MIKY & GENNY

COSTRUZIONI FONDAMENTALI ---> INDICE

GENERALITA'

La risoluzione di un problema geometrico consiste nella costruzione degli enti che si cercano, mediante l'uso di alcuni strumenti, i più usati: la riga, la squadretta e il compasso. Le costruzioni fondamentali che con tali strumenti si possono effettuare sono:
1)-la retta passante per due punti dati, con l'uso della riga,
2)-la perpendicolare ad una retta, con l'uso della squadretta,
3)-la circonferenza di centro e raggio dato, con l'uso del compasso.
Ad una costruzione qualsiasi, se è possibile effettuarla, si perviene mediante l'esecuzione successiva di più costruzioni fondamentali.

Un problema si dice risolvibile elementarmente quando per la sua risoluzione sono sufficienti la riga, la squadretta e il compasso
.
Di questi problemi si occupa soltanto la geometria elementare. I problemi risolvibili con la riga e la squadretta sono anche risolvibili con la riga e il compasso soltanto, se l'uso della squadretta non è necessario.
Nelle prossime costruzioni, si useranno soltanto la riga e il compasso.

COSTRUZIONI

1)-Dividere un segmento AB in due parti uguali
.
La costruzione si effettua nel modo seguente:
a)-con centro in A e con raggio
AR maggiore della metà di AB, si descrive una circonferenza,
b)-con centro in B e con raggio BR' maggiore della metà di AB, si descrive un'altra circonferenza.
Si osserva che le due circonferenze s'incontrano nei due punti O e O' e che AB per costruzione è minore della somma dei raggi AR e BR'. Essendo O e O' equidistanti da A e da B, la retta OO' è l'asse del segmento AB, e perciò essa taglia il segmento AB in un punto C, suo punto medio.



Nota: in questa costruzione, il disegno delle circonferenze è stato limitato a quella parte di piano in cui le circonferenze si sono incontrate.
2)-Dividere un angolo  in due parti uguali.
La costruzione si effettua nel modo seguente:
a)-con centro nel vertice O e con raggio a piacere si descrive un arco di circonferenza che interseca i due lati dell'angolo in due punti D e E.

b)-con centri in D ed E e con uno stesso raggio maggiore della metà della corda ED, si descrivono due circonferenze che devono incontrarsi in in due punti: se C è uno di questi, interno all'angolo da dividere, la semiretta OC è la bisettrice dell'angolo dato. Infatti, i due triangoli OCD e OCE sono uguali, perche hanno il lato OC in comune, OD=OE e EC=CD per costruzione. Quindi, sono uguali gli angoli opposti ai lati uguali, cioè OC A è la bisettrice dell'angolo
dato.


3)-Condurre da un punto P la perpendicolare ad una retta r
.
Si distinguono due casi:
a)-il punto P appartiene alla retta r,
b)-il punto P è esterno alla retta r.
Nel caso a), con centro in P e raggio a piacere, si descrive una circonferenza la quale interseca la retta r in due punti A e B, e con centri in A e B e raggio maggiore della metà di AB si descrivono due circonferenze, che si devono incontrare in due punti: se O è uno di questi, la retta OP è la perpendicolare richiesta. Infatti, essendo P e O equidistanti da da A e da B, la retta PO è l'asse del segmento AB e quindi è perpendicolare alla retta AB.
Nel caso b), con centro in P e raggio a piacere, maggiore della distanza di P dalla retta, si descrive una circonferenza, in modo che intersechi la retta data, nei punti A e B. Con centro in ciascuno di questi due punti, e con raggio maggiore della metà del segmento AB, si descrivono due circonferenze che s'incontrano in due punti: se O è uno di questi, la retta PQ è la perpendicolare richiesta. Infatti, essendo P e Q equidistanti da A e da B, la retta PQ è l'asse del segmento AB e quindi è perpendicolare alla retta data.


4)-Costruire un angolo uguale ad un angolo dato, di cui un lato sia una semiretta O'A' assegnata.

