MIKY & GENNY
MISURA DEGLI ANGOLI E DEGLI ARCHI ---> INDICE
E' noto che gli angoli si misurano, ordinariamente, scegliendo come unità di misura il grado sessagesimale, cioè la misura dell'angolo che è la novantesima parte dell'angolo retto.
Il grado è suddiviso in 60 parti uguali, ciascuna detta minuto primo; ogni minuto primo, a sua volta, è suddiviso in 60 parti uguali, dette minuti secondi.
I successivi sottomultipli del secondo si ottengono dividendolo in 10, 100, ... parti uguali.
In tal modo, le misure degli angoli, dette ampiezze, sono espresse da numeri detti numeri complessi.
Esempio: se la misura in gradi, o ampiezza, di un angolo è di 27 gradi, 42 primi, 28 secondi e 2 decimi, in forma abbreviata si scrive:
27° 42' 28'', 2.
In modo analogo si misurano gli archi di circonferenza.
Dire che un certo arco di circonferenza ha ampiezza α, significa che α è l'ampiezza del corrispondente angolo al centro.
Questa convenzione è giustificata dal fatto che gli archi di una data circonferenza e i corrispondenti angoli al centro costituiscono due classi di grandezze direttamente proporzionali.
La misura di un angolo, o di un arco di circonferenza, può effettuarsi anche in gradi centesimali, assumendo come unità il grado centesimale, che è la centesima parte dell'angolo retto.
Il minuto primo centesimale è la centesima parte del grado; il minuto secondo è la centesima parte del minuto primo.
Tali misure sono usate in topografia.
Gli angoli si possono misurare anche con un altro sistema, che permette di esprimere la misura mediante numeri decimali.
Infatti, considerata una circonferenza di centro O e raggio r, si fissa ad arbitrio su di essa un punto A di riferimento, che si considera come origine degli archi; inoltre si assume come verso positivo di rotazione, e quindi anche come verso positivo di percorrenza degli archi di circonferenza, quello antiorario.
Ciò premesso, si indica con
un qualsiasi angolo minore di 360°, di cui a indica il primo lato e b il secondo e si riporta tale angolo sul piano della circonferenza, in modo che il vertice coincida con il centro O e il lato a si sovrapponga alla semiretta OA.
Detta P l'intersezione del secondo lato b dell'angolo con la circonferenza, si vede che all'angolo
viene a corrispondere sulla circonferenza stessa l'arco orientato 
, di primo estremo A e di secondo estremo P; viceversa, all'arco orientato corrisponde l'angolo 
.
Se si immagina ora che l'angolo α diventi due, tre, ... volte più grande, o più piccolo, anche l'arco diventerà due,
tre, ... volte più grande, o più piccolo, perchè
gli archi e i corrispondenti angoli al centro sono grandezze
direttamente proporzionali.
Segue che, presi due angoli qualsiasi
e detti 
i corrispondenti archi, come già descritto, si può scrivere la proporzione:
passando alle misure, dopo aver indicato con lα, lβ le lunghezze dei due archi, rispetto ad una stessa unità di misura, e con α°, β° le ampiezze dei due angoli, si ottiene la proporzione numerica
(1) α° : β° = lα : lβ.
Come angolo β si prende ora un angolo piatto; in tal caso l'arco corrispondente è una
semicirconferenza di lunghezza πr, e quindi dalla (1) si deduce la proporzione
α° : 180° = lα : πr,
da cui
Se poi, in particolare, si assume come unità di misura delle lunghezze il raggio r della semicirconferenza considerata, le (2) diventano
nelle quali lα indica la lunghezza dell'arco rispetto al raggio della circonferenza alla quale appartiene l'arco stesso. Indicando con k la costante
le (3) si possono scrivere sotto la forma
che giustificano la convenzione di assumere i numeri lα come misure degli angoli α.
Quando, per esprimere la misura di un angolo α, ci si serve del corrispondente numero lα, si suol dire che si è misurato l'angolo in radianti; ciò significa che si è scelto come unità di misura quell'angolo, detto appunto radiante, al quale corrisponde un arco di circonferenza di lunghezza uguale al raggio.
Con i radianti si esprimono poi anche le misure degli archi.
