MIKY & GENNY

RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI ---> INDICE

Per i triangoli qualsiasi si espongono i singoli casi di risoluzione seguendo lo stesso ordine con il quale sono stati enunciati in precedenza:

1° caso

-risoluzione di un triangolo qualsiasi, conosce
ndo i tre lati.

Indicando con a, b, c, le misure dei tre lati, per risolvere il triangolo ci si serve delle formule di Briggs. Teoricamente si possono usare indifferentemente quelle relative al seno, oppure al coseno o alla tangente; ma una semplice considerazione induce ad usare quelle della tangente.
Infatti, se si considerano le formule relative al seno, cioè:


occorre calcolare i logaritmi delle sei quantità

a,  b,  c,  p - a,  p - b,  p - c;

analogamente, se si considerano le formule del coseno, occorre calcolare i logaritmi delle sette quantità

a,  b,  c,  p,  p - a,  p - b,  p - c.

Se invece si considerano le formule relative alla tangente:



si calcolano i logaritmi solo delle quattro quantità

p,  p - a,  p - b,  p - c.

Nota bene
Come si è visto in precedenza, per ottenere risultati uniformemente approssimati, cioè che l'errore di approssimazione sia sufficientemente distribuito su tutti e tre gli angoli calcolati, è opportuno calcolare direttamente mediante le (1) i tre angoli
α, β, γ. Non si può pensare di trovare due angoli e poi ricavare il terzo dalla relazione α + β + γ = 180°; quest'ultima relazione si applicherà in seguito per verificare l'esattezza dei risultati trovati.

Discussione
E' noto dalla geometria elementare che, dati tre segmenti a, b, c, condizione necessaria e sufficiente affinchè esista uno ed un solo triangolo è che esso li ammetta come lati e che sussistano le disuguaglianze:

b - c < a < b + c,

le quali, a loro volta, possono sostituirsi con le seguenti:

a < b + c,  b < a + c,  c < a + b.

Si vede facilmente che tali condizioni sono proprio quelle che si ottengono imponendo la condizione di realtà per le espressioni (1).
Infatti, affinchè le (1) diano valori reali, è necessario e sufficiente che i radicandi risultino positivi, ciòè occorre e basta che le quattro quantità

p,  p - a,  p - b,  p - c

siano tutte positive, oppure due positive e due negative o tutte e quattro negative.
Quest'ultima ipotesi è da scartare, perchè almeno p dev'essere positivo; anche la seconda ipotesi è da escludere, perchè se ad esempio fosse

p - a < 0,  p - b < 0,

sostituendo a p la sua espressione, si ha:

b + c - a < 0,  a + c - b < 0,

da cui, sommando membro a membro, risulta

2c < 0,

cioè

c < 0,

e ciò e assurdo.

Resta da esaminare l'ipotesi

p - a > 0,  p - b > 0,  p - c > 0,

cioè

b + c - a > 0,  a + c - b > 0,  a + b - c > 0,

che conduce alle disuguaglianze

a < b + c,  b < a + c,  c < a + b,

che sono le condizioni necessarie e sufficienti affinchè esista un triangolo di lati a, b, c .

Esempio - Risolvere il triangolo avente i lati a = 22,54, b = 28,25, c = 32,17.

Si trova:

2p = 82,96,  p = 41,48,

quindi

p - a = 18,94,  p - b = 13,23,  p - c = 9,31.

Passando ai logaritmi, si ha:

log(p - a) = log18,94 = 1,27738,  log(p - b) = log13,23 = 1,12156,  log(p - c) = log9,31 =

= 0,96895,

e le (1) diventano



quindi



 Segue infine



ossia

 α = 43' 12' 8'',  β = 59° 5' 36'',  γ = 77° 42' 16''.

Verifica:

 α + β + γ = 43° 12' 8'' + 59° 5' 36'' + 77° 42' 16'' = 180°.

2° caso
-risoluzione di un triangolo qualsiasi, conosce
ndo un lato e gli angoli ad esso adiacenti.

Indicati con a,
β, γ gli elementi noti del triangolo, l'angolo α si trova subito dalla relazione:



α = 180° - (β + γ).

I lati b e c si trovano applicando il teorema dei seni, espresso da:



e si ha



Esempio - Risolvere il triangolo avente il lato a = 40 e gli angoli β = 60° 42' 10'', γ = 78° 20' 15''.

Si ha subito:

α = 180° - (60° 42' 10'' + 78° 20' 15'') = 40° 57' 35'',

mentre dalle (2) segue



quindi

b = 53,22,  c = 59,76.

Nota bene
1)-Appena calcolato
α, si conosce un lato e l'angolo opposto, cioè una coppia di elementi corrispondenti. Quando ci si trova in queste condizioni, per completare la risoluzione del triangolo, si applica il teorema dei seni.
2)-E' interessante osservare che in tal caso
la risoluzione del triangolo si può effettuare applicando le regole del triangolo rettangolo.



Infatti, se si conduce dal vertice C l'altezza CH relativa al lato AB, nel caso che questa cada all'interno di AB , considerando il triangolo rettangolo BCH, si ha:



Inoltre

α = 180° - (β + γ),

considerando quindi il triangolo CHA, segue:



e si ha



da cui



Inoltre, sempre dal triangolo rettangolo CHA, si deduce:



e quindi


   
Analogamente si procede se il piede H dell'altezza cade esternamente al lato AB.

3° caso
-risoluzione di un triangolo qualsiasi, conosce
ndo due lati e l'angolo compreso.

Indicati con a,
b, γ, gli elementi noti del triangolo, si può ottenere il lato c applicando il teorema di Carnot:



Questa formula però non è calcolabile con i logaritmi, pertanto si deve trasformare usando il procedimento visto in precedenza. Ciò comporterebbe calcoli eccessivamente laboriosi, quindi si procede diversamente, iniziando con il calcolo dei due angoli incogniti α, β.



Di tali angoli si conosce la somma

α +
β = 180° - γ.

Mediante la formula di Nepero:


osservando che se nella (3) è a > b, risulta α > β e se fosse a < b, basterebbe cambiare segno ai due membri, si ricaverebbe



e quindi β - α, essendo noto il valore del secondo membro, con l'ausilio delle tavole logaritmico-trigonometriche si trova



e quindi



da cui

α - β.

Indicando tale valore con φ, si ha il sistema lineare



nelle incognite α, β, dal quale, sommando e sottraendo membro a membro, si ricavano i valori



A tal punto, per calcolare il terzo lato c, basta applicare il teorema dei seni; infatti, si ha:



da cui



Esempi

1)-Risolvere il triangolo avente i lati a = 25,48, b = 20, 32, e l'angolo compreso 
γ = 58° 47' 20''.

Si ha subito:

a - b = 5,16;  a + b = 45,80;  α + β = 121° 12' 40'',

e quindi



Passando ai logaritmi, segue:



da cui risulta:



e quindi

 α - β = 22° 37' 12''.

Si ha così il sistema




da cui risulta

α = 71° 54' 36'',  β = 49° 17' 44''.

Applicando ora la formula (4), risulta:



Passando ai logaritmi, segue:



Pertanto

c = 22,93.

2)-Risolvere il triangolo avente i lati b = 370,7, c = 430,5 e l'angolo compreso α = 36° 40' 26''.

Si ha subito:

b - c = -59,8;  b + c = 801,2;  β + γ = 143° 19' 34'',

e quindi



oppure



Passando ai logaritmi, segue:



da cui risulta



quindi

γ - β = 25° 22' 54''.

Si ha così il sistema:


da cui risulta

β = 58° 58' 20'',   γ = 84° 21' 14''.

Per determinare a, basta applicare il teorema dei seni; si ha:



Passando ai logaritmi, segue:


pertanto

a = 258,4.

Nota bene
Nel caso in cui sia
b = a, dalla (3) segue β = α; inoltre, essendo α + β = 180° - γ, si ha  = 180° - γ, e cioè:



come è evidente geometricamente, in quanto il triangolo è isoscele.



Essendo in tal caso φ = 0, dalla (4) si ha:



come si può
facilmente verificare.
Infatti, abbassando dal vertice C la perpendicolare CH sulla base AB, si ottiene:



cioè



4° caso
-risoluzione di un triangolo qualsiasi, conosce
ndo due lati e l'angolo opposto ad uno di essi.




Indicati con a, b, α gli elementi noti del triangolo, poichè si conosce la coppia degli elementi corrispondenti a ed α, applicando il teorema dei seni, risulta:



e quindi, si ha


Da questa formula si trova β, e poi γ dalla relazione

(6) γ = 180° - (α + β).

Applicando ancora il teorema dei seni, si determina


Discussione
Il caso in questione sembra più semplice dei primi tre trattati, però è necessaria un'intensa discussione.
Infatti, affinchè la (5) si possa utilizzare per determinare l'angolo
β, è necessario che il secondo membro risulti non superiore all'unità, cioè:

bsenα ≤ a

e, successivamente, che sia

α + β < 180°,

affinchè anche la (6) abbia un significato.

