MIKY & GENNY
RETTE PARALLELE ---> INDICE
RETTE PARALLELE
In un piano α si consideri una retta r e due rette distinte, a e b, entrambe perpendicolari alla retta r. Si osservi che esse non potranno mai incontrarsi in un punto P, perchè se ciò accadesse, per questo punto passerebbero due perpendicolari distinte, a e b, ad una stessa retta r, il che è assurdo perchè per un punto passa una sola retta perpendicolare ad una retta data. Le due rette a e b, in tale caso si dicono parallele. Pertanto:
due rette si dicono parallele se sono situate sullo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.
La porzione di piano limitata da due rette parallele si chiama striscia. La striscia è una figura convessa, poichè è parte comune a due semipiani, che sono figure convesse.
Angoli formati da due rette con una loro trasversale
La definizione non permette praticamente di verificare se due rette sono o non sono parallele poichè di fatto non si hanno rette intere, ma soltanto tratti di esse. E' quindi necessario trovare dei criteri per riconoscere il parallelismo di due rette. A tale scopo, si premettono alcune considerazioni sugli angoli che due rette qualsiasi, parallele o no, formano con una retta che le tagli entrambe. Questa retta prende il nome di trasversale.
In un piano α si consideri una retta r e due rette distinte, a e b, entrambe perpendicolari alla retta r. Si osservi che esse non potranno mai incontrarsi in un punto P, perchè se ciò accadesse, per questo punto passerebbero due perpendicolari distinte, a e b, ad una stessa retta r, il che è assurdo perchè per un punto passa una sola retta perpendicolare ad una retta data. Le due rette a e b, in tale caso si dicono parallele. Pertanto:
due rette si dicono parallele se sono situate sullo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.
La porzione di piano limitata da due rette parallele si chiama striscia. La striscia è una figura convessa, poichè è parte comune a due semipiani, che sono figure convesse.
Angoli formati da due rette con una loro trasversale
La definizione non permette praticamente di verificare se due rette sono o non sono parallele poichè di fatto non si hanno rette intere, ma soltanto tratti di esse. E' quindi necessario trovare dei criteri per riconoscere il parallelismo di due rette. A tale scopo, si premettono alcune considerazioni sugli angoli che due rette qualsiasi, parallele o no, formano con una retta che le tagli entrambe. Questa retta prende il nome di trasversale.
Due rette a e b di un piano α tagliate da una terza retta t, che in tale caso prende il nome di trasversale,
formano otto angoli contrassegnati con i numeri da 1 a 8. Dall'esame
delle coppie degli angoli formati è bene ricordare che le coppie
di angoli si chiamano come segue:
-1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8; angoli corrispondenti,
-3 e 6; 4 e 5; angoli alterni interni,
-1 e 8; 2 e 7; angoli alterni esterni,
-1 e 7; 2 e 8; angoli coniugati esterni,
-3 e 5; 4 e 6; angoli coniugati interni.
CRITERIO DI PARALLELISMO
Teorema - Due rette sono parallele se, tagliate da una trasversale, formano con questa: o angoli alterni (interni o esterni) uguali; o angoli corrispondenti uguali; o angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
-1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8; angoli corrispondenti,
-3 e 6; 4 e 5; angoli alterni interni,
-1 e 8; 2 e 7; angoli alterni esterni,
-1 e 7; 2 e 8; angoli coniugati esterni,
-3 e 5; 4 e 6; angoli coniugati interni.
Teorema - Due rette sono parallele se, tagliate da una trasversale, formano con questa: o angoli alterni (interni o esterni) uguali; o angoli corrispondenti uguali; o angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
Prima ipotesi: le rette AB e CD tagliate dalla trasversale MN, rispettivamente nei punti E, F, formano con questa gli angoli alterni interni α e β uguali.
Tesi: si deve dimostrare che le rette AB e CD sono parallele.
Prima dimostrazione
Infatti, se le due rette AB e CD tagliate dalla trasversale MN non fossero parallele, si dovrebbero incontrare in un punto P formando il triangolo PEF. Allora in questo triangolo l'angolo esterno β sarebbe uguale all'angolo α interno e non adiacente, e ciò non può essere, perchè in contrapposizione al teorema dell'angolo esterno. Le due rette AB, CD, non potendo incontrarsi, sono parallele.