Esempi
1)-Dire che un angolo ha per misura 1,5 radianti, significa che, tracciata una qualsiasi circonferenza con centro nel vertice dell'angolo, su di essa l'angolo stesso stacca un arco lungo una volta e mezza il raggio.
2)-Dire che un certo arco ha come misura due radianti, significa che è lungo quanto due raggi.
Dalla prima delle (4) si ricava facilmente la misura in gradi dell'angolo radiante; ponendo in esse lα = 1, si ha:
Se nelle (2) si pone successivamente
si ottiene:
α° = 360°, α° = 180°, α° = 90°,
e si può dire che
-l'angolo di 360° ha come misura in radianti 2π;
-l'angolo di 180° ha come misura in radianti π;
-l'angolo di 90° ha come misura in radianti π/2;
o anche che
-la circonferenza misura 2π radianti;-la semicirconferenza misura π radianti;
-un quarto di circonferenza, quadrante, misura π/2 radianti.
Ragionando analogamente, si può scrivere il seguente prospetto:
Misura degli angoli maggiori di un angolo giro
Come è noto, in geometria si suole estendere il concetto di angolo alla considerazione di angoli maggiori di un angolo giro; tale estensione si giustifica osservando che il concetto di angolo, oltre a quello elementare di "parte di piano", implicitamente vi è anche quello "cinematico" di rotazione. Per poter continuare a riferirsi ai corrispondenti archi, anche nel caso di angoli superiori ad un angolo giro, sarà necessario estendere il concetto di arco orientato, convenendo che, per andare lungo la circonferenza dal punto di origine A ad un altro punto qualsiasi P della stessa, si possa ripassare una o più volte per una stessa posizione, già raggiunta durante il movimento.
Mediante questa convenzione, è lecito quindi, ad esempio, parlare di un arco
intendendo, con quest'espressione, l'arco che si ottiene a partire dall'origine A, descrivendo un'intera circonferenza e, una volta ritornati in A, descrivendo un ulteriore quadrante. In altri termini, l'arco AB di ampiezza 450° conduce, come quello di 90°, allo stesso punto B.
In trigonometria è opportuno tenere presente quest'estensione di concetto di arco orientato, in quanto esso permette di considerare anche archi di ampiezza maggiore di 360°.
Naturalmente, la misura di questi archi, oltre che in gradi, si può esprimere anche in radianti: ad esempio il precedente arco di 450° ha come misura in radianti:
Il grado è suddiviso in 60 parti uguali, ciascuna detta minuto primo; ogni minuto primo, a sua volta, è suddiviso in 60 parti uguali, dette minuti secondi.
I successivi sottomultipli del secondo si ottengono dividendolo in 10, 100, ... parti uguali.
In tal modo, le misure degli angoli, dette ampiezze, sono espresse da numeri detti numeri complessi.
Esempio: se la misura in gradi, o ampiezza, di un angolo è di 27 gradi, 42 primi, 28 secondi e 2 decimi, in forma abbreviata si scrive:
27° 42' 28'', 2.
In modo analogo si misurano gli archi di circonferenza.
Dire che un certo arco di circonferenza ha ampiezza α, significa che α è l'ampiezza del corrispondente angolo al centro.
Questa convenzione è giustificata dal fatto che gli archi di una data circonferenza e i corrispondenti angoli al centro costituiscono due classi di grandezze direttamente proporzionali.
La misura di un angolo, o di un arco di circonferenza, può effettuarsi anche in gradi centesimali, assumendo come unità il grado centesimale, che è la centesima parte dell'angolo retto.
Il minuto primo centesimale è la centesima parte del grado; il minuto secondo è la centesima parte del minuto primo.
Tali misure sono usate in topografia.
Gli angoli si possono misurare anche con un altro sistema, che permette di esprimere la misura mediante numeri decimali.
Infatti, considerata una circonferenza di centro O e raggio r, si fissa ad arbitrio su di essa un punto A di riferimento, che si considera come origine degli archi; inoltre si assume come verso positivo di rotazione, e quindi anche come verso positivo di percorrenza degli archi di circonferenza, quello antiorario.
Ciò premesso, si indica con
un qualsiasi angolo minore di 360°, di cui a indica il primo lato e b il secondo e si riporta tale angolo sul piano della circonferenza, in modo che il vertice coincida con il centro O e il lato a si sovrapponga alla semiretta OA.