La costruzione si effettua nel modo seguente:
-con centro nel vertice O e con raggio a piacere, si descrive un arco di circonferenza che interseca i due lati dell'angolo in due punti M e N
dell' angolo . Con lo stesso raggio e con centri in O', si descrive un arco di circonferenza che interseca in M' la semiretta O'A'; infine con centro in M' e con raggio uguale alla corda MN si interseca in N' l'arco descritto e si congiunge O' co N'. L'angolo è quello richiesto. Infatti, essendo uguali le corde MN e M'N', sono uguali anche gli archi di circonferenza che le sottendono, e quindi anche gli angoli al centro ad essi corrispondenti e .



5)-Costruire un triangolo ABC, dati due lati AB e BC e l'angolo compreso
α.
La costruzione si effettua nel modo seguente:
-su una retta a piacere si costruisce un segmento AB e, a partire da A, da una parte prefissata, si costruisce un angolo uguale ad
α avente per lato AB e sull'altro lato dell'angolo si stacca un segmento uguale ad AC. Il triangolo ABC è quello richiesto.


6)-Costruire un triangolo ABC, dati un lato AB e due angoli adiacenti
α e β.
La costruzione si effettua nel modo seguente:
-su una retta a piacere si costruisce un segmento AB e, dagli estremi A e B, si tracciano due semirette in modo da formare con AB rispettivamente gli angoli 
α e β. Se queste semirette s'incontrano in un punto C, il triangolo ABC è quello richiesto.



Osservazione

Poichè la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti, affinchè il problema sia risolvibile, occorre che la somma degli angoli
α e β sia minore di due angoli retti. Viceversa, se è soddidsfatta questa condizione, le semirette AC e, BC s'incontrano sicuramente dalla parte in cui sono stati costruiti gli angoli α e β.

7)-Costruire un triangolo ABC, dati tre lato AB, BC e CD
.
La costruzione si effettua nel modo seguente:
-su una retta a piacere si costruisce un segmento AB e si descrivono due archi di circonferenza con centri in A e in B, i cui raggi siano
rispettivamente uguali a AC e AB. Se essi s'intersecano in un punto C, il triangolo ABC è quello richiesto.



Osservazione

L'esistenza del triangolo richiesto è subordinata alla condizione che le circonferenze di raggi AC e CB s'intersechino. Pertanto, supponendo
AC>BC, occorre e basta che sia: AC-CB<AB<AC+CB. Se per il lato AB si sceglie il maggiore dei tre segmenti, oppure se AC=CB, la condizione AB>AC-CB è soddisfatta senz'altro, onde resta soltanto la condizione AB<AC+CB.

8)-Costruire un triangolo equilatero dato un lato
.
La costruzione è identica a quella precedente.
Col compasso, centrando negli estremi di un segmento uguale al lato dato, si tracciano due circonferenze di raggio uguale al segmento dato. La costruzione è sempre possibile, perchè essendo i tre lati uguali, uno qualsiasi di essi è minore della somma degli altri due.

9)-
Dividere un segmento AB in un numero qualsiasi di parti uguali.
La costruzione si effettua nel modo seguente: si suppone di voler dividere il segmento AB in cinque parti uguali. Dato uno degli estremi del segmento, A, si conduce una semiretta AC e si riportano su di essa, a partire da A, cinque segmenti uguali a piacere, Aa,ab, bc, cd, dC. Si congiunge l'estremo C dell'ultimo segmento con B e dagli estremi degli altri si tracciano le parallele alla BC. I punti dove queste incontrano AB dividono in cinque parti uguali il segmento dato.


10)-Condurre le tangenti ad una circonferenza 
da un punto esterno ad essa.
Sia O il centro di una circonferenza e P un
punto esterno ad essa. Dopo aver tracciato una nuova circonferenza di diametro OP, si indicano con A e B i punti di intersezione con la prima: PA e PB sono le tangenti richieste. Infatti, se si congiunge il punto O con i punti A e B, gli angoli  , sono  retti, perchè inscritti in mezza circonferenza, perciò PA e PB, essendo perpendicolari nei punti di contatto ai raggi OA e OB, sono tangenti alla circonferenza.


