MIKY & GENNY
SEMIRETTA E SEGMENTO ---> INDICE
La semiretta è ognuna delle due parti nelle quali una retta è divisa da un suo punto.
Il punto O si chiama origine di ciascuna delle due semirette.
Una delle due parti in cui un punto O divide una retta, è costituita dai punti che in un verso fissato precedono O, un'altra dai punti che seguono O.
La semiretta che ha per origine un punto O e contiene il punto A, si indica con OA, premettendo, se occorre, la parola semiretta.
La semiretta è illimitata da una sola parte, essendo dall'altra limitata dal punto origine O.
Le due semirette che un punto O determina su una retta si dicono opposte, come OA, e OB.
Proiettare un punto A da un punto O, equivale a condurre la semiretta OA.
IL SEGMENTO
Due punti A e B di una retta a, la dividono in tre parti: due di esse illimitate sono le semirette di origine A e di origine B, la terza parte limitata dai punti A e B si chiama segmento. Quindi:
I punti A e B si chiamano estremi del segmento.
Il segmento che ha per estremi A e B, si dice che congiunge A e B e si legge segmento AB, oppure soltanto AB.
Il segmento che congiunge due punti dicesi distanza fra i due punti.
Delle tre parti in cui una retta rimane divisa da due soui punti A e B, una è il segmento AB, le altre due sono semirette che si dicono prolungamenti del segmento AB.
I segmenti si possono indicare anche con lettere minuscole: a, b, c,...
Segmenti consecutivi
Se due segmenti hanno un estremo in comune, e nessun altro punto all'infuori di questo, si dicono consecutivi.
I due segmenti AB e BC, che hanno hanno in comune l'estremo B, sono consecutivi.
Segmenti adiacenti
Se due segmenti sono consecutivi sulla stessa retta si dicono adiacenti.
Punto medio del segmento
Postulato - In un qualsiasi segmento esiste uno ed un solo punto che lo divide in due parti uguali.
Il punto che divide il segmento in due parti uguali si dice punto medio del segmento.
Invertibilità del segmento
Ogni segmento è invertibile, ossia esiste un movimento che scambia gli estremi.
Infatti, dato un qualsiasi segmento AB, una rotazione di mezzo giro intorno al punto medio O, lo capovolge scambiando i punti A e B.
Trasporto del segmento
Dato un segmento ed una semiretta, esiste sulla semiretta uno ed un solo segmento, che ha un estremo nell'origine della semiretta e che è uguale al segmento dato.
Infatti, dato un segmento AB ed una semiretta r di origine O, portando il segmento AB sulla semiretta r, in modo che uno degli estremi, ad esempio B coincida con O, l'altro estremo finirà in un punto ben determinato A della stessa semiretta.
Confronto e operazioni sui segmenti
Mediante sovrapposizione si può decidere se due segmenti sono uguali o disuguali.
Se due segmenti a e b sono disuguali, si dice che a è maggiore di b, se b è uguale ad una parte di a e si scrive: a>b. In tal caso, b è minore di a e quindi si scrive b<a.
Dall'esame delle seguenti figure,
si ha:
a)-Due segmenti, o sono uguali, o uno di essi è maggiore dell'altro, cioè fra due segmenti a, b si verifica necessariamente una ed una sola delle seguenti relazioni: a>b; a=b, a<b.
Somma di segmenti
Considerati i segmenti consecutivi AB e BC su una retta e il segmento AC avente per estremi quelli non comuni, A e C, la somma dei due segmenti dati, avente per estremi A e C, è rappresentata da AC. Pertanto si può scrivere: AB+BC=AC.
Somma di segmenti non consecutivi
Se si considerano due segmenti non consecutivi a e b, appartenenti o no alla stessa retta,
e si trasportano consecutivamente su una retta OA=a, AB=b, si dice somma
a+b dei segmenti dati, il segmento OB somma dei segmenti consecutivi
uguali dati.
In generale:
La
somma di due o più segmenti a, b, c,... è il
segmento che si ottiene sommando prima a e b, aggiungendo poi c al
risultato, e così via fino all'ultimo segmento.
Aggiungere o sommare più segmenti significa trovare la loro somma.
Si può facilmente dimostrare che:
La somma dei segmenti gode della proprietà
-commutativa: cioè la somma non varia quando si muta a piacere l'ordine degli addendi,
-associativa: quando a più addendi si sostituisce la loro somma parziale.
