MIKY & GENNY

NUMERI COMPLESSI ---> INDICE

Si indichi con α - β un relativo individuato dalla coppia ordinata (α, β), e con α' - β' un relativo individuato dalla coppia ordinata (α', β').
Se le due coppie ordinate (
α, β), (α', β') individuano lo stesso relativo, si ha:

α +
 β'α'β.

Con tale convenzione, risulta:

(
α, 0) = α,  (0, β) = -β.

I numeri relativi individuati dalle coppie
del tipo (α, 0) si dicono positivi, mentre quelli individuati dalle coppie del tipo (0, β) si dicono negativi, quindi

(α +
β) = (α, 0) + (0, β).

Si osserva ora che l'insieme dei reali non soddisfa del tutto, perchè se si considera il numero -2, non esiste alcun reale il cui quadrato sia -2, quindi è necessario introdurre un altro tipo di numeri: i numeri complessi.

Si osserva inoltre che, considerate le coppie ordinate dei numeri reali relativi, d'ora in poi si chiameranno più semplicemente reali.
Sia R l'insieme dei reali e, nell'insieme delle coppie ordinate, si consideri il seguente criterio di confronto fra coppie di reali:

(a, b) = (c, d)
(a = c), (b = d).

Fra tali coppie s
i definiscono le seguenti operazioni.

1)-Addizione: è l'operazione per cui si passa dalle coppie (a, b) e (c, d) alla coppia somma delle due (a + c, b + d), e si scrive

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

2)-Moltiplicazione:
è l'operazione per cui si passa dalle coppie (a, b) e (c, d) alla coppia prodotto delle due (ac - bd, ad + bc), e si scrive

(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc).

Queste due operazioni godono delle proprietà associativa, commutativa e distributiva della somma rispetto al prodotto.

Le coppie (0, 0) e (1, 0) sono chiamate rispettivamente elemento neutro per l'addizione e per la moltiplicazione, cioè risulta:

(a, b) +
(0, 0) = (a, b),  (a, b)(1, 0) = (a, b).

Infatti,

(a, b) +
(0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b),

  
(a, b)(1, 0) = (a·1 - b·0,  a·0 + b·1) = (a, b).

Inoltre, si dimostra che:

(0, 1)2
= (0, 1)(0, 1) = (-1, 0).

Infatti,

(0, 1)2
= (0, 1)(0, 1) = (0·0 - 1·1, 0·1 + 1·0) = (-1, 0).

La coppia (0, 1) si indica con i, cioè

(0, 1) = i,

dunque,

i2 = -1.

Considerata una generica coppia (a, b), si dimostra che:

(a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1).

Infatti,

(a, 0) + (b, 0)(0, 1)
(a, 0)(b·0 - 0·1, b·1 + b·0) = (a, 0)(0, b) = (a, b).

Identificando

(a, 0) con il reale a,


(0, 0) con il reale b,

(0, 1) = i,

si ha:

(a, b) = a + bi;

i si chiama unità immaginaria, inoltre
i2 = -1, a
si chiama parte reale, b si chiama coefficiente della parte immaginaria. L'insieme formato dagli a + bi costituisce l'insieme C dei numeri complessi.

Se b = 0, si hanno i numeri reali.

Nota bene

D'ora in poi, al posto delle coppie ordinate del tipo (a, b), si useranno anche numeri a + bi, effettuando su di essi le normali operazioni di addizione e di moltiplicazione. Oltre a tali operazioni, si definiscono anche la differenza ed il quoziente di numeri complessi.

Differenza
Assegnate due coppie
(a, b), (c, d), la loro differenza (a, b) - (c, d) è quella coppia (x, y) che, sommata a (c, d), dia (a, b), cioè:

(a, b) -
(c, d) = (x, y) (x, y)  (x, y) + (c, d) = (a, b).

Dalla definizione di somma, si ha:

(x + 
c, y + d) = (a, b),

e per il criterio precedentemente introdotto, tale uguaglianza è verificata se e solo se

x + 
c = a,  y + d = b,

cioè per

x
= a - c ,  y = b - d

e sostituendo si ha

(a, b) -
(c, d) = (x, y) = (a - cb - d) (a, b) - (c, d) = (a - cb - d).

