Si
ricorda che la relazione ax = b non è sempre soddisfatta nell'insieme
dei numeri interi naturali, pertanto sorge il problema di definire un
altro insieme in cui essa sia soddisfatta. Tale insieme è quello dei
numeri razionali. Allo scopo si considerano le coppie di numeri interi naturali appartenenti all'insieme , soddisfacenti alla condizione b ≠ 0. Tali coppie costituiranno un nuovo insieme E definito come segue:
Sia una relazione binaria nell'insieme E; due elementi (a, b), (a', b') di E sono in relazione con solo e soltanto se risulta ab' = a'b, cioè
(a, b) (a', b') ab' = a'b.
Si dimostra che la relazione è una relazione di equivalenza. Allo scopo, si deve dimostrare che è riflessiva, simmetrica e transitiva.
a)- è riflessiva. Infatti, si deve dimostrare che (a, b)(a, b), e ciò è vero perchè ab = ba.
Moltiplicando ambo i membri dell'uguaglianza (*) per b'', si ha:
ab'b'' = a'bb''
e, tenendo conto dell'uguaglianza (**), risulta
ab'b'' = ba''b'.
Dividendo ambo i membri per b' ≠ 0, segue
ab'' = a''b,
cioè
(a, b)(a'', b''),
come volevasi dimostrare.
Si consideri ora l'insieme quoziente Q dei numeri interi naturali, i cui elementi sono classi di equivalenza, cioè
Si osserva ora che le coppie ordinate, elementi di E, si indicano con
a/b
oppure con
Se due elementi di E sono equivalenti, al posto di si mette =, cioè
Per individuare una classe di equivalenza
basta individuare un solo elemento, perchè tutti gli altri sono in
relazione con esso. Per mezzo della relazione di equivalenza , si è passati dall'insieme di tutte le coppie ordinate (a, b), con b ≠ 0, di numeri interi naturali, ad un nuovo insieme detto insieme quoziente, del precedente rispetto ad ,
i cui elementi si chiamano numeri razionali. Per individuare un
elemento della classe di equivalenza nell'insieme dei razionali, si
considera un criterio di confronto.
Se si hanno due razionali individuati dalle coppie
si dice che
Il criterio di cui si è parlato vale per qualsiasi coppia a/b maggiore di qualsiasi altra coppia c/d, perchè individuano rispettivamente lo stesso razionale; si dimostra che:
Infatti, partendo dalle ipotesi, si ha:
(ad > bc) (a'b = ab') (c'd = cd'),
ricordando che i numeri sono diversi da zero, si moltiplica per b' ≠ 0,
(adb' > bcb') (a'b = ab') (c'd = cd'),
per le proprietà associativa e commutativa,
(a'db > bcb') (a'b = ab') (c'd = cd'),
si divide per b ≠ 0,
(a'd > cb') (a'b = ab') (c'd = cd'),
si moltiplica per d' ≠ 0,
(a'dd' > cb'd') (a'b = ab') (c'd = cd'),
per le proprietà associativa e commutativa,
(a'dd' > c'b'd) (a'b = ab') (c'd = cd'),
si divide per d ≠ 0,
(a'd' > c'b') (a'b = ab') (c'd = cd'),
pertanto segue che
Il criterio del confronto vale quindi nell'insieme dei razionali.
Nell'insieme Q si possono definire anche l'addizione e la moltiplicazione. Addizione Se si hanno due razionali individuati dalle coppie
si può considerare il numero razionale così definito:
in quanto, essendo b e d diversi da zero, anche bd ≠ 0.
In tal modo, a due numeri razionali se ne è associato uno solo.
Si considerino ora le coppie
che individuano rispettivamente gli stessi razionali delle coppie
Anche in tale caso esiste un numero razionale:
equivalente al precedente.
Ora si dimostra che, considerata la legge di composizione
Moltiplicazione Se si hanno due razionali individuati dalle coppie
si può considerare il numero razionale prodotto così definito:
Si considerino ora le coppie
che individuano rispettivamente gli stessi razionali delle coppie
Si dimostra che, considerata la legge di composizione
risulta
La dimostrazione è analoga a quella dell'addizione.
L'addizione
e la moltiplicazione godono delle proprietà commutativa, associativa e
distributiva della somma rispetto al prodotto. Questo principio, che fa
valere le stesse operazioni dei numeri naturali, si chiama principio di permanenza. Altro principio fondamentale è il principio d'ampliamento, che esprime il fatto che l'insieme dei razionali comprende quello dei naturali. Infatti, fra i numeri razionali vi sono quelli individuati da coppie aventi seconda coordinata 1, cioè del tipo a/1.
Inoltre, l'insieme delle frazioni del tipo già visto è equipotente con l'insieme dei naturali. Viceversa, ogni naturale è stato generato da una coppia del tipo già visto. Dunque, l'insieme dei numeri interi si può identificare con i numeri razionali individuati dalle coppie del tipo (a, 1).
Si dimostra che:
a + b = (a, 1) + (b, 1).
Infatti:
Ciò esprime la circostanza che alla somma di due razionali è associato un numero razionale dello stesso tipo.
Si dimostra anche che:
ab = (a, 1)(b, 1).
Infatti:
Ciò esprime la circostanza che al prodotto di due razionali è associato un numero razionale dello stesso tipo.