NUMERI INTERI NATURALI ---> INDICE
Sull'insieme
N dei numeri interi naturali sono state definite due leggi di
composizione interna: l'addizione e la moltiplicazione.
Per l'addizione:
a
N, bN è stato definito un numero ben determinato indicato con a + b.
Inoltre, nell'insieme N esiste un numero che si chiama elemento neutro per l'addizione che gode della seguente proprieta, cioè
0N 
aN : a + 0 = a = 0 + a.
Per la moltiplicazione:
aN, bN è stato definito un numero ben determinato indicato con a · b.
Inoltre, nell'insieme N esiste un numero che si chiama elemento neutro per la moltiplicazione che gode della seguente proprieta, cioè
1N, 1 ≠ 0, aN : a · 1 = a = 1 · a.
Proprietà dell'addizioneL'addizione gode delle seguenti proprietà.
1)-Commutativa:
aN, bN : a + b = b + a,
2)-Associativa:
aN, bN, cN : a + (b + c) = (a + b) + c,
3)-Distributiva della somma rispetto al prodotto:
aN, bN, cN : a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · a = a · b + a · c.
Proprietà della moltiplicazioneLa moltiplicazione gode delle seguenti proprietà.
1')-Commutativa:
aN, bN : a · b = b · a,
2')-Associativa:
aN, bN, cN : a · (b · c) = (a · b) · c.
Affinchè il prodotto di due numeri sia nullo, occorre che almeno uno dei due fattori sia uguale a zero.
Siano a e b due numeri interi naturali e si consideri la relazione ax = b; si vuole vedere se esistono dei numeri interi naturali che, sostituiti ad x, verificano tale uguaglianza.
Si distinguono i seguenti casi:
1)-se a = 0 e b ≠ 0
0x = b,
cioè l'uguaglianza si verifica solo se b = 0, perciò in tale caso non esiste alcun intero naturale che, sostituito ad x, soddisfi l'uguaglianza suddetta;
2)-se a = 0 e b = 0 0x = 0,
cioè ogni intero naturale, sostituito ad x, soddisfa l'uguaglianza suddetta;
3)-se a ≠ 0 e b = 0 ax = 0,
in tale caso solo un intero, lo zero, soddisfa l'uguaglianza suddetta;
4)-se a ≠ 0 e b ≠ 0 ax = b x = b/a,
in tale caso l'uguaglianza suddetta puo essere o meno soddisfatta.
Esempio
Per l'addizione:
aN, bN è stato definito un numero ben determinato indicato con a + b.Inoltre, nell'insieme N esiste un numero che si chiama elemento neutro per l'addizione che gode della seguente proprieta, cioè
0N aN : a + 0 = a = 0 + a.Per la moltiplicazione:
aN, bN è stato definito un numero ben determinato indicato con a · b.Inoltre, nell'insieme N esiste un numero che si chiama elemento neutro per la moltiplicazione che gode della seguente proprieta, cioè
1N, 1 ≠ 0, aN : a · 1 = a = 1 · a.Proprietà dell'addizione
1)-Commutativa:
aN, bN : a + b = b + a,2)-Associativa:
aN, bN, cN : a + (b + c) = (a + b) + c,3)-Distributiva della somma rispetto al prodotto:
aN, bN, cN : a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · a = a · b + a · c.Proprietà della moltiplicazione
1')-Commutativa:
aN, bN : a · b = b · a,2')-Associativa:
aN, bN, cN : a · (b · c) = (a · b) · c.Affinchè il prodotto di due numeri sia nullo, occorre che almeno uno dei due fattori sia uguale a zero.
Siano a e b due numeri interi naturali e si consideri la relazione ax = b; si vuole vedere se esistono dei numeri interi naturali che, sostituiti ad x, verificano tale uguaglianza.
Si distinguono i seguenti casi:
1)-se a = 0 e b ≠ 0
0x = b,cioè l'uguaglianza si verifica solo se b = 0, perciò in tale caso non esiste alcun intero naturale che, sostituito ad x, soddisfi l'uguaglianza suddetta;
2)-se a = 0 e b = 0
0x = 0,cioè ogni intero naturale, sostituito ad x, soddisfa l'uguaglianza suddetta;
3)-se a ≠ 0 e b = 0
ax = 0,in tale caso solo un intero, lo zero, soddisfa l'uguaglianza suddetta;
4)-se a ≠ 0 e b ≠ 0
ax = b x = b/a,in tale caso l'uguaglianza suddetta puo essere o meno soddisfatta.
Esempio