(a, b) = (0, 0) oppure (c, d) = (0, 0).
In ciò consiste la legge di annullamento del prodotto, cioè se il prodotto di due reali è uguale a zero, almeno uno dei due dev'essere uguale a zero.
Dimostrazione
Si supponga (a, b) ≠ (0, 0), allora necessariamente dev'essere (c, d) = (0, 0).
Infatti,
(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc) = (0, 0),
e ciò si verifica se
1) ac - bd = 0,
2) ad + bc = 0.
Si osserva che, supposto
(a, b) ≠ (0, 0),
risulta
a2 + b2 > 0.
Risolvendo il sistema formato da 1) e 2), moltiplicando la 1) per a e la 2) per b, si ha: