SISTEMI COORDINATI ---> INDICE
Si
fissi un riferimento 
(O, U)
sulla retta euclidea r e si consideri l'applicazione f che, ad ogni
punto della retta, associa un numero reale; tale applicazione è una
bigezione dei punti della retta r nell'insieme dei numeri reali R, cioè:
dove x è l'ascissa di X rispetto ad(O, U).
Tale applicazione f si chiama sistema coordinato relativo ad(O, U).
Si esprimono ora, mediante prodotto di applicazioni, le relazioni esistenti fra sistemi coordinati relativi a due riferimenti diversi. Si consideri quindi un altro riferimento(O', U') sulla retta euclidea r e si consideri l'applicazione f' che, ad ogni
punto della retta, associa un numero reale; tale applicazione è anche una
bigezione dei punti della retta r nell'insieme dei numeri reali R, cioè:
dove x' è l'ascissa di X rispetto ad(O', U').
Si ricorda ora che, rispetto ai riferimenti(O, U) ed (O', U'), è stata definita la trasformazione lineare intera che è una bigezione dell'insieme dei numeri reali su se stesso,
tale che ad ogni x
R corrisponde x' = αx + β, dove
Si indichi con T tale trasformazione e sia T(x) = αx + β, o anche
T(x) rappresenta la trasformazione lineare intera definita dai due riferimenti(O, U) ed (O', U'), mentre f ed f' i sistemi coordinati relativi rispettivamente ad (O, U) ed (O', U').
In tali condizioni, esiste la relazione
f' = Tf,
cioè f' è uguale al prodotto operativo di due applicazioni, ed in tal modo ad ogni ascissa del riferimento OU viene associata l'ascissa del riferimento O'U'. In altri termini f' è tale che, ad ogni punto X della retta r, fa corrispondere un numero reale x mediante la f ed al numero reale x fa corrispondere il numero reale x' mediante la trasformazione lineare T.
Da ciò segue che
Pertanto
Si dimostra ora che
f' = T ο f.
Allo scopo si consideri un punto X della retta r, allora
f'(X) = x',
ed essendo
x' = αx + β
il valore della trasformazione lineare in x, si ha
f'(X) = x' = αx + β = T(x) = T(f(X)) = T ο f(X),
come volevasi dimostrare. Si è quindi dimostrato che, dato un riferimento (O, U) ed una trasformazione lineare
esiste un unico riferimento che permette il passaggio dalle precedenti alle nuove ascisse.
Se(O, U) è un riferimento, f un sistema coordinato e T una trasformazione lineare, la bigezione
f' = Tf,
che fa corrispondere a punti della retta numeri reali, è il sistema coordinato relativo ad un determinato riferimento, cioè Tf è un sistema coordinato di un altro riferimento(O', U').
(O, U)
sulla retta euclidea r e si consideri l'applicazione f che, ad ogni
punto della retta, associa un numero reale; tale applicazione è una
bigezione dei punti della retta r nell'insieme dei numeri reali R, cioè:dove x è l'ascissa di X rispetto ad
(O, U).Tale applicazione f si chiama sistema coordinato relativo ad
(O, U).Si esprimono ora, mediante prodotto di applicazioni, le relazioni esistenti fra sistemi coordinati relativi a due riferimenti diversi. Si consideri quindi un altro riferimento
(O', U') sulla retta euclidea r e si consideri l'applicazione f' che, ad ogni
punto della retta, associa un numero reale; tale applicazione è anche una
bigezione dei punti della retta r nell'insieme dei numeri reali R, cioè:dove x' è l'ascissa di X rispetto ad
(O', U').Si ricorda ora che, rispetto ai riferimenti
(O, U) ed (O', U'), è stata definita la trasformazione lineare intera che è una bigezione dell'insieme dei numeri reali su se stesso,tale che ad ogni x
R corrisponde x' = αx + β, doveSi indichi con T tale trasformazione e sia T(x) = αx + β, o anche
T(x) rappresenta la trasformazione lineare intera definita dai due riferimenti
(O, U) ed (O', U'), mentre f ed f' i sistemi coordinati relativi rispettivamente ad (O, U) ed (O', U').In tali condizioni, esiste la relazione
f' = Tf,
cioè f' è uguale al prodotto operativo di due applicazioni, ed in tal modo ad ogni ascissa del riferimento OU viene associata l'ascissa del riferimento O'U'. In altri termini f' è tale che, ad ogni punto X della retta r, fa corrispondere un numero reale x mediante la f ed al numero reale x fa corrispondere il numero reale x' mediante la trasformazione lineare T.
Da ciò segue che
Si dimostra ora che
f' = T ο f.
Allo scopo si consideri un punto X della retta r, allora
f'(X) = x',
ed essendo
x' = αx + β
il valore della trasformazione lineare in x, si ha
f'(X) = x' = αx + β = T(x) = T(f(X)) = T ο f(X),
come volevasi dimostrare.
(O, U) ed una trasformazione lineareesiste un unico riferimento che permette il passaggio dalle precedenti alle nuove ascisse.
Se
(O, U) è un riferimento, f un sistema coordinato e T una trasformazione lineare, la bigezionef' = Tf,
che fa corrispondere a punti della retta numeri reali, è il sistema coordinato relativo ad un determinato riferimento, cioè Tf è un sistema coordinato di un altro riferimento
(O', U').