Seconda ipotesi: gli angoli corrispondenti α e β, che le rette AB e CD, formano con la trasversale MN, sono uguali.
Tesi: si deve dimostrare che le rette AB e CD sono parallele.
Seconda dimostrazione
Supponendo α interno, si indica con γ l'angolo opposto al vertice di β. Essendo α=β per ipotesi, e β=γ perchè opposti al vertice, si ricava, per la proprietà transitiva che α=γ. Siccome α e γ sono alterni interni, le rette AB e CD, formando con la trasversale MN angoli alterni interni uguali, sono parellele, per la prima parte del teorema.
Terza ipotesi: gli angoli coniugati interni α e β, che le rette AB, CD, formano con la trasversale MN, sono supplementari.
Tesi: si deve dimostrare che le rette AB e CD sono parallele.
Terza dimostrazione
Infatti, si indica con γ l'angolo interno adiacente a β. Essendo α supplementare di β per ipotesi, e β supplementare di γ, perchè adiacente ad esso, si ha α=γ, perchè entrambi supplementari dello stesso angolo β. Quindi le rette AB e CD, formando con la trasversale MN gli angoli alterni interni α e γ uguali, sono parallele, per la prima parte del teorema.
Postulato delle parallele
Dal teorema precedente si può stabilire il modo di condurre da un punto F una retta parallela ad una retta AB assegnata: basta congiungere il punto F con un punto E qualsiasi della retta AB e poi condurre per E la retta CD che con la retta FE formi l'angolo β che sia uguale all'angolo corrispondente α. Le rette AB e CD, formando con la trasversale FE angoli corrispondenti uguali, sono parallele. Dal punto F non si possono condurre altre rette parallele alla rette AB, oltre alla retta CD costruita, anche se ciò non si può dimostrare, si ammette per postulato.
Postulato di Euclide o delle parallele
Dati una retta ed un punto fuori di essa, per il punto si può condurre una sola retta parallela alla retta data.
Tale postulato permette di invertire il teorema precedente; si ricavano così importanti proprietà degli angoli che due parallele formano con una trasversale.
Teorema - Se due rette sono parallele, formano con una trasversale angoli alterni interni uguali, angoli corrispondenti uguali e angoli coniugati supplementari.
Dimostrazione di ciascuna parte del teorema
Prima ipotesi: siano AB e CD due rette parallele tagliate da una trasversale MN nei punti E ed F.
Tesi: si deve dimostrare che le rette AB e CD formano con questa gli angoli α e β, alterni interni uguali.
Prima dimostrazione
Per dimostrare che α e β sono uguali, si ragiona per assurdo, cioè si dimostra che essi non possono essere disuguali. Quindi, se si considera β>α, si può togliere a β una sua parte, si suppone l'angolo γ in modo tale che la parte rimanente di vertice F e lati FE e FC', sia uguale ad α. Allora, siccome rispetto alle rette AB e FC', l'angolo α e l'angolo di vertice F e lati FE e FC' sono alterni interni; siccome si suppongono uguali, le rette AB, FC' devono essere parallele. Quindi, dall'aver supposto β>α, si è ottenuto che per il punto F passa non solo la retta CD parallela alla AB, come dall'ipotesi, ma anche la retta FC' anch'essa parallela alla AB, e ciò è contro il postulato di Euclide. Pertanto è dimostrato che gli angoli α e β devono essere uguali.
Seconda ipotesi: siano AB e CD due rette parallele tagliate dalla trasversale MN nei punti E ed F.
Tesi: si deve dimostrare che gli angoli α e β che esse formano con la trasversale, sono uguali.
Seconda dimostrazione
Infatti, supposto α interno, sia γ l'opposto al vertice di β; gli angoli α e γ risultano uguali perchè alterni interni fra parallele e gli angoli β e γ pure uguali perchè opposti al vertice. Per la proprietà transitiva, α=β, come volevasi dimostrare.