Detta P l'intersezione del secondo lato b dell'angolo con la circonferenza, si vede che all'angolo
viene a corrispondere sulla circonferenza stessa l'arco orientato , di primo estremo A e di secondo estremo P; viceversa, all'arco orientato corrisponde l'angolo .Se si immagina ora che l'angolo α diventi due, tre, ... volte più grande, o più piccolo, anche l'arco
diventerà due,
tre, ... volte più grande, o più piccolo, perchè
gli archi e i corrispondenti angoli al centro sono grandezze
direttamente proporzionali.Segue che, presi due angoli qualsiasi
e detti i corrispondenti archi, come già descritto, si può scrivere la proporzione:passando alle misure, dopo aver indicato con lα, lβ le lunghezze dei due archi
, rispetto ad una stessa unità di misura, e con α°, β° le ampiezze dei due angoli, si ottiene la proporzione numericaCome angolo β si prende ora un angolo piatto; in tal caso l'arco corrispondente è una
semicirconferenza di lunghezza πr, e quindi dalla (1) si deduce la proporzione
α° : 180° = lα : πr,
da cui
Se poi, in particolare, si assume come unità di misura delle lunghezze il raggio r della semicirconferenza considerata, le (2) diventano
nelle quali lα indica la lunghezza dell'arco rispetto al raggio della circonferenza alla quale appartiene l'arco stesso. Indicando con k la costante
le (3) si possono scrivere sotto la forma
che giustificano la convenzione di assumere i numeri lα come misure degli angoli α.
Quando, per esprimere la misura di un angolo α, ci si serve del corrispondente numero lα, si suol dire che si è misurato l'angolo in radianti; ciò significa che si è scelto come unità di misura quell'angolo, detto appunto radiante, al quale corrisponde un arco di circonferenza di lunghezza uguale al raggio.
Con i radianti si esprimono poi anche le misure degli archi.
Esempi
1)-Dire che un angolo ha per misura 1,5 radianti, significa che, tracciata una qualsiasi circonferenza con centro nel vertice dell'angolo, su di essa l'angolo stesso stacca un arco lungo una volta e mezza il raggio.
2)-Dire che un certo arco ha come misura due radianti, significa che è lungo quanto due raggi.
Dalla prima delle (4) si ricava facilmente la misura in gradi dell'angolo radiante; ponendo in esse lα = 1, si ha:
Se nelle (2) si pone successivamente
si ottiene:
α° = 360°, α° = 180°, α° = 90°,
e si può dire che
-l'angolo di 360° ha come misura in radianti 2π;
-l'angolo di 180° ha come misura in radianti π;
-l'angolo di 90° ha come misura in radianti π/2;
o anche che
-la circonferenza misura 2π radianti;
-un quarto di circonferenza, quadrante, misura π/2 radianti.
Ragionando analogamente, si può scrivere il seguente prospetto:
Misura degli angoli maggiori di un angolo giro
Come è noto, in geometria si suole estendere il concetto di angolo alla considerazione di angoli maggiori di un angolo giro; tale estensione si giustifica osservando che il concetto di angolo, oltre a quello elementare di "parte di piano", implicitamente vi è anche quello "cinematico" di rotazione. Per poter continuare a riferirsi ai corrispondenti archi, anche nel caso di angoli superiori ad un angolo giro, sarà necessario estendere il concetto di arco orientato, convenendo che, per andare lungo la circonferenza dal punto di origine A ad un altro punto qualsiasi P della stessa, si possa ripassare una o più volte per una stessa posizione, già raggiunta durante il movimento.
Mediante questa convenzione, è lecito quindi, ad esempio, parlare di un arco
intendendo, con quest'espressione, l'arco che si ottiene a partire dall'origine A, descrivendo un'intera circonferenza e, una volta ritornati in A, descrivendo un ulteriore quadrante. In altri termini, l'arco AB di ampiezza 450° conduce, come quello di 90°, allo stesso punto B.
In trigonometria è opportuno tenere presente quest'estensione di concetto di arco orientato, in quanto esso permette di considerare anche archi di ampiezza maggiore di 360°.
Naturalmente, la misura di questi archi, oltre che in gradi, si può esprimere anche in radianti: ad esempio il precedente arco di 450° ha come misura in radianti: