna di esse si ha una soluzione del sistema che individua un punto appartenente alla curva ed alla retta assegnate.
In generale, si hanno n soluzioni, cioè la curva e la retta hanno n punti in comune.
Il numero n prende il nome di ordine della curva.
Si osserva che il sistema è di grado n, cioè Pn(x) = 0, quindi il sistema ammette n soluzioni.
Inoltre, si osserva che una retta del piano interseca una curva algebrica di ordine n, in n punti.
Può capitare, per delle rette particolari, che l'equazione risolutiva, invece di essere di grado n, sia di grado minore di n, cioè se il polinomio
Pn-k(x) = 0,
si hanno n - k punti in comune, quelli di intersezione sono n e k cadono all'infinito.
Può capitare inoltre che l'equazione risolutiva sia indeterminata, e ciò equivale a dire che il sistema è indeterminato.
Allora, ogni soluzione dell'equazione della retta è anche soluzione dell'equazione della curva, cioè la curva contiene la retta. Inoltre, se essa contiene la retta, è riducibile, cioè contiene come sua componente la retta.
Analiticamente, si ha quindi che
f(x, y) = (ax + by + c) · f1(x, y).
La curva si spezza in una retta ed in una curva residua di grado n - 1.
Siccome Cn contiene n rette, il polinomio ammette al massimo n fattori lineari o n rette e quindi le rette contenute nella curva e le n rette hanno le stesse possibilità.
Si osserva infine che, n esprime il numero delle intersezioni della retta generica del piano con la curva.
Corollario
Considerate una curva algebrica di ordine n ed una retta, se si verifica che la retta ha con la curva più di n intersezioni, si deduce che la retta appartiene alla curva.
Esempi di curve algebriche riducibili notevoli
Considerata una curva algebrica di ordine n rappresentata da un'equazione in x di grado n, si osserva che:
Pn(x) = 0
a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0rappresenta una curva nel piano.
Quindi, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione ammette n radici con il proprio ordine di molteplicità.
Se tali radici sono
α1, α2, ..., αr,
rispettivamente di molteplicità
h1, h2, ..., hr,
si ha che l'equazione suddetta è equivalente alla seguente:
con
1 ≤ h1, h2, ..., hr
N h1 + h2 + ... + hr = n r ≤ n.Ciò significa che la curva è riducibile, e quindi si spezza nelle curve di equazioni
x - α1 = 0, da contarsi h1 volte,
x - α2 = 0, da contarsi h2 volte,
...................................................,
x - αr = 0, da contarsi hr volte.
Quindi, la curva data risulta riducibile e si spezza in n rette reali o complesse, distinte o no, che sono parallele all'asse y.
Si fa lo stesso ragionamento se l'equazione della curva è un polinomio nella sola y.
Quindi, anche in tale caso la curva data risulta risulta riducibile e si spezza in n rette reali o complesse, distinte o no, che sono parallele all'asse x.
Si consideri ora una curva algebrica Cn rappresentata da un'equazione di grado n, omogenea in x ed y, cioè da:
an,0xn + an-1,1xn-1y + ... + a1,n-1xyn-1 + a0,n = 0.
Quindi, anche in tale caso la curva data risulta risulta riducibile e si spezza in n rette reali o complesse, distinte o no, che sono parallele all'asse x.
Si consideri ora una curva algebrica Cn rappresentata da un'equazione di grado n, omogenea in x ed y, cioè da:
an,0xn + an-1,1xn-1y + ... + a1,n-1xyn-1 + a0,n = 0.
Supposto n ≠ 0, anche xn ≠ 0, quindi ha senso dividere l'equazione suddetta per xn, ottenendo:
Se le radici distinte sono
m1, m2, ..., mr,
rispettivamente di molteplicità
h1, h2, ..., hr,
con
r ≤ m
m1h1 + m2h2 + ... + mrhr = 0,si ha che l'equazione suddetta è equivalente alla seguente:
cioè a
Quindi, l'equazione data risulta equivalente alla (*), allora la curva considerata si spezza in n rette uscenti dall'origine, pertanto si ha:
y - m1x = 0, da contarsi h1 volte,
y - m2x = 0, da contarsi h2 volte,
....................................................,
y - mrx = 0, da contarsi hr volte.
Se capita che
a0,n = a1,n-1 = ak+1,n-k-1 = 0,
l'equazione risulta sempre omogenea, solo che si possono mettere in evidenza alcuni termini, ottenendo:
xk(an,0xn-k + an-1,1xn-k-1y + ... + ak-1,n-k-1yn-k) = 0.
Quindi, la curva data ha come componenti la curva di equazione x = 0 da contarsi k volte ed una curva residua rappresentata da una curva avente equazione
an,0xn-k + an-1,1xn-k-1y + ... + ak-1,n-k-1yn-k = 0,
che rientra nel caso precedentemente esaminato.
Anche in tal caso l'equazione ha componenti reali o complesse, distinte o no, che però passano l'origine.
Si osserva che l'equazione residua ha grado n - k ed ha per componenti n - k rette.
Quindi, la curva rappresentata mediante un'equazione lineare omogenea di grado n in x ed y è una curva che ha come componenti n rette passanti per l'origine.
Nel caso in cui
f(x - x0, y - y0) = 0,
la curva ha come componenti n rette reali o complesse, distinte o no, passanti per il punto P(x0, y0).
Teorema di Bézout
Due curve algebriche di ordine n ed m, Cn e Cm, non aventi punti in comune, s'intersecano in m·n punti, reali o complessi, distinti o no.
La dimostrazione è conseguenza del teorema fondamentale dell'algebra.
Se due curve algebriche di ordine n ed m, Cn e Cm, hanno in comune, m·n punti o m·n + 1 punti, allora le due curve hanno infiniti punti in comune.
Si presentano due casi:
1)-le curve sono riducibili ed hanno due componenti in comune,
2)-una curva è componente dell'altra.
Si osserva ora che l'equazione di una curva algebrica si può ordinare secondo le potenze decrescenti:
φ0 + φ1(x, y) + φ2 (x, y) + ... + φn(x, y) = 0,
dove
φ1(x, y), φ2 (x, y), ..., φn(x, y)
rappresentano rispettivamente il complesso dei termini di 1°, 2°, ..., n° grado.
Si vogliono determinare ora i parametri da cui dipende una curva algebrica.
In generale, φi(x, y) è un polinomio di grado i in x ed y, cioè
φi(x, y) = ai,0x1 + ai-1,1xi-1y + ... + a0,iyi = 0,
ed il termine generico di grado i è il numero dei coefficienti dato da
cioè dalla somma dei primi n termini.
Il numero dei parametri di una curva è dato dal numero dei coefficienti meno uno, cioè da
Si dice quindi che le curve algebriche di ordine n formano un sistema lineare o ad
dimensioni, oppure un sistema lineare ad
dimensioni.
Curve razionali
Una curva C si dice razionale, se ammette una rappresentazione parametrica razionale, cioè se essa è rappresentata da equazioni parametriche razionali:
in cui φ1(t), φ2(t), φ3(t) sono tre polinomi in t, tali che non abbiano fattori costanti in comune.
Si osserva che due dei tre polinomi possono avere fattori costanti in comune.
Se dalla rappresentazione algebrica si elimina il parametro, si passa alla rappresentazione cartesiana.
Viceversa, le curve algebriche sono razionali.
Se una curva ammette una rappresentazione parametrica razionale, ne ammette infinite.