MIKY & GENNY

POLIGONI ---> INDICE

CONCETTI FONDAMENTALI

Poligonale
Dati più segmenti consecutivi AB, BC, CD e DE, non sulla stessa retta, l'insieme di questi segmenti prende il nome di poligonale. I segmenti si chiamano lati della poligonale ed i loro estremi vertici.

Poligonale
aperta 
Una poligonale si dice aperta se, considerando i vertici in un certo ordine, il primo e l'ultimo vertice non coincidono
, cioè sono distinti.


Poligonale chiusa

Una poligonale si dice chiusa se, considerando i vertici in un certo ordine, il primo e l'ultimo 
vertice coincidono
.

Poligonale convessa
 
Una poligonale si dice 
convessa, se i prolungamenti di un suo lato qualsiasi non incontrano nessuno degli altri lati della stessa poligonale.

Poligonale concava

Una poligonale si dice
concava se i prolungamenti di un suo lato qualsiasi incontrano qualche lato della stessa poligonale.

POLIGONI

Poligono
Il poligono è la parte di piano limitata da una poligonale chiusa.

I lati e i vertici della poligonale si chiamano lati e vertici del poligono.
La somma di tutti i lati della poligonale 
si chiama perimetro o contorno del poligono.
Due lati del poligono sono consecutivi, se passano per lo stesso vertice.
Gli angoli aventi per vertici quelli del poligono e per lati le semirette a cui appartengono i lati del poligono, si dicono angoli interni del poligono.
Un angolo formato da un lato del poligono e dal prolungamento di un dei lati consecutivi, si chiama angolo esterno del poligono.
Ogni angolo esterno è supplementare dell'angolo interno adiacente.
Si chiama diagonale di un poligono ogni segmento che unisce due vertici non consecutivi.
Un poligono si indica leggendo in ordine le lettere dei suoi vertici, partendo da uno qualsiasi. Nel poligono ABCDE le diagonali sono AC, AD BD, BE, CE.


Poligono convesso
Il poligono convesso è la figura formata da una
poligonale chiusa convessa e dalla parte di piano da essa racchiusa.
Per porzione di piano racchiusa da una poligonale chiusa deve intendersi quella parte di piano che è comune a tutti gli angoli convessi formati dai lati della poligonale. Così la porzione di piano
racchiusa da una poligionale chiusa ABCDE è quella comune agli angoli


Poligono concavo
Il poligono concavo è la figura formata da una
poligonale chiusa concava e dalla parte di piano da essa racchiusa.
In tal caso il poligono viene diviso in due parti dalla retta di qualcuno dei suoi lati.


In seguito saranno trattati soltanto i poligoni convessi e a questi ci si riferirà usando la parola poligono senz'altra indicazione
.


Requisiti del poligono e nomenclatura
In un poligono:
-il numero dei lati e degli angoli è uguale al numero dei vertici;
-se i vertici, i lati e gli angoli sono 3 esso si chiama triangolo;
-se sono 4, quadrangolo o quadrilatero;
-se sono 5, pentagono;
-se sono 6, esagono;
-se sono 7, ettagono;
-se sono 8, ottagono;

-se sono 9, ennagono;

-se sono 10, decagono;

-se sono 12, dodecagono;

-se sono 15, pentadecagono.
Gli altri poligoni si denotano col numero dei lati: poligono di 11 lati, di 13 lati, di 14 lati, ecc.

Un poligono si dice:
-equilatero, se ha tutti i lati uguali;
-equiangolo, se ha tutti gli angoli uguali;
-regolare, se ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali.

Nel quadrangolo si dicono opposti due lati non consecutivi e due angoli i cui vertici non sono consecutivi.
Un poligono si dice inscritto in un altro, se i suoi vertici appartengono ai lati dell'altro. Quest'ultimo si dice circoscritto al primo.


Disuguaglianza fra elementi di poligoni

TEOREMA - In un poligono un lato è minore della somma di tutti gli altri.
Ipotesi: sia dato un poligono qualsiasi, ad esempio il pentagono ABCDE.
Tesi: si vuole dimostrare che un suo lato qualsiasi, ad esempio AB, è minore della somma degli altri lati.
Dimostrazione: dal vertice A si conducono tutte le possibili diagonali, e siccome in un triangolo
un lato è minore della somma degli altri due, nel triangolo ABC risulta AB<BC+AC, mentre nel triangolo ACD risulta AC<CD+AD, ed a maggior ragione AB<BC+CD+AD. Ma nel triangolo ADE è: AD<DE+EA, quindi, a maggior ragione: AB<BC+CD+DE+EA, come volevasi dimostrare.


TEOREMA
- Il perimetro di un poligono è minore di quello di un qualsiasi poligono
ad esso circoscritto
.
Ipotesi: sia EFGH un poligono inscritto al poligono ABCD.
Tesi: si vuole dimostrare che il perimetro del primo è minore del perimetro del secondo.
Dimostrazione: infatti, siccome in un triangolo un lato è minore della somma degli altri due, considerando i triangoli:
-EAH si ha: HE<HA+AE;
-FBE si ha: EF<EB+BF;
-GCF si ha: FG<FC+CG;
-HDG si ha: GH<GD+DH.
Sommando membro a membro le quattro disuguaglianze, si ha: HE+EF+FG+GH<HA+AE+EB+BF+FC+CG+GD+DH, cioè la som
ma dei primi membri, che rappresenta il perimetro del poligono inscritto EFGH, è minore della somma dei secondi membri, che rappresenta il perimetro del poligono ABCD circoscritto al primo, come volevasi dimostrare.


Corollario:
il perimetro di un poligono è minore di quello di un qualsiasi poligono che lo contiene.
Applicando il teorema precedente risulta che
il perimetro del poligono EFGH è minore del perimetro di ABCD. Siccome GK=GH-KH, a maggior ragione il perimetro del poligono EFGK è minore del perimetro di ABCD, che lo contiene.



Uguaglianza dei poligoni
Esistono tre criteri  di uguaglianza di poligoni che si possono considerare come una estensione di quelli dei triangoli. Essi cono compendiati nel teorema seguente di cui ci si limita a dare solo l'enunciato.

Criteri di uguaglianza dei poligoni
Teorema - Due poligoni aventi lo stesso numero di lati sono uguali, se i loro lati e i loro angoli sono ordinatamente uguali ad eccezione di:
1)-due angoli consecutivi ed il lato comune;
2)-oppure due lati e l'angolo compreso;
3)-oppure tre angoli consecutivi, dei quali elementi non si sa nulla.