MIKY & GENNY
GRANDEZZE ---> INDICE
Grandezze
Per i segmenti, gli angoli, i poligoni, sono stati fissati criteri di uguaglianza, di somma e, siccome le figure per le quali si possono stabilire tali criteri hanno proprietà comuni, è stato conveniente chiamarle grandezze.
Definizione - Le figure per le quali si possono stabilire criteri di uguaglianza e di somma, si chiamano grandezze.
Definizione - Un insieme di grandezze della stessa specie si chiama classe di grandezze omogenee.
I segmenti, gli angoli, ecc., costituiscono altrettante classi di grandezze omogenee, ogni classe contiene o solo segmenti, o solo angoli, ecc.
Il criterio per stabilire l'uguaglianza i due grandezze non è necessariamente quello della sovrapposizione, ad esempio, i poligoni considerati come grandezze sono uguali non soltanto quando si sovrappongono, ma anche, più in generale, quando sono equivalenti.
Quindi, per evitare confusione, l'uguaglianza fra due grandezze si chiamerà uguaglianza estensiva o equivalenza; quando non c'è ambiguità, si adopererà il termine uguale nel senso di equivalente.
L'uguaglianza delle grandezze gode delle seguenti proprietà:
-riflessiva,
-simmetrica,
-transitiva.
La somma dev'essere univoca, cioè somme di grandezze uguali devono essere uguali, e deve godere della proprietà commutativa e associativa.
Dai concetti di uguaglianza e di somma seguono quelli di maggiore e minore.
-Si dice che la grandezza A è maggiore della grandezza B, o prevalente alla grandezza B, se A è la somma di B e di una terza grandezza C.
Se A è maggiore di B, e si indica A>B, si dice anche che B è minore di A, o suvvalente ad A, e si indica B<A.
Date due grandezze A e B, si ha necessariamente:
A<B, oppure A=B, oppure A>B.
Le definizioni di somma di più grandezze, di differenza, di multiplo, di sottomultiplo si stabiliscono per tutte le grandezze, in modo perfettamente analogo a quello dei segmenti e ad esse si estendono ovviamente le proprietà ammesse o dimostrate per i segmenti.
I numeri sono grandezze particolari.
Grandezze commensurabili e incommensurabili
Definizione - Due grandezze si dicono commensurabili se una di esse contiene esattamente l'altra o una sua sottomultipla.
Nella figura di sinistra, A contiene esattamente 5 volte B, in quella di destra A contiene esattamente i 5/3 B. In entrambi i casi, A e B si dicono commensurabili.
In generale, se A e B sono commensurabili, l'ennesima parte di B è contenuta esattamente m volte in A, cioè:
Definizione - Due grandezze si dicono incommensurabili se una di esse non contiene esattamente l'altra o una sua sottomultipla.Si prova l'esistenza di due grandezze incommensurabili dimostrando il seguente teorema:
-il lato e la diagonale di un quadrato sono incommensurabili.
Sia ABCD il quadrato. Ragionando per assurdo, si supponga che la diagonale BD e il lato AB del quadrato siano fra loro commensurabili. Se BD e AB sono fra loro commensurabili, esiste un numero razionale m/n per il quale risulta: (1)
dove i numeri m e n si possono supporre, evidentemente primi fra loro.
Posto: (2)
cioè indicato con u il segmento uguale all'ennesima parte di AB, dalla (1) e (2), si ricava:
BD=mu, AB=nu,
cioè il segmento u è contenuto esattamente m volte in BD e n volte in AB.
Premesso ciò, si costruiscono i quadrati sopra la diagonale BD e sopra i lati, fra loro uguali, AB, BD. Si divide poi ciascun lato del quadrato costruito su BD, in m parti uguali, e ciascuno dei lati dei quadrati costruiti su AB e AD in n parti uguali, e si congiungono poi i punti di divisione dei lati opposti. Nella figura seguente si è supposto m=4 e n=3.
In tal modo il quadrato costruito su BD risulta scomposto in m2 quadratini e ciascuno dei quadrati costruiti su AB e AD in n2 quadratini; tutti questi quadratini sono fra loro uguali, perchè ognuno di lato u. Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo isoscele ABD, si ha
m2=2n2,
Si vede facilmente che la (3) non può essere verificata per n=1, perchè non esiste un numero intero il cui quadrato sia uguale a 2. Ma la (3) non può essere verificata nemmeno per n>1; infatti, ricordando che se due numeri m e n sono primi fra loro, la frazione m2/n2 èirriducibile e perciò non può essere uguale al numero
intero 2. La (3) è quindi assurda. Siccome l'assurdo è
derivato dall'aver supposto che la diagonale BD e il lato AB del quadrato fossero fra loro commensurabili, si può concludere che non lo sono.
