MIKY & GENNY
CALCOLO APPROSSIMATO DI AREE PIANE ---> INDICE
Si
espongono brevemente tre metodi che, con buona approssimazione,
forniscono l'area della porzione di piano limitata dall'arco AB di una
curva di equazione y = f(x), dall'asse delle x e dalle parallele all'asse y
condotte dagli estremi A e B dell'arco.
1)-Metodo dei trapezi o di Bezout
Dato l'arco AB della curva di equazione y = f(x), i cui estremi A e B abbiano coordinate (a, f(a)) e (b, f(b)), si vuole calcolare l'area S della porzione di piano limitata dall'arco AB, dalla spezzata A0B0AB, formata dalle ordinate estreme, e dal segmento A0B0 dell'asse x.
Si divide l'intervallo A0B0 = b - a in n di parti uguali, ciascuna delle quali è
e per i punti di divisione A1, A2, ..., An-1, le cui ascisse siano x1, x2, ..., xn-1, si innalzino le ordinate A1P1, A2P2, ..., An-1Pn-1, indicate con f(x1), f(x2), ..., f(xn-1).
Sostituendo ad ogni arco
le corde AP1, P1P2, ..., Pn-1B,
si ottengono n trapezi; la somma S' delle aree di questi n trapezi
dà un valore approssimato dell'area S richiesta e, tale approssimazione è tanto maggiore, quanto più grande è il numero n di suddivisioni nell'intervallo [a, b].
Per l'area S', indicando con
l'altezza di ciascuno dei trapezi, si ha:
2)-Formula di Cotes o delle tangenti
Si divida l'intervallo [a, b] in un numero pari 2n di parti uguali e si innalzino le ordinate f(xi), con i = 1, 2, ..., n-1 nei punti di divisione.
Si traccino le tangenti alla curva negli estremi delle ordinate di indice dispari; ogni tangente con l'ordinata di indice pari precedente e seguente e l'asse x, determina un trapezio.
La somma delle aree dei trapezi ottenuti è l'area richiesta:
Tale formula ha maggiore approssimazione di quella dei trapezi.
3)-Formula di Cavalieri-Simpson
Si divida l'intervallo [a, b] in un numero pari 2n di parti uguali.
Posto
la formula di Cavalieri-Simpson
dà un valore approssimato dell'area richiesta.
La formula di Cavalieri-Simpson dà una maggiore approssimazione di quella di Cotes o delle tangenti.
1)-Metodo dei trapezi o di Bezout
Dato l'arco AB della curva di equazione y = f(x), i cui estremi A e B abbiano coordinate (a, f(a)) e (b, f(b)), si vuole calcolare l'area S della porzione di piano limitata dall'arco AB, dalla spezzata A0B0AB, formata dalle ordinate estreme, e dal segmento A0B0 dell'asse x.
Si divide l'intervallo A0B0 = b - a in n di parti uguali, ciascuna delle quali è
e per i punti di divisione A1, A2, ..., An-1, le cui ascisse siano x1, x2, ..., xn-1, si innalzino le ordinate A1P1, A2P2, ..., An-1Pn-1, indicate con f(x1), f(x2), ..., f(xn-1).
Sostituendo ad ogni arco
le corde AP1, P1P2, ..., Pn-1B,
si ottengono n trapezi; la somma S' delle aree di questi n trapezi
dà un valore approssimato dell'area S richiesta e, tale approssimazione è tanto maggiore, quanto più grande è il numero n di suddivisioni nell'intervallo [a, b].Per l'area S', indicando con
l'altezza di ciascuno dei trapezi, si ha:
2)-Formula di Cotes o delle tangenti
Si divida l'intervallo [a, b] in un numero pari 2n di parti uguali e si innalzino le ordinate f(xi), con i = 1, 2, ..., n-1 nei punti di divisione.
Si traccino le tangenti alla curva negli estremi delle ordinate di indice dispari; ogni tangente con l'ordinata di indice pari precedente e seguente e l'asse x, determina un trapezio.
La somma delle aree dei trapezi ottenuti è l'area richiesta:
Tale formula ha maggiore approssimazione di quella dei trapezi.
3)-Formula di Cavalieri-Simpson
Si divida l'intervallo [a, b] in un numero pari 2n di parti uguali.
Posto
la formula di Cavalieri-Simpson
dà un valore approssimato dell'area richiesta.
La formula di Cavalieri-Simpson dà una maggiore approssimazione di quella di Cotes o delle tangenti.