Terza ipotesi: siano AB e CD due rette parallele tagliate dalla trasversale MN nei punti E ed F.
Tesi: si deve dimostrare che gli angoli coniugati interni α e β sono supplementari.
Terza dimostrazione
Altre proprietà delle rette parallele
Teorema - Due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro.
Ipotesi: le rette a e b sono entrambe parallele alla retta c.
Tesi: si deve dimostrare che a e b sono parallele fra loro.
Dimostrazione
Infatti, se a e b non fossero parallele, dovrebbero incontrarsi in un punto P e allora per questo punto passerebbero due rette, a e b, entrambe parallele alla retta c, e ciò è contro il postulato di Euclide.
Teorema - Se due rette sono parallele, ogni retta che incontra l'una incontra anche l'altra e ogni retta perpendicolare all'una è perpendicolare all'altra.
Ipotesi: le rette AB e BC sono parallele e la retta MN incontra la retta AB in un punto E.
Tesi: si deve dimostrare che MN incontra anche CD.
Dimostrazione
Infatti, se MN non incontrasse CD, cioè fosse parallela a questa retta, per il punto E passerebbero due rette parallele alla CD, la AB e la MN, e ciò è contro il postulato delle parallele. Se poi la MN è perpendicolare ad AB, l'angolo α è retto; ed essendo gli angoli α e β uguali perchè corrispondenti fra parallele, anche l'angolo β è retto. Ciò dimostra che la retta MN perpendicolare a CD.
Teorema - Due semirette, che hanno origine su una stessa retta, sono dalla stessa parte e formano con essa angoli coniugati interni la cui somma è minore di due angoli retti, s'incontrano.
Ipotesi: le due semirette ACB e BD, dalla stessa parte della retta AB, formano con essa angoli coniugati interni α e β la cui somma è minore di un angolo piatto.
Tesi: si deve dimostrare che le semirette AC e BD s'incontrano.
Dimostrazione
Infatti, non possone essere parallele, perchè in tal caso formerebbero con la retta data angoli coniugati supplementari, nè possono incontrarsi le semirette ad esse opposte, perchè queste formano con la retta data angoli coniugati interni α' e β' la cui somma è maggiore di un angolo piatto, e quindi si avrebbe un triangolo in cui la somma di due angoli interni sarebbe maggiore di un angolo piatto. Le due semirette debbono perciò necessariamente incontrarsi.
Teorema - Se due rette s'incontrano, anche due rette ad esse perpendicolari si incontrano.
Teorema - Se due rette sono parallele, tutti i punti dell'una hanno uguale distanza dall'altra.Ipotesi: date le due rette parallele a e b, siano AB e CD le distanze di due punti qualsiasi della retta dalla retta b.
Tesi: si deve dimostrare che AB e CD sono uguali.
Dimostrazione
Infatti, si congiungono i punti B e C e si considerano i due triangoli ABC e DCB: essi hanno il lato BC in comune, gli angoli α e β uguali, perchè alterni interni fra le parallele AB e CD e la trasversale BC, ed hanno uguali gli angoli γ=μ, perchè alterni interni fra le parallele AC, BD e la trasversale BC. I due triangoli, avendo un lato uguale e gli angoli ad esso adiacenti uguali, sono uguali. In particolare risulta che AB=CD, perchè lati opposti ad angoli uguali.
Quindi: la distanza di un punto qualsiasi di una retta da un'altra retta ad essa parallela si dice distanza delle due rette parallele.
Angoli con lati paralleli
Si dice che due semirette parallele hanno lo stesso verso o che sono concordi, se giacciono dalla stessa parte rispetto alla retta passante per le loro origini, come a e b nella prima figura; che hanno verso contrario o che sono discordi, se giacciono da parti opposte rispetto alla stessa retta, come c e d, nella seconda figura.
Teorema - Se due angoli hanno i lati paralleli e concordi sono uguali; se hanno i lati paralleli e discordi sono pure uguali; se hanno due lati paralleli e concordi e due paralleli e discordi sono supplementari.