Prodotto di una grandezza per un numero
Sia m un numero intero, A una grandezza e si consideri il multiplo della grandezza A secondo il numero m, mA.
Definizione - Si dice prodotto della grandezza A per il numero m, il multiplo della grandezza A secondo il numero intero m, cioè:
mA = A + A + A ... + A , m volte.
Proprietà dei prodotti delle grandezze per i numeri interi
Siano A e B due grandezze omogenee ed m e n due numeri interi, sui prodotti delle grandezze per i numeri interi, valgono le seguenti proprietà:
1)-m(A+B) = mA + mB,
2)-(m + n)A = ma + nA,
3)-m(nA) = mnA,
4)-se A<B, mA<mB e viceversa,
5)-se A>B, mA>mB e viceversa.
6)-se A=B, mA=mB e viceversa,
7)-se m<n, mA<nA e viceversa,
8)-se m>n, mA>nA e viceversa,
9)-se m=n, mA=nA e viceversa.
Prodotto di una grandezza per un numero frazionario
Prodotto di una grandezza per un numero reale
Siccome un numero reale si può sempre rappresentare sotto forma di decimale illimitato, la definizione di prodotto di una grandezza per un numero reale si presenta come una naturale estensione della regola precedente riguardante il prodotto di una grandezza per un numero decimale finito.
Definizione - Si dice prodotto di una grandezza per un numero reale la somma dei prodotti della grandezza per ciascun termine dello sviluppo decimale del numero. Il prodotto di una grandezza A per un numero reale α si indica con α A.
Esempio - Se αA = 2,5734, ossia (2 + 0,5 + 0,07 + 0,003 + 0,0004 + ...), A è dato da 2A + 0,5A + 0,07A + 0,003A + 0,0004A + ...
Il prodotto di una grandezza per un numero reale è dunque la somma di un numero illimitato di grandezze che però sono sempre più piccole. Quindi, come il numero decimale illimitato somma di infiniti numeri sempre più piccoli, è un numero ben definito, così anche il prodotto di una grandezza per un numero reale può essere una grandezza ben definita. Tale fatto non è possibile dimostrarlo in generale sfruttando i teoremi noti, perciò si assume come postulato.
Postulato della continuità
Il prodotto di una grandezza A per un numero reale qualsiasi esiste sempre ed + una grandezza B ben definita.
Rapporto fra grandezze
Si dice rapporto fra due grandezze omogenee il numero per cui si deve moltiplicare la seconda per ottenere una grandezza uguale alla prima.
Esempi
Date due grandezze omogenee A e B, se risulta:
Il rapporto fra A e B è uguale ad α e si scrive indifferentemente:
e si legge "rapporto fra A e B uguale ad α", oppure "A rapporto B uguale ad α".
Cioè:
Se il rapporto fra due grandezze A e B è uguale ad α, qualsiasi numero m diverso da α, o è un valore per difetto o un valore per eccesso del rapporto fra A e B e si ha:
mB<A se m è un valore per difetto,
mB>A se m è un valore per eccesso.
E inversamente, a seconda che mB<A, oppure mB>A, il numero m o è un valore difetto o un valore per eccesso del rapporto fra A e B.
Il rapporto fra due grandezze omogenee è un numero razionale o irrazionale, a seconda che le due grandezze sono commensurabili o incommensurabili.
Si considerano due casi:
a)-se le due grandezze A e B sono commensurabili, o esiste un numero intero per cui mA = B, oppure un numero frazionario m/n per cui
il rapporto fra A e B è perciò m/n, quindi esiste ed è un numero razionale.
b)-se le due grandezze A e B sono incommensurabili, non esiste alcun numero p/q per cui
altrimenti A e B sarebbero incommensurabili; quindi se A e B sono incommensurabili, il loro rapporto non può essere un numero razionale. Pertanto non può che essere un numero irrazionale, ovvero un numero decimale illimitato non periodico.
Per eliminare il dubbio circa l'esistenza del rapporto fra due grandezze incommensurabili, si dimostra, e ci si limita solo all'enunciato, che:
-date due grandezze omogenee qualsiasi A e B, è sempre possibile trovare un numero α tale che moltiplicato per B dia per risultato A.
Criterio di uguaglianza di rapporti
Per verificare l'uguaglianza di due rapporti non è necessario trovare singolarmente il valore di essi, in quanto non è facile, specialmente se i rapporti sono numeri irrazionali. Un criterio più comodo si ricava dal fatto che i rapporti sono numeri reali. Quindi:
-due rapporti sono uguali se i valori per difetto, o per eccesso, di uno coincidono rispettivamente con quelli dell'altro.
