MIKY & GENNY

MISURE DI SUPERFICI E DI SOLIDI ---> INDICE

Confronto di superfici
Considerazioni analoghe a quelle fatte per stabilire un confronto fra superfici di poligoni e superfici piane qualsiasi, permettono di ritenere che, sia le superfici piane sia quelle rotonde, si possono confrontare fra loro e quindi formano un'unica classe di grandezze. Tenuto conto di ciò, si possono confrontare in particolare le superfici del cilindro, del cono e della sfera con superfici piane. Se una superficie rotonda si suppone materializzata, può darsi che dopo opportuni tagli sia possibile distenderla sopra un piano e in tal caso si dice sviluppabile. Tali sono le superfici laterali del cilindro e del cono. L'unità di misura per tutte le superfici resta quella scelta per i poligoni.

Confronto di solidi

Considerazioni analoghe a quelle ora accennate sulle superfici permettono di ritenere che anche i solidi, porzioni di piano racchiuse da superfici chiuse, costituiscono un'unica classe di grandezze. Per il confronto delle estensioni di due solidi, brevemente dei loro volumi, ci si serve di un principio ricavabile dalla seguente osservazione: si consideri un prisma formato da strati sottilissimi paralleli sovrapposti l'uno sull'altro, come sono ad esempio i fogli di un blocchetto di calendario, e lo si deformi spostando lievemente ciascuno strato sul proprio piano, in modo che due facce laterali opposte si incurvino.


Si ottiene un solido che ha la forma diversa dal prisma primitivo ma che, come l'intuizione suggerisce, è equivalente ad esso. Parimenti è evidente che due solidi, costituiti dallo stesso numero di strati, anche di forma diversa, ma tutti di uguale spessore e di uguale estensione, sono equivalenti. Da tali osservazioni si trae il seguente principio dovuto a Bonaventura Cavalieri e che si assume come postulato.

Postulato di 
Bonaventura Cavalieri - Due solidi, le cui sezioni con piani paralleli ad un piano fisso hanno superfici equivalenti, sono equivalenti.

Misure nei poliedri
Per brevità, la misura del volume di un solido, si chiama anche volume. Come unità di misura
per i solidi si sceglie il cubo, che ha per spigolo l'unità di misura scelta per i segmenti. Comunemente perciò si usa il metro cubo, m3, ed i suoi sottomultipli.

Premesso che: i prismi di uguale altezza sono proporzionali alle rispettive basi e che i prismi
di uguale base sono proporzionali alle altezze rispettive, e la dimostrazione è analoga a quella dei parallelogrammi di uguale altezza, si dimostra il:
teorema fondamentale - Il volume di un parallelepipedo rettangolo è dato dal prodotto delle sue dimensioni
.

Sia P un parallelepipedo, a, b, c le misure delle sue dimensioni. Si deve dimostrare che la misura di P, ossia il rapporto fra P e il cubo unità di misura U, è uguale ad abc.


Si costruisce un
parallelepipedo P' ausiliario, tale che le sue dimensioni siano 1, b, c e un parallelepipedo ausiliario P', tale che le sue dimensioni siano 1, 1, c.

Si ha:

P : P' = a,   P' : P'' = b,   P'' : U =c

e quindi

P = aP',   P' = bP'',   P'' = cU.

Sostituendo nella seconda delle relazioni precedenti il valore di P'', dato dalla terza, si ha:

P = a(bcU),

ossia

P = (abc)U

e ciò dimostra che il rapporto tra P ed U è uguale ad abc e quindi che

misP = abc,

come volevasi dimostrare.

Misure del parallelepipedo rettangolo
Area della superficie totale del parallelepipedo


Indicati con a, b, c le misure delle tre dimensioni di un
parallelepipedo rettangolo, con S l'area della superficie totale, questa è data evidentemente da:

S = 2(ab + ac + bc).

Volume del parallelepipedo

Come si è visto, il volume V di un 
parallelepipedo è dato da:

V = abc,

ossia se B è una base ed h l'altezza corrispondente, risulta

V = Bh.

Diagonale del
parallelepipedo rettangolo
Nel parallelepipedo avente per dimensioni


sia d la misura della diagonale .


Nel triangolo rettangolo BDH risulta


e nel triangolo BAD, rettangolo in A, si ha


Sostituendo BD nella relazione precedente e notando che DH = AE, si ottiene:



ossia

d2 = a2 + b2 + c2,

cioè: il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle tre dimensioni. Si ricava:


Misure nel cubo
Il cubo si può considerare come un parallelepipedo rettangolo avente gli spigoli uguali.
Indicando con l la misura dello spigolo, per l'area S della superficie totale, per il volume V si hanno le formule:

S = 6l2,    V = l3.

Per
la diagonale si ha:


ossia



Misure nel prisma
Area della superficie laterale di un prisma retto

La superficie laterale di un prisma retto è equivalente ad un rettangolo che ha per basi il perimetro di base e per altezza l'altezza del prisma.

La superficie laterale di un prisma retto è infatti costituita da rettangoli aventi per base i lati del poligono di base e per altezza la stessa altezza del prisma. La loro somma è quindi equivalente ad un rettangolo, che ha per base la somma delle loro basi, ossia il perimetro del poligono di base del prisma e per altezza l'altezza del prisma.



Volume del prisma

Teorema - Un prisma è equivalente ad un parallelepipedo di base equivalente e della stessa altezza del prisma
.

Questo teorema può essere verificato mediante il postulato di Cavalieri.



Infatti, collocati il prisma e il parallelepipedo su un piano α da una stessa banda rispetto ad esso, un piano α' parallelo ad α, determina su ciascuno di essi sezioni uguali alle basi rispettive e, poichè queste sono equivalenti per ipotesi, anche le sezioni sono equivalenti e quindi lo sono anche i due solidi.

Indicando con Sl e con St le aree delle superfici laterale e totale, con p il perimetro, con h l'altezza, con B l'area di base e con V il volume di un prisma, tenendo conto dei due teoremi precedenti, si hanno le seguenti formule:

Sl
= ph,  St =ph + 2B,  V = Bh.

Misure nella piramide

Area della superficie laterale della piramide
La superficie laterale di una piramide retta è equivalente ad un triangolo, che ha per base il perimetro e per altezza l'apotema della piramide.



Infatti, la superficie laterale di una piramide retta è costituita da triangoli, che hanno per base i lati del poligono di base e per altezza l'apotema. La superficie laterale, data la somma di questi triangoli, è quindi equivalente ad un triangolo, che ha per base la somma delle basi, ossia il perimetro del poligono di base della piramide e per altezza l'apotema.

Volume della piramide
Si comincia col dimostrare che:
-piramidi aventi basi equivalenti e stessa altezza sono equivalenti.

La prima parte si può verificare mediante il postulato di Cavalieri.
Infatti, collocate le due piramidi su un piano
α da una stessa banda rispetto ad esso, un piano α' parallelo ad α, determina su ciascuna piramide sezioni equivalenti; quindi anche le due piramidi sono equivalenti.


Si  dimostra ora che:
-una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma, che ha la base equivalente a quella della piramide e la stessa altezza.

Si divide la dimostrazione del teorema in due parti:
1)-si suppone prima che la piramide sia triangolare;
2)-si estende poi il teorema a piramidi qualsiasi.

1)- Sia data una piramide triangolare E (ABC) e il prisma triangolare ABCDEF, avente la stessa altezza della piramide e la stessa base ABC.
Si deve dimostrare che la piramide è equivalente alla terza parte del prisma.
Infatti, il piano AEC divide il prisma nella piramide triangolare E (ABC) e nella piramide che ha la base in ACFD e il vertice in E. Questa viene divisa dal piano CED nelle due piramidi triangolari di basi DFC, ACD e di vertice comune E, cioè nelle piramidi E (DFC) ed E (ACD), che sono equivalenti perchè hanno le basi uguali, ciascuna è metà di un parallelogrammo, e le altezze uguali, perchè le basi stanno su uno stesso piano ed il vertice E è comune. Ma la piramide E (DFC) si può considerare come avente per base DEF e come vertice C, cioè come la piramide C (DEF). Da qui risulta che essa è equivalente all'altra piramide E (
ABC) perchè le loro basi ABC, DEF sono uguali, come le basi del prisma, e così anche le loro altezze. Perciò le piramidi triangolari, in cui prisma è diviso, sono equivalenti e si conclude che ognuna di esse è la terza parte del prisma.