Ipotesi 1: siano dati gli angoli α e β, i lati AB, ED paralleli e concordi e così pure AC ed EF.
Tesi: si deve dimostrare che α=β.
Dimostrazione 1
Infatti, detto H il punto d'incontro della retta ED con la retta AC e γ l'angolo che esse formano, risulta che gli angoli α e γ sono uguali perchè corrispondenti fra le parallele AB, ED e la trasversale AC e gli angoli γ e β sono pure uguali perchè corrispondenti fra le parallele AC, EF e la trasversale ED. Segue che gli angoli α e β, uguali ciasuno a γ, sono uguali fra loro.
Ipotesi 2: si suppone che gli angoli α e β hanno i lati AB e ED paralleli e discordi, così pure i lati AC, EF.
Tesi: si deve dimostrare che α=β.
Dimostrazione 2
Infatti, l'angolo β è uguale al suo opposto al vertice γ e che, come ora dimostrato, γ=α, perchè ha con questo i lati paralleli e concordi; segue, per la proprietà transitiva, che β=α.
Ipotesi 3: si suppone che gli angoli α e β hanno i lati AB, ED paralleli e concordi, così pure i lati AC, EG.
Tesi: si deve dimostrare che α e β sono supplementari.
Dimostrazione 3
Infatti, l'angolo γ adiacente a β è supplementare di β, e siccome γ è uguale α, per l'uno o l'altro dei casi precedenti, segue che α è supplementare di β.
Tesi: si deve dimostrare che le rette AB e CD sono parallele.
Prima dimostrazione
Infatti, se le due rette AB e CD tagliate dalla trasversale MN non fossero parallele, si dovrebbero incontrare in un punto P formando il triangolo PEF. Allora in questo triangolo l'angolo esterno β sarebbe uguale all'angolo α interno e non adiacente, e ciò non può essere, perchè in contrapposizione al teorema dell'angolo esterno. Le due rette AB, CD, non potendo incontrarsi, sono parallele.
Seconda ipotesi: gli angoli corrispondenti α e β, che le rette AB e CD, formano con la trasversale MN, sono uguali.
Tesi: si deve dimostrare che le rette AB e CD sono parallele.
Seconda dimostrazione
Supponendo α interno, si indica con γ l'angolo opposto al vertice di β. Essendo α=β per ipotesi, e β=γ perchè opposti al vertice, si ricava, per la proprietà transitiva che α=γ. Siccome α e γ sono alterni interni, le rette AB e CD, formando con la trasversale MN angoli alterni interni uguali, sono parellele, per la prima parte del teorema.
Terza ipotesi: gli angoli coniugati interni α e β, che le rette AB, CD, formano con la trasversale MN, sono supplementari.
Tesi: si deve dimostrare che le rette AB e CD sono parallele.
Terza dimostrazione
Infatti, si indica con γ l'angolo interno adiacente a β. Essendo α supplementare di β per ipotesi, e β supplementare di γ, perchè adiacente ad esso, si ha α=γ, perchè entrambi supplementari dello stesso angolo β. Quindi le rette AB e CD, formando con la trasversale MN gli angoli alterni interni α e γ uguali, sono parallele, per la prima parte del teorema.
Postulato delle parallele
Dal teorema precedente si può stabilire il modo di condurre da un punto F una retta parallela ad una retta AB assegnata: basta congiungere il punto F con un punto E qualsiasi della retta AB e poi condurre per E la retta CD che con la retta FE formi l'angolo β che sia uguale all'angolo corrispondente α. Le rette AB e CD, formando con la trasversale FE angoli corrispondenti uguali, sono parallele. Dal punto F non si possono condurre altre rette parallele alla rette AB, oltre alla retta CD costruita, anche se ciò non si può dimostrare, si ammette per postulato.
Postulato di Euclide o delle parallele
Dati una retta ed un punto fuori di essa, per il punto si può condurre una sola retta parallela alla retta data.
Tale postulato permette di invertire il teorema precedente; si ricavano così importanti proprietà degli angoli che due parallele formano con una trasversale.