Si dimostra il seguente teorema:
-se due rettangoli hanno la stessa altezza il loro rapporto è uguale a quello delle rispettive basi.
Siano dati i rettangoli R = ABCD ed R' = A'B'C'D' aventi la stessa altezza AD = A'D'. Si dimostra che il rapporto fra R ed R' è uguale al rapporto delle basi di R ed R', cioè fra AB ed A'B'.
Si suppone che la quarta parte di A'B' sia contenuta in al massimo tre volte in AB, cioè sia contenuta in AB con un resto minore di (1/4)A'B', come indicato in figura. ciò vuol dire che:
In altri termini:
se 3/4 è un valore approssimato per difetto di AB : A'B', anche 3/4 è un valore approssimato per difetto di R : R'. Siccome queste due considerazioni si possono ripetere se invece del numero 3/4 si prende un numero m/n qualsiasi, si può concludere che i rapporti AB : A'B' ed R ed R' hanno gli stessi valori per difetto, quindi sono uguali.
Per i segmenti, gli angoli, i poligoni, sono stati fissati criteri di uguaglianza, di somma e, siccome le figure per le quali si possono stabilire tali criteri hanno proprietà comuni, è stato conveniente chiamarle grandezze.
Definizione - Le figure per le quali si possono stabilire criteri di uguaglianza e di somma, si chiamano grandezze.
Definizione - Un insieme di grandezze della stessa specie si chiama classe di grandezze omogenee.
I segmenti, gli angoli, ecc., costituiscono altrettante classi di grandezze omogenee, ogni classe contiene o solo segmenti, o solo angoli, ecc.
Il criterio per stabilire l'uguaglianza i due grandezze non è necessariamente quello della sovrapposizione, ad esempio, i poligoni considerati come grandezze sono uguali non soltanto quando si sovrappongono, ma anche, più in generale, quando sono equivalenti.
Quindi, per evitare confusione, l'uguaglianza fra due grandezze si chiamerà uguaglianza estensiva o equivalenza; quando non c'è ambiguità, si adopererà il termine uguale nel senso di equivalente.
L'uguaglianza delle grandezze gode delle seguenti proprietà:
-riflessiva,
-simmetrica,
-transitiva.
La somma dev'essere univoca, cioè somme di grandezze uguali devono essere uguali, e deve godere della proprietà commutativa e associativa.
Dai concetti di uguaglianza e di somma seguono quelli di maggiore e minore.
-Si dice che la grandezza A è maggiore della grandezza B, o prevalente alla grandezza B, se A è la somma di B e di una terza grandezza C.
Se A è maggiore di B, e si indica A>B, si dice anche che B è minore di A, o suvvalente ad A, e si indica B<A.
Date due grandezze A e B, si ha necessariamente:
Le definizioni di somma di più grandezze, di differenza, di multiplo, di sottomultiplo si stabiliscono per tutte le grandezze, in modo perfettamente analogo a quello dei segmenti e ad esse si estendono ovviamente le proprietà ammesse o dimostrate per i segmenti.
I numeri sono grandezze particolari.
Grandezze commensurabili e incommensurabili
Definizione - Due grandezze si dicono commensurabili se una di esse contiene esattamente l'altra o una sua sottomultipla.
Nella figura di sinistra, A contiene esattamente 5 volte B, in quella di destra A contiene esattamente i 5/3 B. In entrambi i casi, A e B si dicono commensurabili.
In generale, se A e B sono commensurabili, l'ennesima parte di B è contenuta esattamente m volte in A, cioè:
Definizione - Due grandezze si dicono incommensurabili se una di esse non contiene esattamente l'altra o una sua sottomultipla.
-il lato e la diagonale di un quadrato sono incommensurabili.
Sia ABCD il quadrato. Ragionando per assurdo, si supponga che la diagonale BD e il lato AB del quadrato siano fra loro commensurabili. Se BD e AB sono fra loro commensurabili, esiste un numero razionale m/n per il quale risulta: (1)
dove i numeri m e n si possono supporre, evidentemente primi fra loro.
Posto: (2)
cioè indicato con u il segmento uguale all'ennesima parte di AB, dalla (1) e (2), si ricava:
BD=mu, AB=nu,
cioè il segmento u è contenuto esattamente m volte in BD e n volte in AB.