2)-Si considera ora un prisma qualsiasi P e una piramide T, aventi le basi equivalenti e la stessa altezza. Si trasforma il prisma dato in un prisma triangolare P' della stessa altezza e di base equivalente (basta trasformare la base del prisma dato in un triangolo e costruire su questa un prisma della stessa altezza di quello dato). Si trasforma inoltre la piramide data in una piramide triangolare T' di base equivalente alla data e della stessa altezza. Si ha:

P = P',  T = T'.

Siccome la piramide T' è la terza parte del prisma P', anche la piramide T è la terza parte del prisma P. Il teorema è quindi dimostrato in ogni caso.

Indicando con
a l'apotema della piramide e usando le stesse notazioni del prisma, tenendo conto dei teoremi precedenti, si ricavano le formule:


Misure nel tronco di piramide

Area della superficie laterale del tronco di piramide
La superficie laterale di un tronco di piramide retta è equivalente ad un trapezio, che ha per basi i perimetri delle basi e per altezza l'apotema del tronco di piramide.
  
La superficie laterale di un tronco di piramide retta è costituita da trapezi, aventi per basi rispettivamente i lati delle basi maggiore e minore. La superficie laterale del tronco, data dalla somma di questi trapezi, è equivalente ad un unico trapezio, che ha per basi maggiore e minore rispettivamente la somma delle basi maggiore e minore dei trapezi delle facce e per altezza l'apotema.
Indicando con p e p' rispettivamente le misure dei perimetri delle basi e con B e B' le loro aree, usando le stesse notazioni precedenti, si ha:



Volume del tronco di piramide

Un tronco di piramide è equivalente alla somma di tre piramidi, aventi la stessa altezza della piramide e per basi, la base maggiore, la base minore e la loro media geometrica
.


Infatti, sia h' l'altezza della piramide di base B, a cui il tronco appartiene, e sia h'' la distanza della base minore B dal vertice della piramide. Il volume V del tronco si può considerare come differenza dei volumi delle due corrispondenti piramidi. Si ha così:



Per il teorema sulla piramide, visto in precedenza, si ha:

 h'2 :
h''2 = B : b,

ossia

  

Applicando il dividendo, risulta:



Tenendo conto che

h' - h'' = h,

si ha:


Da queste due proporzioni si ricavano i valori di h' e h'':



Infine si ostituiscono tali valori nella 1) e si ottiene:



Risulta dunque:



Tale formula dimostra il teorema.

Misure nei solidi rotondi
1)-Misure nel cilindro
Area della superficie laterale del cilindro - La su
perficie laterale di un cilindro è equivalente ad un rettangolo, che ha per base la circonferenza di base rettificata e per altezza l'altezza del cilindro.



Questo teorema si verifica immediatamente: costruito un modello di cilindro mediante un  foglio, lo si taglia lungo una generatrice e si distende la superficie laterale su un piano. Si ottiene un rettangolo che ha per altezza l'altezza del cilindro dato e per base l'orlo del foglio, che prima costituiva la circonferenza base del cilindro.

Volume del cilindro - Un cilindro è equivalente ad un prisma, avente la stessa altezza e la base 
equivalente al cerchio di base del cilindro.


Collocati i due solidi con le basi su un piano
α, da una stessa banda rispetto ad esso, un piano α' che li taglia e sia parallelo ad α, determina su ognuno di essi sezioni uguali alle basi rispettive. Ma queste sono equivalenti per ipotesi, dunque anche le sezioni sono equivalenti. Per il postulato di Cavalieri, il prisma e il cilindro sono equivalenti.

Indicando con r, h, Sl, St e V rispettivamente le misure del raggio, dell'altezza, delle superfici laterale e totale e il volume del
cilindro, tenuto conto dei teoremi precedenti, si ricavano le formule:

Sl = 2 π r h,

St = 2 π r h + 2 π r2 = 2 π r (h + r),

V = π r2 h.

