Definizione - Si
chiama fascio di rette l'insieme delle rette del piano passanti per lo
stesso punto, oppure l'insieme delle rette del piano parallele ad una
retta assegnata. Il fascio di rette si indica con .
Definizione - Un fascio di rette si dice proprio se per ogni retta r del fascio esiste un punto P0 del piano π tale che il punto P0 appartenga alla retta, cioè
fascio proprio r P0π P0r.
Supponendo ora di conoscere il punto P0(x0, y0),
detto centro del fascio, dal quale passano tutte le rette del fascio
proprio, si vuole definire dal punto analitico il fascio proprio.
Infatti, se
r fascio proprio r P0π P0r.
Tenendo conto che la retta r ha equazione
ax + by + c = 0,
e che
P0r,
per quest'ultima condizione le coordinate di P devono soddisfare l'equazione di r, pertanto si ha:
ax0 + by0 + c = 0,
da cui
c = -ax0 - by0.
Sostituendo tale valore di c nell'equazione ax + by + c = 0, si ha:
ax + by -ax0 - by0 = 0,
cioè
a(x - x0) + b(y - y0) = 0,
con a e b non entrambi nulli.
Viceversa, se si considera una retta che ha equazione del tipo
λ(x - x0) + μ(y - y0) = 0,
con (λ, μ) ≠ (0, 0), essa rappresenta un fascio di rette passanti per il punto P0(x0, y0).
Le rette di un fascio proprio di centro P0(x0, y0) hanno tutte equazioni che si ottengono facendo variare la coppia
Per tale motivo l'equazione, per λ e μ variabili nell'insieme dei numeri reali, si chiama equazione del fascio
λ(x - x0) + μ(y - y0) = 0.
Definizione - Un fascio di rette si dice improprio se per ogni retta r del fascio esiste una retta r0del piano π, tale che la retta r0 sia parallela alla retta r, cioè
fascio improprio r r0π r0||r.
Supponendo ora di conoscere la retta r0, avente equazione
ax + by + c = 0,
se r appartiene al fascio improprio, si dimostra che la sua equazione è
λ(ax + by) + μ = 0,
con λ ≠ 0.
Dimostrazione Siccome
r fascio improprio r r0π r||r0 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0
ab' - a'b = 0 λ ≠ 0 a' = λa, b' = λb λax + λby + c' = 0 λ(ax + by) + c' = 0.
Ponendo
μ = c',
si ha:
λ(ax + by) + μ = 0.
Viceversa, se la retta r ha equazione
λ(ax + by) + μ = 0,
si dimostra che la retta appartiene al fascio improprio. Al variare della coppia (λ, μ), con λ ≠ 0, si ottengono infinite equazioni delle rette del fascio improprio.
L'equazione
λ(ax + by) + μ = 0,
con
(λ, μ)RR, λ ≠ 0,
si chiama equazione del fascio improprio. Note le equazioni di due rette del fascio proprio, determinare l'equazione del fascio proprio
Si deve quindi dimostrare che:
Quest'ultima equazione è una combinazione lineare mediante la coppia (λ, μ) delle equazioni delle due rette, pertanto un'equazione di questo tipo rappresenta una retta del fascio.
Sia P0(x0, y0) il punto di intersezione delle rette r ed r', cioè
Le coordinate di tale punto sono le soluzioni del sistema formato dalle equazioni di r ed r'. Si dimostra ora che la retta s passa per il punto P0, cioè le coordinate di P0 devono essere soluzioni del sistema λ(ax + by + c) + μ(a'x + b'y + c') = 0, pertanto si ha:
λ(ax0 + by0 + c) + μ(a'x0 + b'y0 + c') = 0,
quindi
P0s,
cioè
s.
Dunque, ogni equazione ottenuta combinando le equazioni di due rette rappresenta l'equazione di una retta.
Si osserva ora che se
s P0s P1π P1 ≠ P0 P1s P1(x1, y1).
Se si indica
l(x, y) = ax + by + c,
l'(x, y) = a'x + b'y + c',
si può affermare che l'equazione di s è la seguente:
l'(x1, y1)(ax + by + c) - l(x1, y1)(a'x + 'by + c') = 0.
Tale equazione è della forma precedente, dove
λ = l'(x1, y1), μ = -l(x1, y1).
Si prova ora che la suddetta è l'equazione della retta s passante per i punti P0 e P1. Che la retta s passi per P0 è stato già dimostrato, passa per P1 perchè la coppia (x1, y1) è soluzione dell'equazione della retta s. Se al posto di x ed y si mette x1 ed y1, si ha:
l'(x1, y1)l(x1, y1) - l(x1, y1)l'(x1, y1) = 0.
Si può quindi dire che la retta passa per i punti P0 e P1.
Note le equazioni di due rette del fascio improprio, determinare l'equazione del fascio improprio
Si
rammenta che la totalità delle rette del piano, parallele ad una retta
assegnata, si dice fascio improprio e si indica con i.