Premesso ciò, si costruiscono i quadrati sopra la diagonale BD e sopra i lati, fra loro uguali, AB, BD. Si divide poi ciascun lato del quadrato costruito su BD, in m parti uguali, e ciascuno dei lati dei quadrati costruiti su AB e AD in n parti uguali, e si congiungono poi i punti di divisione dei lati opposti. Nella figura seguente si è supposto m=4 e n=3.
In tal modo il quadrato costruito su BD risulta scomposto in m2 quadratini e ciascuno dei quadrati costruiti su AB e AD in n2 quadratini; tutti questi quadratini sono fra loro uguali, perchè ognuno di lato u. Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo isoscele ABD, si ha
m2=2n2,
ossia: (3)
Si vede facilmente che la (3) non può essere verificata per n=1, perchè non esiste un numero intero il cui quadrato sia uguale a 2. Ma la (3) non può essere verificata nemmeno per n>1; infatti, ricordando che se due numeri m e n sono primi fra loro, la frazione m2/n2 è
Prodotto di una grandezza per un numero
Sia m un numero intero, A una grandezza e si consideri il multiplo della grandezza A secondo il numero m, mA.
Definizione - Si dice prodotto della grandezza A per il numero m, il multiplo della grandezza A secondo il numero intero m, cioè:
mA = A + A + A ... + A , m volte.
Proprietà dei prodotti delle grandezze per i numeri interi
Siano A e B due grandezze omogenee ed m e n due numeri interi, sui prodotti delle grandezze per i numeri interi, valgono le seguenti proprietà:
1)-m(A+B) = mA + mB,
2)-(m + n)A = ma + nA,
3)-m(nA) = mnA,
4)-se A<B, mA<mB e viceversa,
5)-se A>B, mA>mB e viceversa.
6)-se A=B, mA=mB e viceversa,
7)-se m<n, mA<nA e viceversa,
8)-se m>n, mA>nA e viceversa,
9)-se m=n, mA=nA e viceversa.
Prodotto di una grandezza per un numero frazionario
Definizione - Si dice prodotto della grandezza A per il numero frazionario
Sui prodotti delle grandezze per i numeri frazionari valgono proprietà analoghe a quelle appena ammesse per i prodotti delle grandezze per i numeri interi.
Il prodotto di una grandezza per un numero decimale finito o periodico si può eseguire moltiplicando la grandezza per la frazione generatrice del numero decimale.
Esempi:
Se il numero decimale è finito, lo si può sviluppare nella somma della parte intera e dei decimi, dei centesimi... e moltiplicare la grandezza per ciascun termine di tale somma.
Esempio:
2,75A = (2 + 0,7 +0,005)A = 2A + 0,7A + 0,005A.
Si può quindi dire che:
-il prodotto di una grandezza per un numero decimale finito è dato dalla somma dei prodotti della grandezza per ciascuno dei termini dello sviluppo decimale del numero.
Si
ricorda che un numero decimale illimitato si chiama numero reale. Per
esempio i numeri 2,14422...; 2,5999... con infinite cifre sono numeri
reali. I valori approssimati per difetto di un numero reale sono i
numeri che si ottengono prendendo la parte intera del decimale
illimitato che rappresenta il numero reale e, poi una, due, tre ...
cifre decimali e i numeri compresi fra essi; i valori approssimati per eccesso sono quelli che si ottengono aumentando di una unità l'ultima cifra a destra dei valori per difetto.Sui prodotti delle grandezze per i numeri frazionari valgono proprietà analoghe a quelle appena ammesse per i prodotti delle grandezze per i numeri interi.
Il prodotto di una grandezza per un numero decimale finito o periodico si può eseguire moltiplicando la grandezza per la frazione generatrice del numero decimale.
Esempi:
Se il numero decimale è finito, lo si può sviluppare nella somma della parte intera e dei decimi, dei centesimi... e moltiplicare la grandezza per ciascun termine di tale somma.
Esempio:
2,75A = (2 + 0,7 +0,005)A = 2A + 0,7A + 0,005A.
Si può quindi dire che:
-il prodotto di una grandezza per un numero decimale finito è dato dalla somma dei prodotti della grandezza per ciascuno dei termini dello sviluppo decimale del numero.
Prodotto di una grandezza per un numero reale
Siccome un numero reale si può sempre rappresentare sotto forma di decimale illimitato, la definizione di prodotto di una grandezza per un numero reale si presenta come una naturale estensione della regola precedente riguardante il prodotto di una grandezza per un numero decimale finito.
Definizione - Si dice prodotto di una grandezza per un numero reale la somma dei prodotti della grandezza per ciascun termine dello sviluppo decimale del numero. Il prodotto di una grandezza A per un numero reale α si indica con α A.