Misure nel cono
Area della superficie laterale del cono - La superficie laterale di un cono è equivalente ad un triangolo, che ha per base la circonferenza di base rettificata e per altezza l'apotema.

Questo teorema si verifica immediatamente: costruito un modello di cono mediante un foglio, si taglia la superficie laterale lungo una generatrice e la di distende su un piano. Si ottiene un settore circolare, il cui raggio è l'apotema del cono ed il cui arco è l'orlo del foglio, che prima era curvato in modo da formare la circonferenza di base del cono. Poichè un settore circolare equivale ad un triangolo, che ha per base la lunghezza dell'arco e per altezza il raggio, si può ritenere sperimentalmente verificato quanto è stato detto.



Volume del cono
Un cono è equivalente ad una piramide, avente la stessa altezza e base equivalente al cerchio di base del cono.



Si collocano i due solidi su un piano
α, da una stessa banda rispetto ad α. Siano S e S' le sezioni che si ottengono tagliando rispettivamente la piramide e il cono con un piano α' parallelo ad α e distante h' dai vertici. Se B e B' sono rispettivamente le basi della piramide e del cono, ed h la loro altezza, si ha:

B : S = h2 :  h'2

B' : S' =
h2 : h'2,

e quindi risulta

B : S = B' : S'.

Siccome

B = B'

è anche

S = S'.

Essendo equivalenti le sezioni costruite nei due solidi con piani paralleli ad uno stesso piano, per il postulato di Cavalieri, il cono e la piramide sono equivalenti.

Indicando con a la misura dell'apotema del cono e usando le stesse notazioni del cilindro, si hanno le formule:

Sl
π r a,

St
π r a + π r2π r (a + r),


Misure nel tronco di cono
Area della superficie laterale del tronco di cono - La superficie laterale di un tronco di cono è equivalente ad un trapezio, le cui basi sono le circonferenze rettificate delle basi del tronco e la cui altezza è uguale all'apotema.

Un cono di vertice V è tagliato da un piano parallelo alla base; si ottiene un tronco di cono di cui H e H' sono i centri delle basi e BB' l'apotema. Perpendicolarmente alla generatrice BV si traccia il segmento BC, uguale alla circonferenza H rettificata. Il triangolo BVC è equivalente alla superficie del cono AVB. Si conduce da B' la parallela a B'C' e si ha:


1) VB : VB' = BC : B'C'

ed essendo simili i triangoli VBH e VH'B', si ha:

VB : VB' = HB : H'B',

ossia

VB : VB' = 2 π HB : 2 π H'B'

e per la 1)

2 π HB : 2 π H'B' = BC : B'C'.

Siccome

2 π
HB = BC,

risulta

B'C' = 2 π
H'B'.

Il triangolo VB'C' è perciò equivalente alla superficie laterale del cono VH'B' e perciò è dimostrato che il trapezio BCC'B', che ha per altezza l'apotema e per basi le circonferenze rettificate delle basi del tronco di cono, è equivalente alla superficie laterale del tronco.

Indicando con R, r, a le misure del raggio della base maggiore, del raggio della base minore e  dell'apotema, per la superficie laterale, si ha:


da cui si ricava la formula

S = π (R + 
r)a.

Per la superficie totale bisogna aggiungere alla superficie laterale quella delle due basi; si ha quindi la seguente formula:

S = π (R +  r)a + π R2π r2.

Volume del tronco di cono
Un tronco di cono è equivalente alla somma di tre coni aventi la stessa altezza del tronco e per basi rispettivamente la base maggiore, la base minore e la media geometrica delle basi.

Basta ripetere lo stesso ragionamento effettuato per ottenere il volume di un tronco di piramide; si perviene alla stessa formula. Quindi, se con R, r, h e V si indicano le misure del raggio della base maggiore, del raggio della base minore, dell'altezza e del volume, si perviene al risultato, ponendo:

B= π R2 e b= π r2,

nella formula


Quindi, sostituendo i valori di B e b in quest'ultima formula, si ha:

cioè


Misure nella sfera

Per comodità di dimostrazione, si premette la determinazione del volume a quella dell'area della superficie.