Teorema - Se due rette sono parallele, formano con una trasversale angoli alterni interni uguali, angoli corrispondenti uguali e angoli coniugati supplementari.
Dimostrazione di ciascuna parte del teorema
Prima ipotesi: siano AB e CD due rette parallele tagliate da una trasversale MN nei punti E ed F.
Tesi: si deve dimostrare che le rette AB e CD formano con questa gli angoli α e β, alterni interni uguali.
Prima dimostrazione
Per dimostrare che α e β sono uguali, si ragiona per assurdo, cioè si dimostra che essi non possono essere disuguali. Quindi, se si considera β>α, si può togliere a β una sua parte, si suppone l'angolo γ in modo tale che la parte rimanente di vertice F e lati FE e FC', sia uguale ad α. Allora, siccome rispetto alle rette AB e FC', l'angolo α e l'angolo di vertice F e lati FE e FC' sono alterni interni; siccome si suppongono uguali, le rette AB, FC' devono essere parallele. Quindi, dall'aver supposto β>α, si è ottenuto che per il punto F passa non solo la retta CD parallela alla AB, come dall'ipotesi, ma anche la retta FC' anch'essa parallela alla AB, e ciò è contro il postulato di Euclide. Pertanto è dimostrato che gli angoli α e β devono essere uguali.
Seconda ipotesi: siano AB e CD due rette parallele tagliate dalla trasversale MN nei punti E ed F.
Tesi: si deve dimostrare che gli angoli α e β che esse formano con la trasversale, sono uguali.
Seconda dimostrazione
Infatti, supposto α interno, sia γ l'opposto al vertice di β; gli angoli α e γ risultano uguali perchè alterni interni fra parallele e gli angoli β e γ pure uguali perchè opposti al vertice. Per la proprietà transitiva, α=β, come volevasi dimostrare.
Terza ipotesi: siano AB e CD due rette parallele tagliate dalla trasversale MN nei punti E ed F.
Tesi: si deve dimostrare che gli angoli coniugati interni α e β sono supplementari.
Terza dimostrazione
Infatti, sia γ l'angolo interno adiacente a β; gli angoli α e γ sono uguali perchè alterni interni fra le parallele date e la trasversale EF; ma γ è supplementare di β, e quindi anche α è supplementare di β, come volevasi dimostrare.
Altre proprietà delle rette parallele
Teorema - Due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro.
Ipotesi: le rette a e b sono entrambe parallele alla retta c.
Tesi: si deve dimostrare che a e b sono parallele fra loro.
Dimostrazione
Infatti, se a e b non fossero parallele, dovrebbero incontrarsi in un punto P e allora per questo punto passerebbero due rette, a e b, entrambe parallele alla retta c, e ciò è contro il postulato di Euclide.
Teorema - Se due rette sono parallele, ogni retta che incontra l'una incontra anche l'altra e ogni retta perpendicolare all'una è perpendicolare all'altra.
Ipotesi: le rette AB e BC sono parallele e la retta MN incontra la retta AB in un punto E.
Tesi: si deve dimostrare che MN incontra anche CD.
Dimostrazione
Infatti, se MN non incontrasse CD, cioè fosse parallela a questa retta, per il punto E passerebbero due rette parallele alla CD, la AB e la MN, e ciò è contro il postulato delle parallele. Se poi la MN è perpendicolare ad AB, l'angolo α è retto; ed essendo gli angoli α e β uguali perchè corrispondenti fra parallele, anche l'angolo β è retto. Ciò dimostra che la retta MN perpendicolare a CD.
Teorema - Due semirette, che hanno origine su una stessa retta, sono dalla stessa parte e formano con essa angoli coniugati interni la cui somma è minore di due angoli retti, s'incontrano.
Ipotesi: le due semirette ACB e BD, dalla stessa parte della retta AB, formano con essa angoli coniugati interni α e β la cui somma è minore di un angolo piatto.
Tesi: si deve dimostrare che le semirette AC e BD s'incontrano.