Esempio - Se αA = 2,5734, ossia (2 + 0,5 + 0,07 + 0,003 + 0,0004 + ...), A è dato da 2A + 0,5A + 0,07A + 0,003A + 0,0004A + ...
Il prodotto di una grandezza per un numero reale è dunque la somma di un numero illimitato di grandezze che però sono sempre più piccole. Quindi, come il numero decimale illimitato somma di infiniti numeri sempre più piccoli, è un numero ben definito, così anche il prodotto di una grandezza per un numero reale può essere una grandezza ben definita. Tale fatto non è possibile dimostrarlo in generale sfruttando i teoremi noti, perciò si assume come postulato.
Postulato della continuità
Il prodotto di una grandezza A per un numero reale qualsiasi esiste sempre ed + una grandezza B ben definita.
Rapporto fra grandezze
Si dice rapporto fra due grandezze omogenee il numero per cui si deve moltiplicare la seconda per ottenere una grandezza uguale alla prima.
Esempi
Date due grandezze omogenee A e B, se risulta:
Il rapporto fra A e B è uguale ad α e si scrive indifferentemente:
A : B = α, A = αB
e si legge "rapporto fra A e B uguale ad α", oppure "A rapporto B uguale ad α".
Cioè:
Se il rapporto fra due grandezze A e B è uguale ad α, qualsiasi numero m diverso da α, o è un valore per difetto o un valore per eccesso del rapporto fra A e B e si ha:
mB<A se m è un valore per difetto,
mB>A se m è un valore per eccesso.
E inversamente, a seconda che mB<A, oppure mB>A, il numero m o è un valore difetto o un valore per eccesso del rapporto fra A e B.
Il rapporto fra due grandezze omogenee è un numero razionale o irrazionale, a seconda che le due grandezze sono commensurabili o incommensurabili.
Si considerano due casi:
a)-se le due grandezze A e B sono commensurabili, o esiste un numero intero per cui mA = B, oppure un numero frazionario m/n per cui
il rapporto fra A e B è perciò m/n, quindi esiste ed è un numero razionale.
b)-se le due grandezze A e B sono incommensurabili, non esiste alcun numero p/q per cui
altrimenti A e B sarebbero incommensurabili; quindi se A e B sono incommensurabili, il loro rapporto non può essere un numero razionale. Pertanto non può che essere un numero irrazionale, ovvero un numero decimale illimitato non periodico.
Per eliminare il dubbio circa l'esistenza del rapporto fra due grandezze incommensurabili, si dimostra, e ci si limita solo all'enunciato, che:
-date due grandezze omogenee qualsiasi A e B, è sempre possibile trovare un numero α tale che moltiplicato per B dia per risultato A.
Criterio di uguaglianza di rapporti
Per verificare l'uguaglianza di due rapporti non è necessario trovare singolarmente il valore di essi, in quanto non è facile, specialmente se i rapporti sono numeri irrazionali. Un criterio più comodo si ricava dal fatto che i rapporti sono numeri reali. Quindi:
-due rapporti sono uguali se i valori per difetto, o per eccesso, di uno coincidono rispettivamente con quelli dell'altro.
Si dimostra il seguente teorema:
-se due rettangoli hanno la stessa altezza il loro rapporto è uguale a quello delle rispettive basi.
Siano dati i rettangoli R = ABCD ed R' = A'B'C'D' aventi la stessa altezza AD = A'D'. Si dimostra che il rapporto fra R ed R' è uguale al rapporto delle basi di R ed R', cioè fra AB ed A'B'.
Si suppone che la quarta parte di A'B' sia contenuta in al massimo tre volte in AB, cioè sia contenuta in AB con un resto minore di (1/4)A'B', come indicato in figura. ciò vuol dire che:
Se
dai punti di divisione di A'B' e di AB si conducono le parallele agli
altri lati, il rettangolo R' viene diviso in quattro rettangoli uguali
mentre il rettangolo R viene diviso in tre rettangoli uguali ai
precedenti più un rettangolo minore. Dunque i 3/4 del rettangolo
R' non riempiono tutto il rettangolo R e quindi (3/4)R'<R, ovvero
3/4 è un valore approssimato per difetto del rapporto fra R e
R'. Si è visto così che, se
In altri termini:
se 3/4 è un valore approssimato per difetto di AB : A'B', anche 3/4 è un valore approssimato per difetto di R : R'. Siccome queste due considerazioni si possono ripetere se invece del numero 3/4 si prende un numero m/n qualsiasi, si può concludere che i rapporti AB : A'B' ed R ed R' hanno gli stessi valori per difetto, quindi sono uguali.