Si osserva che si poteva anche scrivere

(a, b) = a + ib,  (c, d) = c + id.

Si vuole
ora determinare il numero complesso (x + iy) tale che, sommato a (c + id), dia (a + ib),
cioè

(a + ib) -
(c + id) = (x + iy) (x + iy)  (x + iy) + (c + id) = (a + ib).

Dalla definizione di somma, si ha:

x + 
iy + c + id = x + c + i(y + d) = a + ib,

da cui

x + c = a,  
i(y + d) = ib,

cioè per

x
= a - c ,  y = b - d

e sostituendo si ha

(a + ib) -
(c + id) = (x + iy) = a - c + ib - id  (a + ib) - (c + id) = (a - c), i(b - d).

Nota bene

Essendo

(a, b) = a + ib,

se a = 0, i numeri individuati dalle coppie (0, b) si chiamano numeri immaginari puri;

se b = 0, i numeri individuati dalle coppie (a, 0) si chiamano numeri reali.

Data la coppia (a, b), esiste un'altra coppia (x, y), tale che

(a, b) + (x, y) = (0, 0)

e si ha

x = -a,  y = -b,

dunque

(x, y) = (-a, -b).

La coppia 
(-a, -b) si dice opposta ad (a, b) ed è tale che, sommata ad (a, c), dà l'elemento neutro per la somma.
Allora, la differenza fra due coppie diventa

(a, b) - (c, d) = (a, b) +
(-c, -d) = (a - c, b - d).

Data ora la coppia
(a, b), si vuole calcolare l'altra coppia (x, y), tale che

(a, b)
(x, y) = (1, 0),

cioè occorre avere

(ax - by, ay + bx) =
(1, 0),

e ciò accade se e solo se

1) ax - by =
1,

2) 
ay + bx = 0.

Si osserva che, supposto

(a, b)
(0, 0),

risulta

a2 + b2
> 0.

Risolvendo il
sistema formato da 1) e 2), moltiplicando la 1) per a e la 2) per b, si ha:


che ammette l'unica soluzione


Moltiplicando la 1) per -b e la 2) per a, si ha:


che ammette l'unica soluzione


Dunque, la coppia (x, y) esiste ed è data da:


ed è questa l'unica coppia che, moltiplicata per (a, b), dà l'elemento neutro per il prodotto. Tale coppia si dice inversa della coppia (a, b)
≠ (0, 0).

Quoziente
Se (a, b) ≠ (0, 0) e (c, d) ≠ (0, 0), allora per quoziente s'intende il prodotto di (a, b) per l'inverso del numero complesso (c, d), cioè:


Legge di
annullamento del prodotto

Si considerino le coppie (a, b), (c, d) e sia (0, 0) il loro prodotto; s
i dimostra che

(a, b)
(c, d) = (0, 0),

se

(a, b) = (0, 0) oppure 
(c, d) = (0, 0).

In ciò consiste
la legge di annullamento del prodotto, cioè se il prodotto di due reali è uguale a zero, almeno uno dei due dev'essere uguale a zero.

Dimostrazione
Si supponga (a, b)
(0, 0), allora necessariamente dev'essere (c, d) = (0, 0).
Infatti,

(a, b)(c, d) = 
(ac - bd, ad + bc) = (0, 0),

e ciò si verifica se

1) ac - bd = 0,

2)
ad + bc = 0.

Si osserva che, supposto

(a, b)
(0, 0),

risulta

a2 + b2
> 0.

Risolvendo il
sistema formato da 1) e 2), moltiplicando la 1) per a e la 2) per b, si ha:



e per la legge di
annullamento del prodotto dev'essere

c = 0.

Moltiplicando la 1) per -b e la 2) per a, si ha:


e per la legge di
annullamento del prodotto dev'essere

d = 0,

come volevasi dimostrare.

Per i numeri complessi valgono anche i principi di permanenza e di ampliamento e, tenendo conto che (a, b) = (a + ib) ed i2 = -1, si forniscono i seguenti esempi:

1)-(a, b) = (a + ib), (c, d) = (c + id)
(a + ib) + (c + id) = (a + ib + c + id) = (a + c) + i(b+d).

