Superficie e solidi rotondi
Se si considera la rotazione completa di un semipiano α
intorno alla sua origine r, ogni suo punto descrive una circonferenza
che giace in un piano perpendicolare all'asse ed ha il centro
nell'intersezione del piano con l'asse stesso.
Nota bene
Quando
si parla di rotazione di una figura intorno ad un asse, s'intende
rotazione completa, anche se non è detto esplicitamente.
I punti di una linea l del semipiano α,
ruotando con esso intorno alla retta r, descrivono perciò delle
circonferenze, le quali si trovano situate su una superficie, detta superficie di rotazione o superficie rotonda di asse r. La linea l si chiama generatrice.
I punti di una superficie S, giacente nel semipiano α, ruotando intorno ad una retta r, occupano diverse posizioni: l'insieme delle successive posizioni si chiama solido di rotazione o di rivoluzione, generato dalla superficie S.
La superficie descritta dalla linea contorno di S, si chiama contorno o superficie del solido, i punti descritti dai punti della superficie generatrice, non appartenenti al contorno, sono interni, quelli non appartenenti al solido, esterni.
Le
sezioni di un solido rotondo con un piano perpendicolare all'asse di
rotazione, chiamate sezioni normali, sono superfici limitate da circonferenze
appartenenti alla superficie contorno.
Le sezioni di un solido rotondo con un piano
che contiene l'asse di rotazione, chiamate sezioni meridiane, sono costituite da due superfici
simmetriche rispetto all'asse ed uguali alla superficie generatrice.
Cilindro
Definizione - Si chiama cilindro il solido di rotazione generato dalla rotazione di un rettangolo intorno ad uno dei suoi lati.
Si chiama superficie laterale del cilindro la superficie generata dal lato di un rettangolo che ruota intorno al lato opposto.
Le superfici generate dai lati del rettangolo perpendicolari all'asse di rotazione sono due cerchi che si chiamano basi del cilindro.
L'insieme della superficie laterale e delle basi si chiama superficie totale del cilindro.
Il raggio di una delle basi si chiama raggio del cilindro o della superficie cilindrica, la distanza delle basi si chiama altezza.
Nel cilindro generato dal rettangolo ABCD, AD e BC sono raggi, AB è l'altezza, DC è la generatrice della superficie laterale.
Si ha:
1)-le sezioni normali del cilindro sono cerchi uguali e paralleli ai cerchi di base;
2)-le sezioni meridiane sono rettangoli.
Definizione - Un prisma si dice inscritto o circoscritto ad un cilindro, a seconda che le basi del prisma sono inscritte o circoscritte a quelle del cilindro.
Un prisma circoscritto contiene il cilindro; un prisma inscritto è contenuto nel cilindro.
Cono
Definizione - Si chiama cono il solido generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti.
Si chiama superficie conica o superficie laterale del cono
la superficie generata dall'ipotenusa di un triangolo rettangolo in una
rotazione completa intorno ad uno dei suoi cateti. La superficie
generata dall'altro cateto è un cerchio che si chiama base del cono.
L'insieme della superficie laterale e della base si chiama superficie totale del cono. Il raggio della base si chiama raggio del cono, l'ipotenusa che genera la superficie laterale si chiama lato o apotema del cono, il punto comune all'ipotenusa e all'asse di rotazione si chiama vertice, la distanza del vertice dalla base si chiama altezza del cono.
Nel
cono generato dal triangolo rettangolo ABC, AB è l'asse di
rotazione, BC il raggio del cono, AC l'apotema, A il vertice e AB
l'altezza.
I
punti dello spazio sono interni o esterni alla sfera o alla superficie
sferica, a seconda che la loro distanza dal centro sia minore o
maggiore del raggio.
Si ha:
1)-le sezioni normali sono
cerchi, dei quali è massimo quello ottenuto con un piano
passante per il centro, che prende il nome di piano diametrale;
2)-le sezioni meridiane sono cerchi massimi;
3)-il segmento che congiunge due punti appartenenti ad una sfera appartiene alla sfera.
