Rette orientate Considerato un piano euclideo ed assegnato un punto, si possono fissare due versi di rotazione (orario o positivo, antiorario o negativo). Si considerino la semiretta di origine S ed un suo punto A ≠ S e la retta r che contiene tale semiretta. Si orienti la semiretta in modo tale che S preceda A:
Si dice che r è una retta orientata associata alla semiretta SA.
Se si considerano ora la semiretta di origine S ed un suo punto A, la seguente configurazione
mostra la semiretta associata alla retta r. Angoli di rette orientate Sia (r, s) una coppia ordinata di rette e sia S il punto comune alle due rette orientate. Si
definisce angolo della coppia orientata (r, s), l'angolo minore di
un angolo giro che la semiretta di origine S associa alla retta
orientata r, che descrive ruotando intorno ad essa per sovrapporsi alla
semiretta di origine S, associata alla retta orientata s.
Si presentano i seguenti casi in figura:
L'angolo della coppia ordinata (r, s) si indica con
e la misura degli angoli si effettua in radianti.
Dalla definizione segue:
-se r = s = 0 radianti,
-se r ≠ s + = 2π radianti.
Nel caso in cui r ≠ s, si ha:
sen = -sen, cos = cos, tg = -tg.
Assegnata
una coppia di rette non orientate, gli angoli che si possono definire
orientando le due rette in tutti i modi possibili differiscono al più
di π.
Considerata la coppia ordinata , si deduce che
Considerando l'insieme di tutte le rette che compiono un ciclo completo
-se r = s = 0, = π, = π, = 0, cioè gli angoli formati da r ed s coincidenti possono essere uguali a zero oppure a π, e quindi differire al più di π;
-se r ≠ s, si presentano i seguenti due casi:
1) < π,
2) > π.
La 1) presenta a sua volta due casi:
1)' ≤ π/2, cioè le rette orientate r ed s formano un angolo minore o uguale di π/2.
1)'' Si determinano gli angoli
= + π, = + π = .
Nel caso 2), si ha:
= + π, = - π = .
Ricapitolando, si ha:
Gli angoli sono calcolati durante le svariate posizioni e la tangente assume valori costanti.
Nota bene Considerata
una coppia non ordinata di rette e non orientata, si può dire che le
funzioni sen, cos e tg, i cui angoli si ottengono orientando la retta in
tutti i modi possibili, sono uguali in valore assoluto.
Si
considerano ora due rette parallele e distinte. Tali rette si possono
considerare orientate con verso concorde Fig. 1) e Fig. 2), oppure con
verso discorde Fig. 3).
Per convenzione, si dice quanto segue: -se le due rette r ed s, r||s, r ≠ s, sono concorde, = 0, -se le due rette r ed s, r||s, r ≠ s, sono discorde, = π.
Siano
r ed s due rette orientate, sia AB un segmento orientato su r; se
A'B' è la proiezione ortogonale di AB su s, allora si ha
a) dA'B' = dABcos = cosdAB.
Si ricorda che, se si considerano due rette r ed s e due punti A e B di r, la proiezione ortogonale di AB su s è:
(*) |dA'B'| = |dAB||cos|.
Per dimostrare ciò, è necessario esaminare vari casi:
1) r ed s formano angoli maggiori o uguali a zero e maggiori di π/2, cioè
(**) 0 ≤ < π/2.
Considerato il segmento AB su r, il segmento è orientato positivamente, quindi:
dAB > 0 dA'B' > 0,
dAB < 0 dA'B' < 0.
Considerando il segmento BA, si ha:
cos = cos > 0.
Tenendo conto di (*) e (**), si ha:
dA'B' = dABcos = dABcos.
Quindi a) è vera almeno nel caso:
0 ≤ < π/2.
Considerando il segmento AB, esso è concorde ed orientato positivamente, quindi:
dAB > 0.
Tracciando le proiezioni ortogonali su s, si ottengono A' e B', quindi se
dAB > 0 dA'B' < 0,
dAB < 0 dA'B' > 0.
Quindi, la misura del segmento orientato AB e quella del segmento orientato A'B' hanno segno diverso.