2)-
(a, b) = (a + ib), (c, d) = (c + id) (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = ac - bd +

+ i(ad + bc) = (ac - bd, ad + bc) .

Nei numeri complessi è stato introdotto un criterio di uguaglianza, ma non vale il criterio di confronto.

Definizione di norma dei numeri complessi
La quantità, indicata con N, che compare al denominatore dell'inversa di a + ib, cioè

N = a2 + b2,

si chiama norma del numero complesso.

La norma del numero complesso è uguale a zero, se e solo se (a, b)
= (0, 0), cioè

a2 + b2
= 0  (a, b) = (0, 0).

Negli altri casi è sempre maggiore di zero.

Definizione di modulo dei numeri complessi
Il modulo di un numero complesso è uguale alla radice quadrata della norma, cioè uguale a


Si consideri il numero complesso (a, b) = a + ib.
Un'importante operazione è quella che fa corrispondere al numero complesso (a, b) = a + ib il complesso e coniugato (a, -b) = a - ib.
Tale operazione è una trasformazione
bigettiva, cioè ingettiva e surgettiva, indicata con φ, dell'insieme dei complessi C in C che ad a + ib fa corrispondere a - ib, cioè



Per dimostrare che
φ è surgettiva, occorre provare che comunque si consideri un numero complesso c + id, esiste un numero complesso che, trasformato mediante φ, dà quello dato, e ciò è ovvio.

Per dimostrare che
φ è ingettiva, occorre provare che comunque si considerino due numeri complessi a + ib e c + id, sia a + ib c + id, allora si ha:

1) φ(
a + ib φ(c + id) o anche a - ib  c - id.

Infatti, dire che

a + ib
c + id,

equivale a dire

2) (
a, b)(c, d)

e, se è valida la 2), è anche valido che

(
a, -b)(c, -d)  a - ib  c - id,

come volevasi dimostrare.

Nota bene
Considerato un reale a, se il trasformato di a mediante
φ è uguale ad a, cioè

φ
(a) = a,

significa che il coniugato è tale da lasciare fissi i reali.

Si dimostra che:

1)-La somma di due numeri complessi e coniugati è uguale al
numero complesso e coniugato della somma, cioè

φ(
a + ib) + φ(c + id) = φ(a + c) + i(b + d).

Infatti:

φ(
a + ib) + φ(c + id) = a - ib + c - id = a + c - i(b + d).

2)-Il prodotto di due numeri complessi e coniugati è uguale al
numero complesso e coniugato del prodotto, cioè

φ(
a + ib)(c + id) = φ(a + ib)(c + id).

Infatti:

φ(
a + ib)φ(c + id) = (a - ib)(c - id) = ac - iad - ibc + i2bd = (ac - bd) -i(ad + bc).

3)-La somma di due numeri complessi e coniugati è un numero reale.

Infatti:

(
a + ib) + (a - ib) = a + iba - ib = 2a.

4)-Il prodotto di due numeri complessi e coniugati è un numero reale, ed è uguale alla norma di uno di essi.
Infatti:

(
a + ib)(a - ib) = a2 - iab + iab + i2b2a2 + b2.

Teorema fondamentale dell'algebra

Si consideri ora il polinomio di grado n a coefficienti reali, con a0
≠ 0:

f
(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an.

Questo polinomio f(x) si può scomporre in uno ed un sol modo, cioè

f
(x) = a0l1(x)l2(x)...ln(x).

i = 1, 2, 3, ..., n

è possibile determinare n numeri complessi del tipo

li(x) = x +
αi,

in cui
αi è un numero complesso.

Si chiama
equazione algebrica di grado n quella ottenuta uguagliando a zero il polinomio così scomposto:

a0l1(x)
l2(x)...ln(x) = 0.

Le radici del polinomio 
f(x) saranno tutte e sole quelle ottenute uguagliando a zero ciascun fattore:

l1(x) = 0,
l2(x) = 0, ..., ln(x) = 0,

cioè le radici sono del tipo

x +
αi = 0,

da cui

x
= -αi.