Volume della sfera
Una sfera equivale ad una piramide la cui base è equivalente al quadruplo di un suo cerchio massimo e la cui altezza è uguale al suo raggio. Si considera:
1)-una semisfera;
2)-un cilindro che ha una base coincidente con quella della semisfera, l'altezza uguale al suo raggio e situato dalla stessa banda rispetto al piano della base comune;
3)-un cono che ha il vertice nel centro della semisfera e la base coincidente con una base del cilindro.

Il solido, costituito dalla differenza fra il cilindro e la semisfera, si chiama, per la sua forma, scodella.
Un piano parallelo alle basi del cilindro taglia la scodella lungo una corona circolare e il cono secondo un cerchio.
Si dimostra che le due sezioni sono equivalenti.


L'area S della corona circolare è data da
:


Siccome



perchè lati opposti di un rettangolo,


perchè raggi di una stessa sfera, risulta


Dal triangolo BOC, per il teorema di Pitagora, si ricava,


Essendo il triangolo COA isoscele, risulta OC = CA, per cui sostituendo nella prima relazione, l'area della corona circolare risulta:


e quindi uguale al cerchio sezione del cono.
Il cono e la scodella, per il principio di Cavalieri, sono dunque equivalenti. Perciò la semisfera, equivalente alla differenza fra il cilindro dato e la scodella, equivale altresì alla differenza fra il cilindro e il cono. Quindi, indicando con V' il volume della semisfera e con r il suo raggio, si ha:
 

Pertanto il volume V della sfera, essendo il doppio di V', è dato da:


come volevasi dimostrare.

Quest'ultima formula si può scrivere come segue:


Area della superficie della sfera
- La superficie sferica equivale al quadruplo del suo cerchio massimo.

Per il confronto di una
superficie sferica con un piano non è possibile procedere come è stato fatto per le superfici cilindriche e coniche, poichè la superficie sferica non è sviluppabile, cioè nemmeno con opportuni tagli la si può distendere su un piano.
Alla determinazione dell'area della
superficie sferica si perviene mediante le seguenti considerazioni intuitive.
Si suppone di sostituire alla
superficie sferica una superficie poliedrica con un numero tanto grande di facce tutte tangenti alla sfera e considerare il poliedro formato dalla somma delle piramidi aventi il vertice comune nel centro della sfera e per basi le innumerevoli faccette della superficie sferica considerata. Tutte queste piramidi hanno per altezza il raggio della sfera e quindi il volume del poliedro sarà uguale a quello di una piramide avente per base la somma delle faccette del poliedro e per altezza il raggio r della sfera, cioè è dato da 1/3 della somma delle aree di tutte le faccette per r.



Ora si può immaginare il numero delle faccette della su
perficie poliedrica talmente grande che il poliedro si possa immaginare come confuso con la sfera e la superficie poliedrica con la superficie sferica, perciò si può concludere che il volume della sfera è uguale ad 1/3 dell'area S della superficie per r, siccome d'altra parte, si sa che il volume di una sfera è espresso da:



si può scrivere la relazione



da cui si ricava

S =
 4 π r2.

Volumi e aree di parti della sfera
Segmento sferico -
Il volume di un segmento sferico a due basi equivale alla somma dei volumi di due cilindri aventi per altezza la metà dell'altezza e per basi rispettive le basi del segmento stesso e di una sfera avente per diametro l'altezza del segmento.
  
Indicando con a e b le misure del segmento e con h l'altezza, il volume del segmento sferico è dato da:



Per avere il volume del segmento sferico ad una base, basta porre b = 0 nella suddetta formula.
Per la dimostrazione si applica il principio di Cavalieri.

Si considerano la semisfera a cui appartiene il segmento sferico, il cilindro che ha una base coincidente con quella della semisfera e la base opposta tangente ad essa; il cono avente il vertice nel centro O della semisfera e la base coincidente con la base opposta del cilindro. Il solido costituito dalla differenza fra il cilindro e la sfera è la scodella di cui si è parlato in precedenza. Il segmento sferico a due basi si può considerare uguale alla differenza fra la porzione del cilindro compresa fra i piani delle basi del segmento e la porzione di scodella compresa fra dette basi.



