MIKY & GENNY
MISURA DELLE GRANDEZZE ---> INDICE
Definizione - Si dice misura di grandezza di una data specie il rapporto fra essa e un'altra grandezza prefissata della stessa specie.
La misura di una grandezza esiste sempre ed è un numero reale, razionale o irrazionale, a seconda che essa sia commensurabile o incommensurabile con l'unità.
In tema di misure delle grandezze, la cui unità di misura è stata prefissata, si sottintende che le misure vanno riferite all'unità prescelta.
Data una classe di grandezze omogenee, si fissa una grandezza U della stessa specie delle date e si considerano i rapporti di tutte le grandezze della classe alla grandezza U. Questa si chiama grandezza unitaria, oppure unità di misura, perchè la sua misura è l'unità.
Infatti:
U : U =1.
Teorema - Il rapporto fra due grandezze è uguale al rapporto delle loro misure rispetto ad una stessa unità di misura, presa ad arbitrio.
Sia r il rapporto fra le grandezze A e B e siano a e b le misure di A e B rispetto all'unità di misura U. Si deve dimostrare che:
r = a : b.
Infatti, per ipotesi è:
La misura di una grandezza esiste sempre ed è un numero reale, razionale o irrazionale, a seconda che essa sia commensurabile o incommensurabile con l'unità.
In tema di misure delle grandezze, la cui unità di misura è stata prefissata, si sottintende che le misure vanno riferite all'unità prescelta.
Data una classe di grandezze omogenee, si fissa una grandezza U della stessa specie delle date e si considerano i rapporti di tutte le grandezze della classe alla grandezza U. Questa si chiama grandezza unitaria, oppure unità di misura, perchè la sua misura è l'unità.
Infatti:
U : U =1.
Teorema - Il rapporto fra due grandezze è uguale al rapporto delle loro misure rispetto ad una stessa unità di misura, presa ad arbitrio.
Sia r il rapporto fra le grandezze A e B e siano a e b le misure di A e B rispetto all'unità di misura U. Si deve dimostrare che:
Infatti, per ipotesi è:
A = rB, A = aU e B =bU;
sostituendo nella prima uguaglianza i valori di A e di B, si ha:
aU = rbU,
quindi
a = rb,
da cui
r = a : b,
come volevasi dimostrare.
Misura di segmenti
L'unità di misura dei segmenti presso la maggior parte delle nazioni è il metro, m, che è uguale allo spigolo di un regolo di platino e iridio, conservato nell'Ufficio internazionale di pesi e misure presso Parigi. Come unità di misura per i segmenti si usano anche, come è noto, multipli e sottomultipli decimali del metro. La misura di un segmento AB, si indica con:
Come unità di misura degli angoli si assume la 360^ parte dell'angolo giro; tale angolo si chiama grado e si indica 1°.
I sottomultipli del grado sono:
-il minuto primo, 1', che è la 60^ parte del grado,
-il minuto secondo, 1'', che è la 60^ parte del minuto primo,
-le frazioni decimali del minuto secondo.
La misura di un angolo viene espressa in gradi, minuti primi, minuti secondi e decimi di minuto secondo. La misura di un angolo si chiama ampiezza.
Misura di poligoni
La misura di un poligono si chiama area. Come unità di misura si potrebbe scegliere un poligono qualsiasi, ma per comodità si sceglie il quadrato che ha come lato l'unità di misura fissata per i segmenti. In tal modo è possibile ricavare delle regole semplici per il calcolo delle aree dei poligoni più comuni.
Area del rettangolo
L'area di un rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per la misura dell'altezza.
Sia R un rettangolo, a la misura della base, b quella dell'altezza ed U il quadrato unità di misura il cui lato ha per misure l'unità.
Si deve dimostrare che l'area di R, ossia il rapporto fra R ed U, è uguale ad ab, cioè:
R : U = ab.
A tale scopo, si considera un rettangolo ausiliario R' avente come altezza quella di R e come base il lato di U. Siccome due rettangoli che hanno la stessa altezza hanno lo stesso rapporto delle basi, e quindi delle misure delle basi, si ha:
R : R' = a : 1,
ossia
R = aR'.
Analogamente;
R' = bU.
Sostituendo quest'ultimo valore nella relazione precedente, si ottiene:
R = a(bU),
ossia
R = (ab)U,
da cui si ricava
R : U = ab,
come volevasi dimostrare
Tale dimostrazione vale in generale, cioè quando le dimensioni del rettangolo sono numeri reali qualsiasi.
Se si indica con S l'area del rettangolo, si ha la formula:
S = ab,
da cui si ricavano le formule inverse, che permettono di calcolare uno dei lati del rettangolo quando è nota l'area e l'altro lato:
Area del quadrato
Il quadrato è un rettangolo avente la base uguale all'altezza. Si ha quindi la seguente regola:
-l'area del quadrato si trova moltiplicando il lato per se stesso.
Se si indica con S l'area del quadrato, con l la misura del suo lato, dalla regola precedente si ricava la formula:
S = l2
e da quest'ultima
cioè il lato di un quadrato di data area si ottiene estraendo la radice quadrata della stessa area.