Infatti, esso
appartiene ad un piano diametrale che taglia la sfera secondo un
cerchio, pertanto il segmento appartiene al cerchio e quindi alla sfera;
4)-due sfere aventi raggi uguali sono uguali.
Infatti, un movimento che porta il centro dell'una nel centro dell'altra, sovrappone le due sfere.
La
distanza di due punti dalla superficie sferica dal centro è la
stessa per tutti, ed è uguale al raggio, come risulta dalla
definizione; viceversa, qualunque punto che ha la distanza dal centro
uguale al raggio, si deve trovare su un meridiano. Quindi:
-la superficie sferica è il luogo dei punti dello spazio, che hanno distanza assegnata da un punto dato.
Perciò, a differenza delle altre superfici rotonde finora trattate, la superficie sferica si può considerare come superficie di rotazione in infiniti modi diversi, potendo assumere come asse di rotazione ogni suo diametro.
Un poligono o un poliedro si dice inscritto in una sfera, se i suoi vertici sono sulla sfera, e questa si dice circoscritta.
Un poligono o un poliedro si dice circoscritto ad una sfera, se ha i lati o le facce tangenti alla sfera, e questa si dice inscritta.
La sfera è parte di un poliedro ad essa circoscritto e contiene come parte un poliedro inscritto.
Teorema
- Una retta taglia la superficie sferica in due punti, in uno solo o
non ha con essa alcun punto in comune, a seconda che la sua distanza
dal centro è minore, uguale o maggiore del raggio e viceversa.
Infatti,
se la retta passa per il centro, è evidente che ha due punti in
comune con la superficie sferica. Escluso tale caso, si taglia la superficie sferica con il piano diametrale passante per la retta. Lo studio delle posizioni relative della superficie sferica e della retta si riconduce quindi a quello delle posizioni relative di una retta e di una circonferenza complanari.
Definizione - Una retta si dice secante, tangente o esterna ad una sfera, a seconda che con questa ha in comune due punti, uno o nessuno.
Teorema - Una piano ha in
comune con una superficie
sferica una circonferenza, un punto, nessun punto, a seconda che la sua distanza dal centro è minore, uguale o maggiore del raggio.
Si chiama:
-zona sferica la parte di una superficie sferica compresa da due piani secanti paralleli;
-segmento sferico a due basi la parte di sfera compresa fra quei due piani.
I
cerchi sezione si dicono basi della zona o del segmento sferico; la
distanza fra le basi si chiama altezza della zona o del segmento
sferico.
Si chiama:
-fuso sferico la parte della superficie sferica compresa fra due semipiani uscenti da un diametro;
-spicchio sferico la parte di sfera compresa fra quei semipiani.
Il contorno del fuso è dato da due semicirconferenze massime, che si chiamano lati del fuso; gli estremi del diametro, comune alle semicirconferenze, lati del fuso, si dicono vertici del fuso.
Il contorno dello spicchio è formato da un fuso e da due
semicerchi aventi in comune il diametro; il fuso è detto base dello spicchio, i semicerchi facce.
Si chiama angolo,
sia del fuso, sia dello spicchio, la sezione normale del diedro
formato dai semipiani diametrali contenenti i lati del fuso e le facce
dello spicchio.
Si
dice che un fuso, o uno spicchio, è somma di altri due,
appartenenti alla stessa sfera o a sfere di ugual raggio, se il suo
angolo è uguale alla somma di quelli corrispondenti agli altri
due.
Si riconosce facilmente che:
-i fusi e gli spicchi
appartenenti alla stessa sfera o a sfere uguali sono proporzionali ai
rispettivi angoli.
Si chiama settore sferico il solido
generato dalla rotazione di un settore circolare attorno ad un diametro
del cerchio a cui esso appartiene e che non l'attraversi.
Si chiama base del settore la zona generata dall'arco del settore circolare.