Da quanto si è visto in precedenza, risulta che questa porzione di scodella è equivalente alla parte di cono OAB che è compresa fra le basi del segmento, cioè al tronco di cono MNPQ; perciò, indicando con m ed n rispettivamente i raggi delle basi HQ e KP di questo tronco, con h l'altezza HK del segmento sferico e con r il raggio della sfera, il volume V del segmento sferico è dato da:


Sviluppando e raggruppando opportunamente i termini, si ha:


Dalla figura si nota che


perciò

cioè al quadrato del raggio a di una delle basi del segmento.
Analogamente si vede che:

r2 - n2 = b2,

essendo b il raggio dell'altra base e inoltre


perciò la formula precedente diventa:


che si può scrivere sotto la forma:


Tale formula esprime quanto richiede il teorema.

Settore sferico -
Il volume di un settore sferico è uguale a 2/3 di quello di un cilindro di uguale altezza avente per raggio il raggio della sfera a cui appartiene il settore.
Indicando con r il raggio della sfera, con h l'altezza del settore, il suo volume è dato da:



Infatti, per avere il volume del settore, basta sottrarre da quello del segmento sferico a due basi i volumi dei due coni con il vertice comune nel centro O della sfera e aventi per base le basi stesse del 
segmento sferico. Perciò, indicando con t e z le altezze dei due coni e per il resto adoperando le notazioni precedenti, la somma V' dei loro volumi è data da:





Dai triangoli OAH e ODK si ricava:

1)
a2 = r2 - t2 e b2 = r2 - z2

e, moltiplicando ambo i membri della prima equazione per t, quelli della seconda per z e sommando, si ha

2) 
a2t + b2z = r2(t + z) - (t3 + z3 ) (t + z)[r2- (t2 - tz + z2)] = (t + z)[r2- (t + z)2+ 3tz)].

Si osserva ora che:

t + z = h,

quindi, elevando al quadrato ambo i membri,

t
2 + z2+ 2tz = h2,

inoltre dalle 1) si ha

t
2 = r2 - a2 e z2 = r2 -  b2.

Sostituendo i valori di
t2 e z2 nell'uguaglianza precedente, si ha:

r
2 - a2 + r2 -  b2 + 2tz = h2,

cioè:

2r
2 - (a2 +  b2)+ 2tz = h2.

Da qui si ricava il valore di tz e lo si sostituisce nella 2) insieme a quello di t + z = h; dopo semplici calcoli si ottiene:



Pertanto la somma dei volumi dei due coni è:


Sottraendo questo valore di V' dall'espressione 1) precedente relativa al volume del segmento sferico a due basi, si trova il volume V del settore è dato dalla formula seguente:


Questa formula, come si può verificare facilmente, vale anche quando le due circonferenze che limitano la zona corrispondente al settore cadono da una stessa banda dal centro O della sfera e anche quando la zona che limita il settore è una calotta.

Zona sferica
Una zona sferica è equivalente ad un rettangolo che ha per dimensioni la circonferenza massima rettificata e l'altezza della zona.

Indicando con r il raggio della sfera a cui la zona appartiene e con h l'altezza della zona, l'area S della zona è espressa da:

S = 2
π r h.

Per la dimostrazione si effettua un ragionamento analogo a quello che ha condotto al calcolo della superficie sferica. Si pensa di sostituire alla superficie della zona un certo numero di faccette poligonali, molto piccole, tangenti ad essa; allora il settore che ha per base la zona o la calotta si può pensare costituito da un numero grandissimo di piramidi, molto sottili, aventi il vertice comune nel centro O della sfera e come basi le varie faccette poligonali sulla zona; pertanto il settore sferico si può considerare come equivalente ad una piramide avente per base la superficie della zona o della calotta e per altezza il raggio r della sfera. Perciò, indicando con S l'area di questa superficie e per il resto usando le solite notazioni, si ha:





da cui

S = 2 π
r h.

Area del fuso e volume dello spicchio sferico
E' noto che i fusi e quindi anche gli spicchi sferici sono proporzionali agli angoli al centro, per cui, indicando con V ed S rispettivamente il volume dello spicchio e la superficie del fuso e con
α il loro angolo al centro, si hanno le proporzioni:


dalle quali si ricava