Inoltre
Dunque, dall'esame della (*) si perviene a dA'B' > 0, e quindi è verificata la relazione precedentemente enunciata.
Considerate le proiezioni ortogonali A', B' su s del segmento AB, si ha che AB ed A'B' sono orientati entrambi positivamente, quindi:
dAB > 0 dA'B' > 0,
dAB < 0 dA'B' < 0.
Quindi, la misura del segmento orientato AB e quella del segmento orientato A'B' hanno segno concorde e banalmente è verificata la relazione precedentemente enunciata.
Quindi,
dA'B' = dABcos = cosdAB,
come volevasi dimostrare.
Distanza di un punto da una retta orientata Si
considera un punto P e da esso si traccia la perpendicolare n alla
retta orientata r, in modo tale che n formi con r un angolo di π/2. Se H è il punto comune alle rette r ed n, cioè
si definisce distanza del punto P dalla retta orientata r la misura del segmento orientato PH, che si trova su n.
Coseni direttori
Si fissi un riferimento metrico e si consideri una retta r del piano.
I coseni direttori della retta retta orientata r sono rispettivamente
cos, cos.
Relazione fondamentale dei coseni direttori
a) cos2 + cos2 = 1.
Si considerano i seguenti casi:
1) < π/2.
E' noto che cos = cos, è il complementare di , cioè
Infine, possono verificarsi i casi espressi nelle seguenti figure:
Nell'ultima figura risulta
= 0, = π/2,
pertanto
cos = cos = sen.
Si
fissi ora un riferimento metrico nel piano e si consideri una
retta r non passante per l'origine; l'equazione della retta normale ad
r è:
xcos + ycos - p = 0,
in cui cos e cos sono i coseni direttori della normale n ad r, orientata in modo che p sia la distanza dell'origine dalla retta orientata r. Dal punto O si traccia la normale n ad r e si indica con H l'intersezione: si prende poi un punto P avente coordinate (x, y) e si considera la proiezione Px di P sull'asse x, e da tale punto si traccia la parallela alla retta r, ottenendo il punto K, intersezione con la retta n.
Quindi, si ha:
dOK + dKH + dHO = 0 dOH = dOK + dKH.
Ponendo
dOH = p,
si ha:
come volevasi dimostrare.
Retta orientata passante per l'origine Si consideri una
retta r passante per l'origine; l'equazione della retta normale ad
r è:
xcos + ycos = 0.
Essendo
Relazioni fra i coseni direttori di una retta orientata r e quelli della sua normale Si dimostra che:
1) cos = -cos,
2) cos = cos.
Dimostrazione 1) Dalla figura si nota che
= + , = π/2 + .
Inoltre, tenendo conto che per definizione di riferimento risulta
= + , = π/2 - ,
si ha
cos = cos(π/2 + ) = -sen = -sen(π/2 - ) = -cos = -cos cos = -cos,
quindi la 1) è vera.
Dimostrazione 2)
E' noto che
+ = π/2, + = π/2 + = + = cos = cos,
quindi la 2) è vera.
Siccome l'equazione della retta normale ad
r è:
xcos + ycos - p = 0,
equivalentemente si ha:
xcos - ycos - p = 0.
Si consideri ora una retta orientata r di equazione
xcos + ycos - p = 0
e siano la retta orientata verso il basso ed
la sua normale. Per scrivere l'equazione di tale retta, è sufficiente
considerare i coseni direttori della sua normale. Analogamente,
conoscendo i coseni direttori di , si può scrivere la sua equazione:
xcos + ycos - = 0.
Si distinguono due casi:
1) + = = + π cos = cos( + π) = -cos,
2) + = = - π cos = cos( - π) = -cos.
Siccome
p = dOH p = xcos + ycos -xcos - ycos + p = 0
-(xcos + ycos - p) = 0.
Questa è una delle due equazioni della retta normale alla retta orientata ; analogamente si trova l'altra:
+(xcos + ycos - p) = 0.
Quindi, fissata una retta orientata r, le equazioni delle rette normali sono espresse da:
±(xcos + ycos - p) = 0.
