MIKY & GENNY

QUADRILATERO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA ---> INDICE

Si consideri il quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza e si indichino con a, b, c, d le misure dei quattro lati, con d1, d2 quelle delle due diagonali AC, BD e con α, β, γ δ le ampiezze degli angoli


Si ricordi che, condizione necessaria e sufficiente affinchè un quadrilatero sia inscrittibile in una circonferenza, è che gli angoli opposti siano supplementari, cioè:

α + γ = 180°,  β + δ = 180°.

Si applica ora il teorema di Carnot ai due triangoli ABC, ACD, per calcolare in due modi diversi la misura della diagonale AC; si ha:


Poichè

cos
δ = cos(180° - β) = -cosβ,

segue che

(1)  
d12 = a2 + b2 - 2abcosβ,  d12c2 + d2 + 2cdcosβ.

Dalla seconda di queste due relazioni si calcola 
cosβ e lo si sostituisce nella prima, si ha:


o anche, riducendo a forma intera,

cdd12cd(a2 + b2) - abd12 + ab(c2 + d2),

e quindi mettendo in evidenza d12,

d12(ab + cd) = cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2).

Sviluppando le parentesi del secondo membro, si ha:

d1
2(ab + cd) = a2cd + b2cd + c2ab + d2ab,

o anche, mettendo in evidenza opportunamente,

d1
2(ab + cd) = ad(ac + bd) + bc(bd + ac) = (ac + bd)(ad + bc),

infine risulta


Analogamente, per l'altra diagonale, si ha:


Moltiplicando membro a membro le (2) e (2'), si ha:


o anche, semplificando,

d1d2 = ac + bd.

Tale formula esprime il teorema di Tolomeo
:
-
in un quadrilatero inscritto in una circonferenza, il rettangolo avente per lati le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli aventi per dimensioni i lati opposti del quadrilatero.

Dividendo membro a membro le (2) e (2'), si ha:


o anche,


Tale formula esprime il teorema di Legendre
:
-
in un quadrilatero inscritto in una circonferenza, il rapporto delle diagonali è uguale al rapporto delle somme dei rettangoli aventi per dimensioni i lati che concorrono nei loro estremi.

Si calcola ora l'area del quadrilatero.
Evidentemente essa è data dalla somma delle aree dei due triangoli ABC, ACD e quindi si può scrivere:


o anche,


Si trasformi
ora questa formula, per esprimere l'area in funzione dei lati.
Si parte dalle (1), uguagliando i secondi membri, si ha:

 
a2 + b2 - 2abcosβc2 + d2 + 2cdcosβ,

da cui, risolvendo rispetto a
cosβ, si ricava


Sostituendo questa espressione nelle formule di bisezione, si ha:


Si considera ora il perimetro del quadrilatero:

2p = a + b + c + d;

si ha

2p - 2a = a + b + c + d - 2a,

cioè

2(p - a) = b + c + d - 2a

e analogamente

2(p - b) = 
a + c + d - b,  2(p - c) = a + b + d - c,  2(p - d) = a + b + c - d.

Sostituendo nelle formule precedenti, risulta:



e quindi


Introducendo il valore di
senβ nella (3), segue


ed infine, si ha la formula cercata


dovuta a Brahmagupta, che ricorda quella di Erone.

Nota storica

Brahmagupta, astronomo e matematico indiano, nacque verso il 598 d. C. La sua opera, detta "Sistema di Brahma riesaminato", rappresenta l'apice della matematica indiana, per quanto appaia chiaramente derivata dalla geometria greca, alla quale rimase nettamente inferiore. Stabilì alcune proprietà sul quadrilatero inscrittibile e la regola esplicita per la risoluzione delle equazioni di secondo grado.