Ad esempio, tra gli n numeri
αi, siano h, con h n, i complessi distinti:

α1
, α2, α3, α4, α5, αh.

Inoltre, siano

k
1 quelli uguali ad α1,

k2
quelli uguali ad α2,

k
h quelli uguali ad αh,

quindi in quel prodotto si hanno
k1 fattori uguali ad l1(x) espressi da f1(x).

k
1, k2... kn sono reali, e la loro somma dev'essere

n =
k1 + k+ ... + kn.

Inoltre, dev'essere h
n, se invece h = n, gli n numeri sono tutti distinti.

Gli opposti dei numeri complessi sono le radici di f(x).

Nota bene

Se h è il numero delle volte che
l0(x) figura in f(x), la relativa radice si dice multipla di ordine h, ed h si dice ordine di molteplicità della radice.
Quindi, indicando con

li(x)...
lp(x),

con p
≤ n,

i fattori tutti distinti con le molteplicità

h1, ...
, hp,

si ha pure


con

n = h1 +
h2 + ... + hp

grado dell'equazione.

Si dice che: un'equazione algebrica f(x) = 0, di grado n a coefficienti reali, ammette generalmente n radici complesse contate con le dovute molteplicità.

Data un'equazione algebrica di grado n a coefficienti reali, essa ammette n radici, considerando ogni radice con il proprio ordine di molteplicità.
Tale teorema fondamentale garantisce solo l'esistenza delle radici, che in generale sono complesse, ma non fornisce un metodo di ricerca. Il teorema ora visto è valido anche per un'equazione algebrica a coefficienti complessi.
L'equazione ammette n radici complesse, contando ciascuna di esse
con il proprio ordine di molteplicità.

Conseguenza del teorema fondamentale
Si consideri un'equazione algebrica di grado n a coefficienti reali, se essa ammette α per radice complessa, ammette per radice anche , coniugato di α.

Cioè, se

α =
ξ + iη

è una radice, lo è anche

= ξ - iη,

cioè ancora

f(
α) = 0  f() = 0,

infatti

f(
ξ + iη) = f1(ξ, η) + if2(ξ, η) = 0.

Inoltre,

f(
ξ - iη) = f1(ξ, η) - if2(ξ, η) = 0,

e ciò dimostra che,
essendo il complesso α radice del polinomio, tale sarà anche suo coniugato.

Se

f(
α) = 0,  f() = 0,

α
ed  sono fattori della scomposizione del polinomio dato; si ha

(x -
ξ) - iη,  (x - ξ) + iη,

ed effettuando il loro prodotto, risulta:


(x -
ξ)2 - i2η2 = (x - ξ)2 η2 = x2 - 2ξx + ξ2 + η2.

Quindi il prodotto è un polinomio di secondo grado a coefficienti reali.
Ciò esprime che se
α ha molteplicità k, anche  ha molteplicità k.

Corollario
Se si ha un'equazione algebrica
a coefficienti reali di grado dispari, essa ammette necessariamente una radice reale.
Può capitare che f(x) sia tale che i
coefficienti siano tutti uguali a zero.
In tal caso, l'equazione ammette infinite soluzioni e si definisce identità.

Se un'equazione algebrica di grado n
ammette n + 1 soluzioni o radici, allora è un'identità.

Se C è l'insieme dei complessi, lo si amplia del simbolo .
Può capitare che, in
un'equazione algebrica, i coefficienti dipendano da un parametro variabile.

Si consideri un'equazione di grado n - k.
Il teorema fondamentale assicura che l'equazione restante avrà n - k radici. Si dirà che l'equazione continua ad ammettere n radici, delle quali n - k sono quelle dell'equazione ottenuta e le rimanenti sono uguali ad infinito, oppure vanno all'infinito.


Si consideri l'equazione

(h - 1)
x2 - 2x + h = 0,

se

h - 1  0  h 1,

si hanno due radici;

se

h - 1 = 0  h = 1,

l'equazione si abbassa di grado ed ammette sempre due radici:

x1 = 1/2,  
x2 =.