MIKY & GENNY

 SISTEMI COORDINATI ---> INDICE

Si fissi un riferimento (O, U) sulla retta euclidea r e si consideri l'applicazione f che, ad ogni punto della retta, associa un numero reale; tale applicazione una bigezione dei punti della retta r nell'insieme dei numeri reali R, cio:


dove x l'ascissa di X rispetto ad
(O, U).

Tale applicazione f si chiama sistema coordinato relativo ad
(O, U).

Si esprimono ora, mediante prodotto di applicazioni, le relazioni esistenti fra sistemi coordinati relativi a due
riferimenti diversi. Si consideri quindi un altro riferimento (O', U') sulla retta euclidea r e si consideri l'applicazione f' che, ad ogni punto della retta, associa un numero reale; tale applicazione anche una bigezione dei punti della retta r nell'insieme dei numeri reali R, cio:


dove x' l'ascissa di X rispetto ad
(O', U').

Si ricorda ora che, rispetto ai riferimenti
(O, U) ed (O', U'), stata definita la trasformazione lineare intera che una bigezione dell'insieme dei numeri reali su se stesso,


tale che ad ogni
xR corrisponde x' = αx + β, dove


Si indichi
con T tale trasformazione e sia T(x) = αx + β, o anche


T(x) rappresenta la trasformazione lineare intera definita dai due riferimenti (O, U) ed (O', U'), mentre f ed f' i sistemi coordinati relativi rispettivamente ad (O, U) ed (O', U').
In tali condizioni, esiste la relazione

f' = Tf,

cio f' uguale al prodotto operativo di due applicazioni, ed in tal modo ad ogni ascissa del riferimento OU viene associata l'
ascissa del riferimento O'U'. In altri termini f' tale che, ad ogni punto X della retta r, fa corrispondere un numero reale x mediante la f ed al numero reale x fa corrispondere il numero reale x' mediante la trasformazione lineare T.
Da ci segue che

Pertanto


Si dimostra ora che

f' = T ο f.

Allo scopo si consideri un punto X della retta r, allora

f'(X) = x',

ed essendo

x' =
αx + β

il valore della trasformazione lineare in x, si ha

f'(X) = x' 
= αx + β = T(x) = T(f(X)) = T ο f(X),

come volevasi dimostrare.
Si quindi dimostrato che, dato un riferimento (O, U) ed una trasformazione lineare



esiste un unico riferimento che permette il passaggio dalle precedenti alle nuove ascisse.

Se
(O, U) un riferimento, f un sistema coordinato e T una trasformazione lineare, la bigezione

f' = Tf,

che fa corrispondere a punti della retta numeri reali, il 
sistema coordinato relativo ad un determinato riferimento, cio Tf un sistema coordinato di un altro riferimento (O', U').