MIKY & GENNY

CAMBIAMENTO DI COORDINATE E COORDINATE POLARI ---> INDICE

Spesso, dopo aver riferito un punto o un insieme di punti del piano ad un sistema di di coordinate cartesiane ortogonali, è utile riferirsi ad un altro sistema di coordinate cartesiane ortogonali che, per la particolare scelta degli assi, porti a formule più semplici. Alcune volte è conveniente riferirsi ad altri sistemi di coordinate, come ad esempio il sistema di coordinate polari.

Cambiamento del riferimento cartesiano
Dal sistema cartesiano ortogonale monometrico Oxy si vuole passare al sistema cartesiano monometrico O'XY, ove O' ha coordinate (a, b) rispetto al precedente sistema Oxy.
Tale trasformazione la si decompone in una traslazione, che porti gli assi x e y parallelamente a se stessi, in x' e y' con origine O' e in una rotazione che porti gli assi x' e y' in X e Y, rimanendo sempre O' come origine.



Traslazione degli assi

Per la prima operazione di traslazione, cioè per il passaggio dal sistema Oxy al sistema O'x'y', si indicano con (x, y) le coordinate di un punto generico P del piamo rispetto al riferimento Oxy e con (x', y')
le coordinate dello stesso punto rispetto al riferimento O'x'y' e si determina la relazione che lega le coordinate x e y con le coordinate x' e y'.



Dalla figura risulta che:


quindi


In conclusione, risulta:

(1) x = a + x'   e   y = b + y',

da cui

(2) x' = x - a   e   y' = y - b.

I due gruppi di formule (1) e (2) permettono di passare dal sistema di coordinate (x', y') al sistema (x. y) e viceversa; esse si chiamano "formule di traslazione degli assi".

Rotazione degli assi

Per la seconda operazione di rotazione, cioè per il passaggio dal sistema O'x'y' al sistema O'XY, si indicano con (x', y') le coordinate del generico punto P rispetto al riferimento 0'x'y' e con (X, Y) le coordinate dello stesso
punto P rispetto al riferimento O'XY e con φ l'angolo che il semiasse positivo X forma con x'.


Dalla figura si rileva che:


ossia



Dal triangolo rettangolo O'NS si ha che:



ossia


Nota bene
In un
triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto oppure all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente.

Dal triangolo rettangolo PRS si ha che:


Sostituendo i valori in (3) e (4), si ha:


Risolvendo le (5) rispetto ad X e Y, si ha:



Le (5) e (6) si chiamano formule di rotazione degli assi
.

Sostituendo i valori di x' e y' delle (5) nelle (1), si ottengono le formule di trasformazione generale degli assi, cioè le formule di passaggio dal sistema O'XY al sistema Oxy:



Risolvendo le (7) rispetto ad X e Y, si hanno le formule di passaggio dal sistema Oxy al sistema O'XY:


Coordinate polari

Sia fissato nel piano un punto O chiamato polo e, con l'origine in O, si consideri una semiretta orientata x, chiamata asse polare e sia u l'unità di misura.

Se P è un punto generico del piano, si chiama raggio vettore di P il numero ρ che misura rispetto ad u il segmento OP ed anomalia di P il numero φ che misura in radianti o gradi l'angolo orientato . Il verso positivo di rotazione sia quello antiorario.

I numeri
ρ e φ si chiamano coordinate polari del punto P e si scrive P(ρ, φ)
.

In tal modo si è determinata una corrispondenza biunivoca fra le coppie di numeri
(ρ, φ) ed i punti del piano, e viceversa.

Quando nel piano si è fissato il polo, l'asse polare, l'unità di misura u e il verso positivo di rotazione, si dice che si è fissato un riferimento polare.

Le linee coordinate del sistema polare sono
ρ = costante e φ = costante.
La linea
ρ = costante rappresenta un cerchio di centro O e raggio ρ.
La linea
φ = costante rappresenta la semiretta che esce da O e forma con l'asse polare un angolo uguale a φ.
Non si deve dimenticare che le linee coordinate nel sistema cartesiano ortogonale sono date da x = costante, retta parallela all'asse y e y = costante, retta parallela all'asse x.


Il polo O ha raggio vettore nullo ed anomalia indeterminata
.



Formule di passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane e viceversa
Date le coordinate
(ρ, φ) di un punto del piano, si vogliono determinare le corrispondenti coordinate cartesiane (x, y).
Allo scopo, si fa coincidere il polo con l'origine degli assi cartesiani e l'asse polare con l'asse x.


Dal triangolo rettangolo OMP si ricava:


cioè



e

(9) x = ρ cosφ,   y = ρ senφ.

Date ora le coordinate (x, y) di un punto P del piano, si vogliono determinare le corrispondenti coordinate polari
(ρ, φ). Dal triangolo OMP si ricava:


Dalle equazioni (9), dividendo membro a membro la seconda per la prima, si ottiene:


ossia


Nota bene

Dalla (11) si ricava:


valori che si potevano ottenere dalla (9).

Si osservi che:

 

si legge
φ uguale ad arco tangente


e che ad ogni 
coppia di valori x e y, cioè ad ogni valore di



corrispondono due valori di
φ differenti di 180°.