Si deve quindi dimostrare che se
ri, r'i, r ≠ r', r) ax + by + c = 0, r') a'x + b'y + c' = 0, si (λ, μ)RR
Si
dimostra che l'equazione della retta (1) è quella di una retta
appartenente al fascio improprio, cioè è sufficiente dimostrare che è
parallela ad r o ad r'. Siccome λa, λb, μa', μb'
non sono nulli per ipotesi, si deve dimostrare che il determinante
formato dai coefficienti della retta r e della retta s è uguale a zero:
E'
quindi dimostrato che la combinazione lineare delle due equazioni
delle rette r ed r' dà l'equazione di una retta del fascio improprio
del tipo (1).
Si indichi ora
l(x, y) = ax + by + c, l'(x, y) = a'x + b'y + c',
e si consideri il punto P1(x1, y1) appartenente alla retta s del fascio improprio.
Si indichi inoltre
μ = -l(x1, y1), λ = l'(x1, y1).
Adesso si consideri la combinazione lineare di r ed r' secondo λ e μ così ottenuta:
(2) l'(x1, y1)(ax + by + c) - l(x1, y1)(a'x + b'y + c') = 0.
Si
dimostra che la (2) è una delle equazioni della retta s, cioè basta
dimostrare che i coefficienti di x ed y non sono entrambi nulli:
La (2) è proprio l'equazione della retta s, in quanto è soddisfatta dalle coordinate del punto P1.
Infatti, si ha:
l'(x1, y1)l(x1, y1) - l(x1, y1)l'(x1, y1) = 0.
Quindi il teorema è dimostrato, cioè: -condizione
necessaria e sufficiente affinchè la retta s sia elemento del fascio
improprio, definito da r ed r', è che esistano due numeri λ e μ soddisfacenti le condizioni iniziali, e tali che l'equazione sia combinazione lineare delle rette r ed r'.
Si vede
ora la condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette assegnate
appartengano allo stesso fascio, premettendo che in definitiva non si
fa alcuna differenza fra fascio proprio e fascio improprio, si può esprimere in un unico modo:
s, individuata da r ed r' distinte (λ, μ)RR λ(ax + by + c) + μ(a'x + b'y + c') = 0
((λa + μa'), (λb + μb')) ≠ (0, 0).
Si deduce ora la seguente proprietà:
r, r) ax + by + c = 0, r', r') a'x + b'y + c' = 0, r'', r'') a''x + b''y + c'' = 0
Se le tre rette coincidono, il determinante è uguale a zero. Se due delle tre rette sono distinte, ad esempio r ≠ r',
allora r'' apparterrà al fascio individuato da r ed r', quindi la sua
equazione è la combinazione lineare delle equazioni di r ed r'. Si osserva che il determinante dei coefficienti delle tre equazioni è uguale a zero per una nota proprietà.
Viceversa, se il determinante è uguale a zero, si dimostra che le tre rette appartengono allo stesso fascio. Si esclude il caso in cui le tre righe siano proporzionali fra loro, perchè le rette sarebbero coincidenti. Quindi, supponendo che le tre
righe non siano proporzionali fra loro, per il noto teorema "se il
determinante è uguale a zero, una delle tre righe è combinazione lineare
delle altre due" esistono due numeri λ e μ tali che
a'' = λa + μa', b'' = λb + μb', c'' = λa + μc',
e
ciò vuol dire che l'equazione della terza retta è combinazione lineare
delle prime due, perchè il determinante è uguale a zero, cioè le tre
rette non sono coincidenti e quindi appartengono allo stesso fascio.
Considerazioni sulle rette del fascio
Si è visto che
ri, r'i, r ≠ r', r) ax + by + c = 0, r') a'x + b'y + c' = 0, si (λ, μ)RR
dove (1) rappresenta il tipo dell'equazione della retta s.
Spesso, invece di considerare due parametri, se ne elimina uno. Assegnato
l'insieme di tutte le rette del fascio, che rappresenta l'insieme delle
equazioni del tipo (1), volendo considerare l'equazione della retta r'
occorre che λ = 0 e μ ≠ 0, ossia
l'(x, y) = a'x + b'y + c' = 0.
Si può dire che con la scritta
(λ, μ)RR (λa + μa', λb + μb') ≠ (0, 0) λ ≠ 0 : s s ≠ r' (2).
In tal modo, si hanno tutte le rette s del fascio distinte da r'.
Tale insieme (2) non sarà il fascio , ma
Poichè λ ≠ 0, si può dividere la (1) per λ e si ottiene
Ponendo
risulta
(3) l(x, y) + kl'(x, y) = 0.
Dunque,
se una retta s del fascio è diversa da r', la sua equazione si può
scrivere nel modo (3), con k che soddisfa le seguenti condizioni:
(a + ka', b + kb') ≠ (0, 0).
Quindi, si è ottenuta l'equazione (3) con un solo parametro, ottenendo così le rette del fascio diverse da r'. Se
in un problema si sa che l'equazione di r' non è complessa nelle
soluzioni, allora ci si può servire della (3); in caso contrario, è
obbligatorio usare l'equazione (1). Identico ragionamento si può fare dividendo la (1) per μ, ottenendo
kl(x, y) + l'(x, y) = 0.
dove k = λ/μ.
I parametri λ e μ sono parametri omogenei del fascio, mentre il parametro k si chiama parametro non omogeneo.