Dimostrazione
Infatti, non possone essere parallele, perchè in tal caso formerebbero con la retta data angoli coniugati supplementari, nè possono incontrarsi le semirette ad esse opposte, perchè queste formano con la retta data angoli coniugati interni α' e β' la cui somma è maggiore di un angolo piatto, e quindi si avrebbe un triangolo in cui la somma di due angoli interni sarebbe maggiore di un angolo piatto. Le due semirette debbono perciò necessariamente incontrarsi.
Teorema - Se due rette s'incontrano, anche due rette ad esse perpendicolari si incontrano.
Ipotesi: siano a, b, due rette con un punto comune O, r ed s due rette ad esse rispettivamente perpendicolari.
Tesi: si deve dimostrare che r ed s s'incontrano.
Dimostrazione
Infatti, se la retta r fosse parallela ad r, la retta a, che è perpendicolare ad r, sarebbe anche perpendicolare ad s, ed allora da uno stesso punto O vi sarebbero due rette perpendicolari ad una stessa retta s e ciò è assurdo.
Tesi: si deve dimostrare che r ed s s'incontrano.
Dimostrazione
Infatti, se la retta r fosse parallela ad r, la retta a, che è perpendicolare ad r, sarebbe anche perpendicolare ad s, ed allora da uno stesso punto O vi sarebbero due rette perpendicolari ad una stessa retta s e ciò è assurdo.
Teorema - Se due rette sono parallele, tutti i punti dell'una hanno uguale distanza dall'altra.
Tesi: si deve dimostrare che AB e CD sono uguali.
Dimostrazione
Infatti, si congiungono i punti B e C e si considerano i due triangoli ABC e DCB: essi hanno il lato BC in comune, gli angoli α e β uguali, perchè alterni interni fra le parallele AB e CD e la trasversale BC, ed hanno uguali gli angoli γ=μ, perchè alterni interni fra le parallele AC, BD e la trasversale BC. I due triangoli, avendo un lato uguale e gli angoli ad esso adiacenti uguali, sono uguali. In particolare risulta che AB=CD, perchè lati opposti ad angoli uguali.
Quindi: la distanza di un punto qualsiasi di una retta da un'altra retta ad essa parallela si dice distanza delle due rette parallele.
Angoli con lati paralleli
Si dice che due semirette parallele hanno lo stesso verso o che sono concordi, se giacciono dalla stessa parte rispetto alla retta passante per le loro origini, come a e b nella prima figura; che hanno verso contrario o che sono discordi, se giacciono da parti opposte rispetto alla stessa retta, come c e d, nella seconda figura.
Teorema - Se due angoli hanno i lati paralleli e concordi sono uguali; se hanno i lati paralleli e discordi sono pure uguali; se hanno due lati paralleli e concordi e due paralleli e discordi sono supplementari.
Ipotesi 1: siano dati gli angoli α e β, i lati AB, ED paralleli e concordi e così pure AC ed EF.
Tesi: si deve dimostrare che α=β.
Dimostrazione 1
Infatti, detto H il punto d'incontro della retta ED con la retta AC e γ l'angolo che esse formano, risulta che gli angoli α e γ sono uguali perchè corrispondenti fra le parallele AB, ED e la trasversale AC e gli angoli γ e β sono pure uguali perchè corrispondenti fra le parallele AC, EF e la trasversale ED. Segue che gli angoli α e β, uguali ciasuno a γ, sono uguali fra loro.
Ipotesi 2: si suppone che gli angoli α e β hanno i lati AB e ED paralleli e discordi, così pure i lati AC, EF.
Tesi: si deve dimostrare che α=β.
Dimostrazione 2
Infatti, l'angolo β è uguale al suo opposto al vertice γ e che, come ora dimostrato, γ=α, perchè ha con questo i lati paralleli e concordi; segue, per la proprietà transitiva, che β=α.
Ipotesi 3: si suppone che gli angoli α e β hanno i lati AB, ED paralleli e concordi, così pure i lati AC, EG.
Tesi: si deve dimostrare che α e β sono supplementari.
Dimostrazione 3
Infatti, l'angolo γ adiacente a β è supplementare di β, e siccome γ è uguale α, per l'uno o l'altro dei casi precedenti, segue che α è supplementare di β.