Distanza di un punto da una retta orientata Si fissi un riferimento metrico, si considerino una retta orientata r e le equazioni delle rette normali:
±(xcos + ycos - p) = 0.
Sia P(x0, y0), si dimostra che la distanza di tale punto dalla retta orientata r è espressa da:
d = -(x0cos + y0cos - p).
Sia r la retta orientata e P(x0, y0) un punto, quindi si traccia la normale alla retta r, che la interseca nel punto H.
Inoltre, per P si conduce la parallela ad r e si considera la retta r' orientata nello stesso verso di r:
d = dPH = dML.
Siccome
le normali di r ed r' sono le stesse, conoscendo i coseni direttori di
r, tali sono quelli di r'. Quindi, l'equazione di r' è
Questa
è l'equazione normale delle due rette orientate che si possono ottenere
a partire dalla retta s, orientando la stessa prima in un verso e poi
nell'altro. Così operando, si dice che si è normalizzata l'equazione di
s.
Sia P(x0, y0) un punto, r la retta orientata di equazione
xcos + ycos - p = 0,
e si consideri la distanza del punto P da r
d = -(x0cos + y0cos - p).
Si
considera ora la retta orientata ottenuta da r cambiando
l'orientazione; segue che la nuova distanza da P alla nuova
retta orientata è data da
d' = -(-x0cos - y0cos + p) = x0cos + y0cos - p.
Le distanze del punto P(x0, y0) dalle due rette orientate che si possono ottenere orientando r prima in un verso e poi nell'altro, sono espresse da
d = ±(x0cos + y0cos - p),
e
esprime la distanza dal punto P(x0, y0) delle due rette orientate ottenute dalla retta di equazione ax0 + by0 + c = 0, orientandola prima in un verso e poi nell'altro. Inoltre, la distanza dal punto P(x0, y0) alla retta s non orientata è data in valore assoluto da
Distanza di due punti Assegnato un riferimento metrico, siano A(x1, y1), B(x2, y2) due punti.
Si ha:
Posto d = AB, risulta
In particolare, si possono considerare i seguenti orientamenti:
Nel caso 1),
nel caso 2),
Siano
A(x1, y1), B(x2, y2), A ≠ B,
due punti, e si orienti la retta passante per essi in modo che A preceda B.
Si è visto che
Siccome la retta è orientata in modo che A preceda B, si ha:
Pertanto
perchè si è visto che
cos = cos, cos = cos.
A tal punto, dati A e B, si vuole scrivere l'equazione normale della retta AB orientata in modo che A preceda B. L'equazione della retta AB, note le coordinate dei due punti, scritta sotto forma di determinante è la seguente:
Sviluppando secondo gli elementi della prima riga, equivalentemente si ha:
Ora, l'equazione normale delle due rette ottenute orientando in tutti i modi possibili è:
Se in particolare
si ha l'equazione normale di AB, in modo che A preceda B secondo il verso fissato sulla retta.
Si è visto che
Quindi si ha:
Essendo inoltre
sen = cos,
si ha che
Dunque,
considerati i coseni direttori, si ha sempre -a/b = m e quindi il
coefficiente angolare m dipende dall'orientamento.
Se
Se
x = 0, l'equazione y = mx + p diventa y = p, pertanto p è
l'ordinata del punto di intersezione con l'asse y, cioè p è la misura
del segmento orientato avente come estremi l'origine ed il punto P(0, p).
Si
considerino ora due rette r ed s, orientate in modo tale che entrambe
passino per l'origine e quindi si abbia una relazione valida per
qualsiasi posizione, cioè:
+ = = - .
