MIKY & GENNY
ANGOLI DEI TRIANGOLI E DEI POLIGONI ---> INDICE
Somma degli angoli di un triangolo
Teorema - La somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti.Ipotesi: sia ABC un triangolo qualsiasi.
Tesi: si vuole dimostrare che la somma dei suoi angoli interni α+β+γ è uguale a due angoli retti.
Dimostrazione
Infatti, per uno dei vertici del triangolo, ad esempio B, si conduce la parallela DE al lato opposto AC. Gli angoli α e α' sono uguali, perchè alterni interni rispetto alle due parallele AC e DE tagliate dalla trasversale AB; gli angoli γ e γ' risultano anche uguali, perchè alterni interni rispetto alle stesse parallele ed alla trasversale BC. Segue che la somma degli angoli interni del triangolo α+β+γ è uguale alla somma degli angoli α'+β'+γ'. Ma la somma di questi tre angoli è l'angolo piatto di vertice B e lati BD e BE, uguale a due angoli retti; in definitiva, la somma α+β+γ degli angoli del triangolo è due angoli retti, come volevasi dimostrare.
Da questo fondamentale teorema, che è una conseguenza del postulato delle parallele, si possono dedurre importanti corollari.
Corollario 1 - In un triangolo rettangolo i due angoli acuti sono complementari.
Corollario 2 - Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali, hanno uguali anche i terzi angoli.
Infatti, ciascuno dei terzi angoli è uguale alla differenza fra un angolo piatto e la somma degli altri due, e tale somma è la stessa per ipotesi in ciascuno dei due triangoli.
Corollario 3 - L'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso.
Infatti, se α, β e γ sono gli angoli interni di un triangolo ed α' è l'angolo esterno adiacente ad α, tanto α' quanto β+γ sono supplementari all'angolo α, poichè è α'+α= due angoli retti e (β+γ)+α=due angoli retti, quindi α'=β+γ.
SOMMA DEGLI ANGOLI DI UN POLIGONO
Teorema - In ogni poligono la somma degli angoli interni è data dalla differenza fra il numero degli angoli piatti, pari al numero dei suoi lati, e due angoli piatti.
Ipotesi: sia dato un poligono di n lati.
Tesi: si vuole dimostrare che la somma dei suoi angoli interni è uguale a n-2 angoli piatti.
Dimostrazione
Si congiunge un punto interno O del poligono con tutti vertici, pertanto il poligono resta diviso in un numero di triangoli pari al numero dei lati. Siccome la somma degli angoli di un triangolo è pari a due angoli retti, ossia ad un angolo piatto, la somma degli angoli di tutti questi triangoli è tanti angoli piatti per quanti sono i triangoli, ovvero quanti sono i lati del poligono, cioè 5 nel pentagono rappresentato nella figura seguente. Ora, la somma degli angoli interni del poligono è uguale alla somma degli angoli dei triangoli nei quali è scomposto, diminuita di quelli che stanno intorno ad OC, che rappresentano un angolo giro, ossia due angoli piatti.
Nel pentagono, la somma degli angoli interni è: 5-2=3 angoli piatti, o equivalentemente 6 angoli retti.
Nota
In un quadrilatero, la somma degli angoli interni è: 4-2=2 angoli piatti, o equivalentemente 4 angoli retti.
Teorema - In un poligono la somma degli angoli esterni, uno per ogni vertice, è uguale a due angoli piatti.
Ipotesi: sia dato un poligono di n lati.
Tesi: si vuole dimostrare che la somma dei suoi angoli esterni, uno per ogni vertice, è uguale a 2 angoli piatti.
Dimostrazione
Infatti, ogni angolo esterno è adiacente ad un angolo interno, quindi in ogni vertice la somma di un angolo esterno e di un angolo interno è uguale ad un angolo piatto. Pertanto, la somma di tutti gli angoli esterni ed interni del poligono è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati. Siccome la somma degli angoli interni, per il teorema precedente è uguale a n-2 angoli piatti, risulta che la somma dei soli angoli esterni è n-(n-2), ossia n-n+2=2 angoli piatti.
