MIKY & GENNY

SOLIDI ROTONDI, CILINDRO, CONO E SFERA ---> INDICE

Superficie e solidi rotondi
Se si considera la rotazione completa di un semipiano
α intorno alla sua origine r, ogni suo punto descrive una circonferenza che giace in un piano perpendicolare all'asse ed ha il centro nell'intersezione del piano con l'asse stesso.

Nota bene
Quando si parla di rotazione di una figura intorno ad un asse, s'intende rotazione completa, anche se non è detto esplicitamente.

I punti di una linea l del semipiano
α, ruotando con esso intorno alla retta r, descrivono perciò delle circonferenze, le quali si trovano situate su una superficie, detta superficie di rotazione o superficie rotonda di asse r. La linea l si chiama generatrice.


I punti di una superficie S, giacente nel semipiano
α, ruotando intorno ad una retta r, occupano diverse posizioni: l'insieme delle successive posizioni si chiama solido di rotazione o di rivoluzione, generato dalla superficie S.
La superficie descritta dalla linea contorno di S, si chiama contorno o superficie del solido, i punti descritti dai punti della superficie generatrice, non appartenenti al contorno, sono interni, quelli non appartenenti al solido, esterni.

Le sezioni di un solido rotondo con un piano perpendicolare all'asse di rotazione, chiamate sezioni normali, sono superfici limitate da circonferenze appartenenti alla superficie contorno.
Le sezioni di un solido rotondo con un piano che contiene l'asse di rotazione, chiamate sezioni meridiane, sono costituite da due superfici simmetriche rispetto all'asse ed uguali alla superficie generatrice.

Cilindro
Definizione - Si chiama cilindro il solido di rotazione generato dalla rotazione di un rettangolo intorno ad uno dei suoi lati
.
Si chiama superficie laterale del cilindro la superficie generata dal lato di un rettangolo che ruota intorno al lato opposto.

Le superfici generate dai lati del rettangolo perpendicolari all'asse di rotazione sono due cerchi che si chiamano basi del cilindro.
L'insieme della superficie laterale e delle basi si chiama superficie totale del cilindro.
Il raggio di una delle basi si chiama raggio del cilindro o della superficie cilindrica, la distanza delle basi si chiama altezza.


Nel cilindro generato dal rettangolo ABCD, AD e BC sono raggi, AB è l'altezza, DC è 
la generatrice della superficie laterale.

Si ha:
1)-le sezioni normali del cilindro sono cerchi uguali e paralleli ai cerchi di base;
2)-le sezioni meridiane sono rettangoli.

Definizione - Un prisma si dice inscritto o circoscritto ad un cilindro, a seconda che le basi del prisma sono
inscritte o circoscritte a quelle del cilindro.



Un prisma
circoscritto contiene il cilindro; un prisma inscritto è contenuto nel cilindro.

Cono
Definizione - Si chiama cono il solido generato dalla 
rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti.

Si chiama superficie conica o superficie laterale del cono la superficie generata dall'ipotenusa di un triangolo rettangolo in una rotazione completa intorno ad uno dei suoi cateti. La superficie generata dall'altro cateto è un cerchio che si chiama base del cono.
L'insieme della superficie laterale e della base si chiama superficie totale del cono. Il raggio della base si chiama raggio del cono, l'ipotenusa che genera la superficie laterale si chiama lato o apotema del cono, il punto comune all'ipotenusa e all'asse di rotazione si chiama vertice, la distanza del vertice dalla base si chiama altezza del cono.


Nel cono generato dal triangolo rettangolo ABC, AB è l'asse di rotazione, BC il raggio del cono, AC l'apotema, A il vertice e AB l'altezza.

Si ha:
1)-le sezioni normali del cono sono cerchi, i cui raggi sono proporzionali alle loro distanze dal vertice;
2)-le sezioni meridiane sono triangoli isosceli.

Teorema - Se si taglia un cono con un piano parallelo alla base, la circonferenza della sezione normale e
la circonferenza di base stanno fra loro come le rispettive distanze dal vertice e i loro cerchi
stanno fra loro come i quadrati di queste distanze.

Sia dato un cono di vertice V tagliato da un piano parallelo alla base ad una distanza VO' dal vertice. Si traccia la generatrice VA del cono e sia A il punto d'intersezione con la
circonferenza di centro O' e con la circonferenza di centro O. I due raggi O'A' ed OA risultano paralleli perchè le intersezioni del piano VOA con i piani paralleli alla base e alla sezione; quindi i due triangoli VOA e VO'A' sono simili, pertanto si ha la seguente proporzione:

OA : O'A' = VO : VO'.



Quindi è dimostrato che i raggi delle due circonferenze stanno fra loro come le rispettive distanze dal vertice.

Dalla proporzione precedente si ha:

q(OA) : q(O'A') = q(VO) : (VO')

e siccome due cerchi stanno fra loro come i quadrati dei raggi OA ed O'A', da questa proporzione risulta che 
stanno fra loro come i quadrati delle distanze dal vertice VO e VO'.

Definizione - Una piramide avente lo stesso vertice di un cono, si dice inscritta o circoscritta ad esso, a seconda che la base è inscritta o circoscritta alla circonferenza di base del cono.

Una piramide inscritta è costituita da punti che appartengono al cono e quindi è parte di esso; una piramide circoscritta contiene come parte il cono.

Una piramide circoscritta ad un cono è retta.



Tronco di cono

Definizione - Si chiama tronco di cono quella parte di cono che non contiene il vertice, ottenuta tagliando il cono con un piano parallelo alla base
.

I segmenti delle generatrici del cono, che appartengono alla superficie laterale del tronco, sono uguali e si chiamano apotemi del tronco. Le basi sono cerchi, l'altezza è la distanza fra le basi,
la superficie laterale è la parte del cono compresa fra la circonferenza delle basi, superficie totale l'insieme della superficie laterale e dei due cerchi di base.
Un tronco di cono si può pensare generato dalla rotazione di un trapezio rettangolo intorno al lato perpendicolare alle basi.


Sfera

Definizione - Si chiama sfera il solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio intorno alla retta del suo diametro.

Si dice superficie sferica la superficie generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza intorno alla retta del suo diametro.
Il centro e il raggio del semicerchio o della semicirconferenza
generatrice si dicono centro e raggio della sfera o della superficie sferica.
Si chiama corda di una sfera il segmento che congiunge due punti della superficie sferica contorno.
Il diametro è la corda che passa per il centro.



I punti dello spazio sono interni o esterni alla sfera o alla superficie sferica, a seconda che la loro distanza dal centro sia minore o maggiore del raggio.

Si ha:
1)-le sezioni normali sono cerchi, dei quali è massimo quello ottenuto con un piano passante per il centro, che prende il nome di piano diametrale;
2)-le sezioni meridiane sono cerchi massimi;
3)-il segmento che congiunge due punti appartenenti ad una sfera appartiene alla sfera.
Infatti, esso appartiene ad un piano diametrale che taglia la sfera secondo un cerchio, pertanto il segmento appartiene al cerchio e quindi alla sfera;
4)-due sfere aventi raggi uguali sono uguali.
Infatti, un movimento che porta il centro dell'una nel centro dell'altra, sovrappone le due sfere.

La distanza di due punti dalla superficie sferica dal centro è la stessa per tutti, ed è uguale al raggio, come risulta dalla definizione; viceversa, qualunque punto che ha la distanza dal centro uguale al raggio, si deve trovare su un meridiano. Quindi:
-
la superficie sferica è il luogo dei punti dello spazio, che hanno distanza assegnata da un punto dato.
Perciò, a differenza delle altre superfici rotonde finora trattate, la 
superficie sferica si può considerare come superficie di rotazione in infiniti modi diversi, potendo assumere come asse di rotazione ogni suo diametro.

Un poligono o un poliedro si dice inscritto in una sfera, se i suoi vertici sono sulla sfera, e questa si dice circoscritta.
U
n poligono o un poliedro si dice circoscritto ad una sfera, se ha i lati o le facce tangenti alla sfera, e questa si dice inscritta.
La sfera è parte di un poliedro ad essa circoscritto e contiene come parte un poliedro inscritto.

