MIKY & GENNY

FASCI DI RETTE ---> INDICE

Definizione - Si chiama fascio di rette l'insieme delle rette del piano passanti per lo stesso punto, oppure l'insieme delle rette del piano parallele ad una retta assegnata.
Il fascio di rette si indica con .

Definizione - Un fascio di rette si dice proprio se per ogni retta r del fascio esiste un punto
P0 del piano π tale che il punto P0 appartenga alla retta, cioè

fascio proprio
r P0π P0r.

Supponendo ora di conoscere il punto 
P0(x0, y0), detto centro del fascio, dal quale passano tutte le rette del fascio proprio, si vuole definire dal punto analitico il fascio proprio.
Infatti, se

r
fascio proprio r P0π P0r.

Tenendo conto che la retta r ha equazione

ax + by + c = 0,

e che

P0
r,

per quest'ultima condizione le coordinate di P devono soddisfare l'equazione di r, pertanto si ha:

a
x0 + by0 + c = 0,

da cui

c =
-ax0 - by0.

Sostituendo tale valore di c nell'equazione 
ax + by + c = 0, si ha:

ax + by 
-ax0 - by0 = 0,

cioè

a(x
- x0) + b(y y0) = 0,

con a e b non entrambi nulli.

Viceversa, se si considera una retta che ha equazione del tipo

λ(x
- x0) + μ(y y0) = 0,

con (λ, μ)
(0, 0), essa rappresenta un fascio di rette passanti per il punto P0(x0, y0).

Le rette di un fascio proprio di centro
P0(x0, y0) hanno tutte equazioni che si ottengono facendo variare la coppia


Per tale motivo l'equazione, per
λ e μ variabili nell'insieme dei numeri reali, si chiama equazione del fascio

λ(x
- x0) + μ(y y0) = 0.

Definizione -
Un fascio di rette si dice improprio se per ogni retta r del fascio esiste una retta r0 del piano π, tale che la retta r0 sia parallela alla retta r, cioè

fascio improprio
r r0π  r0||r.

Supponendo ora di conoscere 
la retta r0, avente equazione

ax + by + c = 0,

se r appartiene al fascio improprio,
si dimostra che la sua equazione è

λ(ax + by) +
μ = 0,

con
λ ≠ 0.

Dimostrazione
Siccome

r
fascio improprio  r r0π  r||r0  ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0 

 
ab' - a'b = 0  λ ≠ 0  a' = λa, b' = λ λax + λby + c' = 0  λ(ax + by) + c' = 0.

Ponendo

μ = c',

si ha:

λ(ax + by) +
μ = 0.

Viceversa, se la retta r ha equazione

λ(ax + by) +
μ = 0,

si dimostra che la retta appartiene al fascio improprio.
Al variare della coppia
(λ, μ), con λ ≠ 0, si ottengono infinite equazioni delle rette del fascio improprio.
L'equazione

λ(ax + by) +
μ = 0,

con

(λ,
μ)RR, λ ≠ 0,

si chiama equazione del fascio improprio.

Note
le equazioni di due rette del fascio proprio, determinare l'equazione del fascio proprio


Si deve
quindi dimostrare che:


Quest'ultima equazione è una combinazione lineare mediante la coppia 
(λ, μ) delle equazioni delle due rette, pertanto un'equazione di questo tipo rappresenta una retta del fascio.

Sia 
P0(x0, y0) il punto di intersezione delle rette r ed r', cioè


Le coordinate di tale punto sono le soluzioni del sistema formato dalle equazioni di r ed r'.
Si dimostra ora che la retta s passa per il punto
P0, cioè le coordinate di P0 devono essere soluzioni del sistema λ(ax + by + c) + μ(a'x + b'y + c') = 0, pertanto si ha:

λ(
ax0 + by0 + c) + μ(a'x0 + b'y0 + c') = 0,

quindi

P0
s,

cioè

 s
.


Dunque, ogni equazione ottenuta combinando le equazioni di due rette rappresenta l'equazione di una retta.

Si osserva ora che se

s
  P0 P1π  P1 P P1 P1(x1, y1).


Se si indica

l(x, y) = ax + by + c,

l'(x, y) = a'x + b
'y + c',

si può affermare che l'equazione di s è la seguente:

l'
(x1, y1)(ax + by + c) - l(x1, y1)(a'x + 'by + c') = 0.

Tale equazione è della forma precedente, dove

λ = 
l'(x1, y1),  μ = -l(x1, y1).

Si prova ora che la suddetta è l'equazione della retta s passante per i punti
Pe P1.
Che la retta s passi per
P0 è stato già dimostrato, passa per P1 perchè la coppia (x1, y1) è soluzione dell'equazione della retta s.
Se al posto di x ed y si mette 
x1 ed y1, si ha:

l'
(x1, y1)l(x1, y1) - l(x1, y1)l'(x1, y1) = 0.

Si può quindi dire che la retta passa per
i punti Pe P1.

Note
le equazioni di due rette del fascio improprio, determinare l'equazione del fascio improprio

Si rammenta che la totalità delle rette del piano, parallele ad una retta assegnata, si dice fascio improprio e si indica con 
i.

Si deve
quindi dimostrare che se

r
ir'i, r  r', r) ax + by + c = 0, r') a'x + b'y + c' = 0, si   (λ, μ)R

((λa + μa'), (λb + μb')) ≠ (0, 0), λ(ax + by + c) + μ(a'x + b'y + c') = 0 (1).

Dimostrazione
E' noto che

rir'i, r  r'  r||r', ab' - a'b = 0  (ac' - a'c, bc' - b'c) ≠ (0, 0).

Si dimostra che l'equazione della retta 
(1) è quella di una retta appartenente al fascio improprio, cioè è sufficiente dimostrare che è parallela ad r o ad r'.
Siccome
λa, λb, μa', μb' non sono nulli per ipotesi, si deve dimostrare che il determinante formato dai coefficienti della retta r e della retta s è uguale a zero:


E' quindi dimostrato che la combinazione lineare delle due equazioni delle rette r ed r' dà l'equazione di una retta del fascio improprio del tipo (1).

Si indichi ora

l(x,
y) = ax + by + c,  l'(x, y) = a'x + b'y + c',

e si consideri il punto
P1(x1, y1) appartenente alla retta s del fascio improprio.

Si indichi inoltre

μ = -
l(x1, y1),  λ = l'(x1, y1).

Adesso si consideri la combinazione lineare di r ed r' secondo
λ e μ così ottenuta:

(2)
l'(x1, y1)(ax + by + c) - l(x1, y1)(a'x + b'y + c') = 0.

Si dimostra che la (2) è una delle equazioni della retta s, cioè basta dimostrare che i coefficienti di x ed y non sono entrambi nulli:

a
l'(x1, y1) - a'l(x1, y1) = a(a'x1 + b'y1 + c') - a'(ax1 + by1 + c) = y1(ab' - a'b) + ac' - a'c,

bl'(x1, y1) - b'l(x1, y1) = b(a'x1 + b'y1 + c') - b'(ax1 + by1 + c) = x1(ab' - a'b) + bc' - b'c = bc' - b'c.

La (2) è proprio l'equazione della retta s, in quanto è soddisfatta dalle coordinate del punto P1.
Infatti, si ha:

l'
(x1, y1)l(x1, y1)l(x1, y1)l'(x1, y1) = 0.

Quindi il teorema è dimostrato, cioè:
-condizione necessaria e sufficiente affinchè la retta s sia elemento del fascio improprio, definito da r ed r', è che esistano due numeri
λ e μ soddisfacenti le condizioni iniziali, e tali che l'equazione sia combinazione lineare delle rette r ed r'.

Si
vede ora la condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette assegnate appartengano allo stesso fascio, premettendo che in definitiva non si fa alcuna differenza fra fascio proprio e fascio improprio, si può esprimere in un unico modo:
 
s, individuata da r ed r' distinte  (λ, μ)R λ(ax + by + c) + μ(a'x + b'y + c') = 0 

((λa + μa'), (λb + μb')) ≠ (0, 0).

Si deduce ora la seguente proprietà:

r
, r) ax + by + c = 0, r', r') a'x + b'y + c' = 0, r'', r'') a''x + b''y + c'' = 0



Se le tre rette coincidono, il determinante è uguale a zero.
Se due delle tre rette sono distinte, ad esempio
r', allora r'' apparterrà al fascio individuato da r ed r', quindi la sua equazione è la combinazione lineare delle equazioni di r ed r'.
Si osserva che il determinante dei coefficienti delle tre equazioni è uguale a zero per una nota proprietà.

Viceversa, se il
determinante è uguale a zero, si dimostra che le tre rette appartengono allo stesso fascio.
Si esclude il caso in cui le tre righe siano proporzionali fra loro, perchè le rette sarebbero coincidenti.
Quindi, supponendo che le tre
righe non siano proporzionali fra loro, per il noto teorema "se il determinante è uguale a zero, una delle tre righe è combinazione lineare delle altre due" esistono due numeri λ e μ tali che

a'' = 
λa + μa',  b'' λb + μb',  c'' λa + μc',

e ciò vuol dire che l'equazione della terza retta è combinazione lineare delle prime due, perchè il determinante è uguale a zero, cioè le tre rette non sono coincidenti e quindi appartengono allo stesso fascio.

Considerazioni sulle rette del fascio
Si è visto che
   
rir'i, r  r', r) ax + by + c = 0, r') a'x + b'y + c' = 0, s  (λ, μ)R

((λa + μa'), (λb + μb')) ≠ (0, 0), λl(x, y) + μl('x, y) = 0 (1),

dove (1) rappresenta il tipo dell'equazione della retta s.

Spesso, invece di considerare due parametri, se ne elimina uno.
Assegnato l'insieme di tutte le rette del fascio, che rappresenta l'insieme delle equazioni del tipo (1), volendo considerare l'equazione della retta r' occorre che
λ = 0 e μ 0, ossia

l'(x, y) = a'x + b'y + c' = 0.

Si può dire che con la scritta

(λ, μ)R (λa + μa', λb + μb') ≠ (0, 0)  λ ≠ 0 : s  s ≠ r' (2).

In tal modo, si hanno tutte le rette s del fascio distinte da r'.

Tale insieme (2) non sarà il fascio
, ma


Poichè 
λ ≠ 0, si può dividere la (1) per λ e si ottiene


Ponendo



risulta

(3) l(x, y) + kl'(x, y) = 0.

Dunque, se una retta s del fascio è diversa da r', la sua equazione si può scrivere nel modo (3), con k che soddisfa le seguenti condizioni:

(a + ka', b + kb')
≠ (0, 0).

Quindi, si è ottenuta l'equazione (3) con un solo parametro, ottenendo così le rette del fascio diverse da r'.
Se in un problema si sa che l'equazione di r' non è complessa nelle soluzioni, allora ci si può servire della (3); in caso contrario, è obbligatorio usare l'equazione (1).
Identico ragionamento si può fare dividendo
la (1) per μ, ottenendo

kl(x, y) + l'(x, y) = 0.

dove k =
λ/μ.

I parametri
λ e μ sono parametri omogenei del fascio, mentre il parametro k si chiama parametro non omogeneo.