Inoltre: Aggiungendo segmenti uguali a segmenti disuguali, si ottengono segmenti
disuguali nello stesso senso.
Cioè se a=b e c>d, è anche a+c>b+d.
Differenza di due segmenti
Considerati due segmenti disuguali AB e CD, con AB>CD, aventi un estremo in A in comune e sovrapposti, il segmento CB si chiama differenza fra il segmento AB e il segmento AC, e si scrive: CB=AB-AC.
La
differenza fra due segmenti, che si trovano in una posizione qualsiasi,
si ottiene trasportandoli su una retta, in modo tale che abbiano un
estremo in comune e siano sovrapposti.
La differenza fra due segmenti
esiste sempre: è un terzo segmento che, aggiunto al secondo,
dà il primo.
Sottrarre da un segmento un altro segmento significa trovare la loro differenza.
Dalla definizione e dalle proprietà precedenti, si ricava:
a)-Sottraendo segmenti uguali da segmenti uguali, si ottengono segmenti uguali,
b)-Sottraendo segmenti uguali da segmenti disuguali, si ottengono segmenti disuguali nello stesso senso.
MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DI UN SEGMENTO
Si dice multiplo di un segmento a, secondo il numero m, la somma di m segmenti uguali ad a.
Quindi, dire che b è multiplo di a secondo il numero m, equivale a dire che b=a+a+a+... (m volte) e si scrive b=ma.
Se m=2, risulta b=2a e si dice che b è il doppio del segmento a.
Se m=3, risulta b=3a e si dice che b è il triplo del segmento a.
Se m=4, risulta b=4a e si dice che b è il quadruplo del segmento a.
Se m=5, risulta b=5a e si dice che b è il quintuplo del segmento a, ecc.
Nella figura seguente il segmento CD rappresenta la somma di tre segmenti uguali ad AB secondo il numero tre, cioè: CD=3AB.
Sottomultipli di un segmento
Se un segmento b è multiplo del segmento a secondo un numero m, ossia è b=ma, di conseguenza a dicesi sottomultiplo di b secondo il numero m e si scrive:
e si legge a uguale ad un emmesimo di b.
e si dice rispettivamente che a è la metà, la terza parte di b...
Si
dice sottomultiplo di un segmento a secondo il numero m, ciascuno dei
segmenti ottenuti dopo aver diviso a in m parti uguali.
E' facile dimostrare che:
Multipli
e sottomultipli, secondo lo stesso numero, di segmenti uguali, sono
uguali; multipli e sottomultipli di segmenti disuguali sono disuguali
nello stesso senso.
Postulato di Archimede
Dati due segmenti disuguali, è sempre possibile trovare un multiplo del minore che superi il maggiore.
Cioè se b<a, si può trovare un valore di m per cui mb>a.
La misura un segmento è il numero che esprime quante volte un altro segmento, scelto come unità di misura, o un suo sottomultiplo, è contenuto nel primo. Cioè:
La misura un segmento si dice lunghezza del segmento.
La principale unità di misura delle lunghezze è il metro, che corrisponde alla lunghezza di un regolo di platino iridato conservato nell'Archivio di Pesi e Misure di Sévres.
Il metro si indica con la lettera m, ed è noto che per le lunghezze maggiori si adoperano i suoi multipli, cioè:
miriametro (Mm)=m 10000
chilometro (km)=m 1000
ettometro (hm)=m 100
decametro (dam)=m 10
Mentre per quelle minori:
decimetro (dm)=m 0,1
centimetro (cm)=m 0,01
millimetro (mm)=m 0,001.
In geometria, per misurare i segmenti si usa generalmente la riga graduata, che porta incisa su uno degli orli una suddivisione in decimetri e centimetri, o il doppio decimetro, lungo poco più di venti centimetri, con un bordo graduato in centimetri e millimetri. Per misurare i segmenti con il doppio decimetro o con la riga, si dispone questa lungo il segmento in modo che uno degli estremi A coincida con l'inizio 0 della graduazione: se l'estremo B coincide con la ventiduesima divisione si dice che la lunghezza del segmento è di 22 mm, e si scrive AB=mm 22. Se invece l'estremo B capita fra la ventunesima e la ventitresima divisione, si dice che 21 è la misura di AB approssimata per difetto, a meno di 1 mm e che 23 è la misura dello stesso segmento approssimata per eccesso a meno di 1 mm.