Osservazione

Da 10) risulta:
1)-I segmenti delle tangenti condotte da un punto ad una
circonferenza, compresi fra tale punto e i punti di contatto, sono uguali.
2)-L'angolo
delle tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza è bisecato dalla semiretta che congiunge il punto con il centro della circonferenza.

11)-Costruire su un segmento un arco capace di un angolo dato
.

Sia AB
un segmento e α un angolo. Da uno degli estremi A del segmento si conduce una semiretta AC tale che l'angolo  sia uguale ad α. La perpendicolare alla semiretta AC nel punto A e l'asse del segmento AB s'incontrano in un punto O equidistante da A e da B. L'arco di circonferenza di centro O e raggio OA, giacente dalla parte opposta di AC, è l'arco richiesto. Infatti, completata la circonferenza con l'arco , si vede che l'angolo , con il lato AC tangente, perchè perpendicolare al raggio AO, e il lato AB secante, insiste sull'arco . Quindi gli angoli inscritti nell'arco e che insistono, perciò come sull'arco , sono tutti uguali all'angolo , ovvero ad α.


12)-Inscrivere un quadrato in una circonferenza
.

Sia data 
una circonferenza di centro O. Si conducono due diametri perpendicolari AC e DB, i quattro archi, , detti quadranti, sono uguali, perchè corrispondono ad uguali angoli al centro. Pertanto, se si uniscono successivamente i quattro estremi, il quadrangolo ABCD che si ottiene è regolare, cioè è un quadrato.



13)-Inscrivere un esagono regolare in una circonferenza
.
Data data una circonferenza di centro O, sia AB uno sei lati dell'un esagono inscritto. Dopo aver unito O con A e con B, si ottiene il triangolo ABO isoscele, sulla base AB, il cui angolo al vertice , essendo la sesta parte di un angolo giro, è uguale ad un sesto di quattro angoli retti, cioè 2/3 di angolo retto. Poichè la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti, gli altri due angoli di vertice A e di vertice B del triangolo AOB sono insieme uguali a 4/3 di angolo retto, e siccome sono uguali, ognuno di essi è uguale a 2/3 di angolo retto. Ciascuno degli angoli del triangolo AOB è 2/3 di di angolo retto: il triangolo è dunque equilangolo e  quindi equilatero. Quindi, si ha: AB=OA, e pertanto si conclude che il lato dell'esagono regolare Inscritto in una circonferenza, è uguale al raggio. Premesso ciò, la costruzione dell'esagono regolare è la seguente: partendo da un punto A della circonferenza, mediante il compasso si riportano di seguito le corde AB, BC,CD, DF e FA, uguali al raggio del cerchio: ABCDEF è l'esagono regolare inscritto nella circonferenza.


14)-Inscrivere un triangolo equilatero in una circonferenza
.

Data
data una circonferenza, la si divide in sei parti uguali, riportando con il compasso delle corde uguali al raggio e ottenendo i punti A, B, C, D, E e F. Gli archi sono uguali, perchè doppi di archi uguali e ciascuno di essi è pertanto la terza parte della circonferenza; dunque ACE è il triangolo equilatero inscritto nella circonferenza.



Mediante due diametri perpendicolari, una circonferenza viene divisa in quattro archi uguali. Le bisettrici degli angoli dei quattro archi dividono questi per metà, e si ottengono così otto archi uguali. Continuando si può dividere la circonferenza in 16, 32... parti uguali. Poichè i numeri 4, 8, 16, 32,... sono tutte potenze di 2, si ha che, mediante la riga e il compasso si può effuttuare la seguente costruzione:
15)-Inscrivere e circoscrivere ad una circonferenza poligoni regolari dei quali il numero dei lati sia della forma 2n.
Analogamente, divisa la circonferenza in sei parti uguali, le
bisettrici degli angoli al centro dei sei archi dividono questi per metà e si ottengono in tal modo 12 archi uguali. Continuando, la circonferenza può essere divisa in 24, 48,... archi uguali. Insomma, si divide la circonferenza in 3, 6, 12, 24, 48,... parti uguali; e poichè questi numeri, scomposti in fattori, sono della forma 3.2n , si ha che è possibile effettuare la costruzione con la riga e il compasso.