Area del parallelogrammo
Nella teoria delle equivalenze si è visto che parallelogrammi di uguale base e di uguale altezza sono equivalenti. Quindi un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo che ha la sua stessa base e la sua stessa altezza. Anche per l'area del parallelogrammo si ha la regola seguente:
-l'area del parallelogrammo si trova moltiplicando la base per l'altezza.
Indicando con con S l'area del parallelogrammo, con b la base e con h l'altezza, si ha la formula:
S = bh.
Area del rombo
Si osserva che nel rombo le diagonali sono perpendicolari, pertanto, congiungendo dai vertci le parallele alle diagonali, si ottiene un rettangolo che ha i lati uguali alle diagonali e che è equivalente al doppio del rombo.
Quindi, l'area di un rombo è uguale al semiprodotto delle diagonali.Dette d e d' le misure delle diagonali, si ha la formula:
Nota bene
La stessa regola vale per un quadrangolo qualsiasi che ha i lati perpendicolari.
Area del triangolo
Si ricorda che un triangolo è equivalente ad un parallelogrammo avente la stessa altezza del triangolo e base metà. Da qui si ricava la seguente regola:
-l'area di un triangolo si ottiene moltiplicando la base per l'altezza e dividendo il prodotto per due.
Indicando con S l'area di un triangolo, b la base e con h l'altezza, si ha la formula:
da cui si ricavano le formule:
Area del triangolo rettangolo
Se in un triangolo rettangolo un cateto si considera come base, l'altezza ad essa relativa è l'altro cateto. Si ha quindi come caso particolare:
-l'area di un triangolo rettangolo è uguale alla metà del prodotto dei cateti.
Indicando con S l'area e con a e b i cateti, si ha la formula:
Nota bene
E' interessante il calcolo dell'altezza relativa all'ipotenusa. Detta c la misura dell'ipotenusa e h la misura dell'altezza ad essa relativa, si osserva che i prodotto ab e ch sono uguali, perchè rappresentano il doppio dell'area del triangolo rettangolo.
Si ha dunque:
ch = ab,
da cui si ricava
ossia l'altezza di un triangolo rettangolo è uguale al prodotto dei due cateti diviso per l'ipotenusa.
Area del trapezio
Ricordando il teorema "un trapezio è equivalente ad un triangolo avente la stessa altezza e per base la somma delle basi", si ha che:
-l'area di un trapezio si ottiene moltiplicando la semisomma delle basi per l'altezza.
Indicando con S l'area di un trapezio, b, b', ed h rispettivamente le misure delle basi e l'altezza, si ha la formula:
da cui si ricava
Area di un poligono regolare
Tenendo presente che un poligono regolare è equivalente ad un triangolo avente per base il perimetro e per altezza l'apotema, si ricava la seguente regola:
-l'area di un poligono regolare si ottiene moltiplicando il perimetro per l'apotema e dividendo il prodotto per due.
Indicando con S l'area del poligono, con p ed a rispettivamente le misure del perimetro e dell'apotema, si ha la formula:
Da questa formula, si ricavano perimetro e apotema:
Area di un poligono qualsiasi
Uno dei modi per calcolare l'area di un poligono qualsiasi è quello di dividere il poligono in triangoli conducendo tutte le possibili diagonali; un altro modo è quello di suddividere il poligono in triangoli e trapezi o in triangoli e rettangoli. Naturalmente di ognuno dei triangoli o poligoni in cui viene suddiviso il poligono dato, bisogna conoscere le misure che permettono di calcolarne l'area con le regole note.
sostituendo nella prima uguaglianza i valori di A e di B, si ha:
aU = rbU,
quindi
a = rb,
da cui
r = a : b,
come volevasi dimostrare.
Misura di segmenti
L'unità di misura dei segmenti presso la maggior parte delle nazioni è il metro, m, che è uguale allo spigolo di un regolo di platino e iridio, conservato nell'Ufficio internazionale di pesi e misure presso Parigi. Come unità di misura per i segmenti si usano anche, come è noto, multipli e sottomultipli decimali del metro. La misura di un segmento AB, si indica con:
Come unità di misura degli angoli si assume la 360^ parte dell'angolo giro; tale angolo si chiama grado e si indica 1°.
I sottomultipli del grado sono:
-il minuto primo, 1', che è la 60^ parte del grado,
-il minuto secondo, 1'', che è la 60^ parte del minuto primo,
-le frazioni decimali del minuto secondo.
La misura di un angolo viene espressa in gradi, minuti primi, minuti secondi e decimi di minuto secondo. La misura di un angolo si chiama ampiezza.
Misura di poligoni
La misura di un poligono si chiama area. Come unità di misura si potrebbe scegliere un poligono qualsiasi, ma per comodità si sceglie il quadrato che ha come lato l'unità di misura fissata per i segmenti. In tal modo è possibile ricavare delle regole semplici per il calcolo delle aree dei poligoni più comuni.