Teorema - Una retta taglia la superficie sferica in due punti, in uno solo o non ha con essa alcun punto in comune, a seconda che la sua distanza dal centro è minore, uguale o maggiore del raggio e viceversa.

Infatti, se la retta passa per il centro, è evidente che ha due punti in comune con la superficie sferica. Escluso tale caso, si taglia
la superficie sferica con il piano diametrale passante per la retta. Lo studio delle posizioni relative della superficie sferica e della retta si riconduce quindi a quello delle posizioni relative di una retta e di una circonferenza complanari.

Definizione - Una rett
a
si dice secante, tangente o esterna ad una sfera, a seconda che con questa ha in comune due punti, uno o nessuno.

Teorema - Una piano ha 
in comune con una superficie sferica una circonferenza, un punto, nessun punto, a seconda che la sua distanza dal centro è minore, uguale o maggiore del raggio.



Infatti, si considera la distanza dal centro O della superficie sferica dal piano.
Se tale distanza è OH, minore del raggio, qualsiasi retta condotta per H nel piano incontra la superficie sferica; questa perciò è incontrata anche dal piano, il quale la taglia secondo una circonferenza. Se la distanza è OK, uguale al raggio, K è sulla superficie sferica e ogni altro punto del piano, diverso da K, ha distanza maggiore dal raggio, quindi è esterno alla superficie; se la distanza è OL, maggiore del raggio, ogni punto del piano, avendo distanza maggiore dal raggio, non può appartenere alla superficie sferica.

Definizione - Se un piano taglia la superficie sferica si dice secante, se la tocca in un un punto si dice tangente, e il punto, punto di contatto; se non ha nessun punto in comune si dice esterno.

Risulta che:
-il piano tangente è perpendicolare al raggio de
lla superficie sferica nel punto di contatto; viceversa, il piano tangente alla superficie sferica in un punto è il piano perpendicolare al raggio che passa per esso.

Figure sferiche
Si chiama:
-calotta sferica o zona sferica a una base, ciascuna delle due parti in cui resta divisa
la superficie sferica da un piano secante;
-segmento sferico ad una base
ciascuna delle due parti in cui resta divisa la sfera da quel piano.
Il cerchio sezione si chiama base della calotta o del segmento sferico.
La parte di diametro della sfera perpendicolare alla base, compresa fra questa e la superficie si chiama altezza della calotta o del segmento sferico.



Si chiama:
-zona sferica la parte di una 
superficie sferica compresa da due piani secanti paralleli;
-segmento sferico a due basi la parte di sfera compresa fra quei due piani.



I cerchi sezione si dicono basi della zona o del segmento sferico; la distanza fra le basi si chiama altezza della zona o del segmento sferico.

Si chiama:
-fuso sferico la parte della superficie sferica compresa fra due semipiani uscenti da un diametro;
-spicchio sferico la parte di sfera compresa fra quei semipiani.


Il contorno del fuso è dato da due semicirconferenze massime, che si chiamano lati del fuso; gli estremi del diametro, comune alle 
semicirconferenze, lati del fuso, si dicono vertici del fuso. Il contorno dello spicchio è formato da un fuso e da due semicerchi aventi in comune il diametro; il fuso è detto base dello spicchio, i semicerchi facce.

Si chiama angolo, sia del fuso, sia dello spicchio, la sezione normale del diedro formato dai semipiani diametrali contenenti i lati del fuso e le facce dello spicchio.

Si dice che un fuso, o uno spicchio, è somma di altri due, appartenenti alla stessa sfera o a sfere di ugual raggio, se il suo angolo è uguale alla somma di quelli corrispondenti agli altri due.

Si riconosce facilmente che:
-i fusi e gli spicchi appartenenti alla stessa sfera o a sfere uguali sono proporzionali ai rispettivi angoli.

Si chiama settore sferico il solido generato dalla rotazione di un settore circolare attorno ad un diametro del cerchio a cui esso appartiene e che non l'attraversi.



Si chiama base del settore la zona generata dall'arco del settore circolare.