Si ricordano ora le seguenti formule di trigonometria:
Si suppone ora che le rette r ed s abbiano le seguenti equazioni:
r) ax + by + c = 0, s) a'x + b'y + c' = 0,
e che i loro coseni direttori siano
Si suppone inoltre che le le rette r ed s siano orientate in modo che 1) per entrambe valgano i segni superiori delle relazioni suddette:
2) per r valgano i segni superiori e per s quelli inferiori delle relazioni suddette, si ha:
3) per r valgano i segni inferiori e per s quelli superiori delle relazioni suddette, si ha:
4) per per entrambe valgano i segni inferiori delle relazioni suddette, si ha:
Concludendo, si può dire che,
fissate le rette orientate r ed s, le funzioni trigonometriche seno e
coseno che r ed s possono formare con angoli in qualsiasi posizione,
sono espresse da 1), 2), 3), 4). Quindi, delle quattro espressioni
suddette, vista l'uguaglianza a due a due, si può scrivere:
Se si considerano i segni superiori o quelli inferiori, si ha:
Se
r) y = mx + p, s) y = m'x + p' mx - y + p = 0, m'x - y + p' = 0,
quindi si ha:
In tema di notazioni, s'introduce il simbolo di perpendicolarità: ┴ significa perpendicolare.
Ciò detto, assegnate le rette r ed s di equazioni
r) ax + by + c = 0, s) a'x + b'y + c' = 0,
si dà la seguente definizione:
r) ┴ s) = π/2 v = 3π/2 cos = 0 aa' + bb' = 0.
Questa è la condizione di perpendicolarità delle rette r ed s di equazioni suddette.
Se invece le rette sono rappresentate dalle equazioni
r) y = mx + p, s) y = m'x + p',
la condizione di perpendicolarità delle rette r ed s diventa mm' + 1 = 0, cioè
r) ┴ s) mm' + 1 = 0 m' = -1/m.
La condizione aa' + bb' = 0, si può esprimere come segue:
aa' + bb' = 0 ρ ≠ 0 a' = ρb, b' = ρa. (*)
Ora, data la retta
r) ax + by + c = 0
ed un punto P0(x0, y0), si dimostra che esiste una ed una sola retta perpendicolare ad r.
Infatti, essendo noto che una retta generica passante per un punto ha equazione
a'(x - x0) + b'(y - y0) = 0,
tenendo conto di (*), si ha:
ρb(x - x0) + ρa(y - y0) = 0.
Quindi, l'equazione della retta perpendicolare ad r è espressa da
b(x - x0) + a(y - y0) = 0.
Se invece la retta
r) y = mx + n,
considerato il punto P0(x0, y0), la retta generica per P0 perpendicolare ad r è espressa da
(y - y0) = m'(x - x0),
dove
m' = -1/m.
Se m ≠ 0, l'equazione è
Se m = 0, la retta è parallela all'asse x e la perpendicolare ad r per P0 ha equazione
x - x0 = 0.
Se la retta
r) xcos + ycos - p = 0,
considerato il punto P0(x0, y0), la distanza di P0 dalla retta orientata R è data da
d = -x0cos - y0cos + p.
Si ricorda che assegnati i punti P1(x1, y1), P2(x2, y2), P1 ≠ P2, si può considerare la retta orientata P1P2 e la distanza d12 espressa da
Inoltre, la retta orientata ha equazione
Assegnati tre punti non allineati, P0(x0, y0), P1(x1, y1), P2(x2, y2), si può considerare il triangolo avente vertici P0, P1, P2.
Fissato
un riferimento metrico, è noto che l'area del triangolo è data dal
prodotto della base per l'altezza ad essa relativa diviso due. Se il
perimetro del triangolo è dato in senso antiorario, basta orientare un
lato, ad esempio P1P2, ed automaticamente gli altri saranno orientati in P2P0 e P0P1. In tal modo, la retta P1P2 risulta orientata, di conseguenza sarà orientata la normale da P0H, e quindi i segmenti orientati sono positivi e l'area è positiva.
Fissato un verso, antiorario, la normale risulta come in figura, la base è positiva perchè P1 precede P2, l'altezza è negativa, quindi l'area è negativa.
Si determinano ora tali aree. Si stabilisce il verso in modo che P1 preceda P2, quindi l'equazione della retta orientata è
Pertanto, la distanza della retta orientata è
che è anche l'altezza del triangolo, ed inoltre
Quindi
Con |A| si indicherà l'area, senza parlare di eventuali orientazioni.