Area del rettangolo
L'area di un rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per la misura dell'altezza.
Sia R un rettangolo, a la misura della base, b quella dell'altezza ed U il quadrato unità di misura il cui lato ha per misure l'unità.
Si deve dimostrare che l'area di R, ossia il rapporto fra R ed U, è uguale ad ab, cioè:
A tale scopo, si considera un rettangolo ausiliario R' avente come altezza quella di R e come base il lato di U. Siccome due rettangoli che hanno la stessa altezza hanno lo stesso rapporto delle basi, e quindi delle misure delle basi, si ha:
ossia
R = aR'.
Analogamente;
R' = bU.
Sostituendo quest'ultimo valore nella relazione precedente, si ottiene:
R = a(bU),
ossia
R = (ab)U,
da cui si ricava
come volevasi dimostrare
Tale dimostrazione vale in generale, cioè quando le dimensioni del rettangolo sono numeri reali qualsiasi.
Se si indica con S l'area del rettangolo, si ha la formula:
da cui si ricavano le formule inverse, che permettono di calcolare uno dei lati del rettangolo quando è nota l'area e l'altro lato:
Area del quadrato
Il quadrato è un rettangolo avente la base uguale all'altezza. Si ha quindi la seguente regola:
-l'area del quadrato si trova moltiplicando il lato per se stesso.
Se si indica con S l'area del quadrato, con l la misura del suo lato, dalla regola precedente si ricava la formula:
e da quest'ultima
cioè il lato di un quadrato di data area si ottiene estraendo la radice quadrata della stessa area.
Area del parallelogrammo
Nella teoria delle equivalenze si è visto che parallelogrammi di uguale base e di uguale altezza sono equivalenti. Quindi un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo che ha la sua stessa base e la sua stessa altezza. Anche per l'area del parallelogrammo si ha la regola seguente:
-l'area del parallelogrammo si trova moltiplicando la base per l'altezza.
Indicando con con S l'area del parallelogrammo, con b la base e con h l'altezza, si ha la formula:
S = bh.
Area del rombo
Si osserva che nel rombo le diagonali sono perpendicolari, pertanto, congiungendo dai vertci le parallele alle diagonali, si ottiene un rettangolo che ha i lati uguali alle diagonali e che è equivalente al doppio del rombo.
Quindi, l'area di un rombo è uguale al semiprodotto delle diagonali.
Nota bene
La stessa regola vale per un quadrangolo qualsiasi che ha i lati perpendicolari.
Area del triangolo
Si ricorda che un triangolo è equivalente ad un parallelogrammo avente la stessa altezza del triangolo e base metà. Da qui si ricava la seguente regola:
-l'area di un triangolo si ottiene moltiplicando la base per l'altezza e dividendo il prodotto per due.
Indicando con S l'area di un triangolo, b la base e con h l'altezza, si ha la formula:
da cui si ricavano le formule:
Area del triangolo rettangolo
Se in un triangolo rettangolo un cateto si considera come base, l'altezza ad essa relativa è l'altro cateto. Si ha quindi come caso particolare:
-l'area di un triangolo rettangolo è uguale alla metà del prodotto dei cateti.
Indicando con S l'area e con a e b i cateti, si ha la formula:
Nota bene
E' interessante il calcolo dell'altezza relativa all'ipotenusa. Detta c la misura dell'ipotenusa e h la misura dell'altezza ad essa relativa, si osserva che i prodotto ab e ch sono uguali, perchè rappresentano il doppio dell'area del triangolo rettangolo.
Si ha dunque:
ch = ab,
da cui si ricava
ossia l'altezza di un triangolo rettangolo è uguale al prodotto dei due cateti diviso per l'ipotenusa.
Area del trapezio
Ricordando il teorema "un trapezio è equivalente ad un triangolo avente la stessa altezza e per base la somma delle basi", si ha che:
-l'area di un trapezio si ottiene moltiplicando la semisomma delle basi per l'altezza.
Indicando con S l'area di un trapezio, b, b', ed h rispettivamente le misure delle basi e l'altezza, si ha la formula:
da cui si ricava
Area di un poligono regolare
Tenendo presente che un poligono regolare è equivalente ad un triangolo avente per base il perimetro e per altezza l'apotema, si ricava la seguente regola:
-l'area di un poligono regolare si ottiene moltiplicando il perimetro per l'apotema e dividendo il prodotto per due.
Indicando con S l'area del poligono, con p ed a rispettivamente le misure del perimetro e dell'apotema, si ha la formula:
Da questa formula, si ricavano perimetro e apotema:
Area di un poligono qualsiasi
Uno dei modi per calcolare l'area di un poligono qualsiasi è quello di dividere il poligono in triangoli conducendo tutte le possibili diagonali; un altro modo è quello di suddividere il poligono in triangoli e trapezi o in triangoli e rettangoli. Naturalmente di ognuno dei triangoli o poligoni in cui viene suddiviso il poligono dato, bisogna conoscere le misure che permettono di calcolarne l'area con le regole note.