Possono presentarsi diversi casi:



poichè il seno di un angolo non può superare l'unità, si può dire che se
bsenα > a, non esiste un triangolo che soddisfa le condizioni poste.



si ha β = 90° e di conseguenza, affinchè sia soddisfatta l'ulteriore condizione
α + β < 180°, occorre che l'angolo α sia acuto. Si conclude che, quando fra i dati sussiste la relazione bsenα = a, esiste solo un triangolo che soddisfa le condizioni poste, purchè risulti α acuto ed in tal caso il triangolo è rettangolo con β = 90°.



esistono due angoli β1, β2, tra loro supplementari, che soddisfano la condizione bsenα < a; in corrispondenza si trovano due angoli γ1, γ2, dati dalle relazioni

γ1 = 180° - (α + β1),   γ2 = 180° - (α + β2),

e quindi esistono massimo due triangoli corrispondenti alle terne di elementi

(α, β1, γ1),  (α, β2, γ2)

che soddisfano le condizioni del problema.

Per completare la discussione, si vede ora nel caso c), quando esistono effettivamente dei triangoli con i dati di partenza (a, b,
α).
Allo scopo, si indicano con
β1 l'angolo acuto e con β2 l'angolo ottuso definiti dalla relazione



Se risulta:

α + 
β1 ≥  180°, a maggior ragione è anche α + β2 ≥  180° e quindi non esiste nessun triangolo soddisfacente i dati del problema;

α + β1 <  180°, ma α + β2 > 180°, esiste un solo triangolo corrispondente alla terna (α, β1, γ1) soddisfacente il problema (*);

α + β2 <  180° e quindi maggior ragione è anche α + β1 <  180° e quindi esistono due triangoli corrispondenti alle terne di elementi

(α, β1, γ1),  (α, β2, γ2),

che soddisfano il problema.

Nota bene
(*) Ciò perchè α > β1. Infatti, da α + β2 > 180°, segue α + 180° - β1 > 180°, cioè α - β1> 0.

E' interessante vedere come i precedenti risultati si possono ottenere geometricamente.
Allo scopo, nell'ipotesi che i dati permettano di costruire effettivamente in triangolo, si indicano con a, b,
α i soliti dati e si considera un angolo  di vertice A, e sul lato s, si stacca un segmento



Il triangolo da costruire risulta determinato se si riesce ad individuare sul lato r un punto B, tale che la distanza CB sia uguale ad a. Come è noto, il luogo geometrico dei punti del piano aventi da un punto fisso una distanza assegnata è una circonferenza, quindi si può affermare che il punto B, oltre che sul lato r, si trova sulla circonferenza di centro C e raggio a. Segue che esistono due triangoli con gli elementi, a, b, α assegnati, se la semiretta r e la circonferenza di centro C e raggio a hanno punti in comune. In tali ipotesi, dette B1 e B2 le intersezionI, i due triangoli ACB1, ACB2 soddisfano le condizioni date e si vede che i due angoli



sono supplementari.
Affinchè il lato r incontri la circonferenza suddetta, occorre però che la distanza CH di r dal centro C sia minore del raggio a, cioè che sia inoltre dal triangolo rettangolo CHA risulta  e quindi per l'esistenza dei triangoli, intanto dev'essere

 bsenα ≤ a.

Si esamina ora il caso in cui bsenα = a. In tale ipotesi la distanza CH è uguale al raggio, e quindi r risulta tangente alla circonferenza. Si ha allora un solo punto B di contatto e perciò un solo triangolo, rettangolo in B.



Affinchè tale triangolo esista effettivamente, occorre però che la semiretta r tocchi la circonferenza in un punto, pertanto è necessario che l'angolo α sia acuto. Infatti, se fosse ottuso, il punto B, proiezione di C su r, cadrebbe sul prolungamento di r.
Si considera ora il caso generale 
bsenα <a. In tale ipotesi la retta r incontra sempre la circonferenza nei punti B1 e B2 ai quali corrispondono due triangoli aventi come elementi a, b, α quelli assegnati, purchè B1 e B2 appartengano al lato r dell'angolo α.

Se l'angolo è acuto, uno dei due punti appartiene sempre al lato r e quindi esiste almeno un triangolo soddisfacente le condizioni date.



Affinchè anche all'altro punto
B2 corrisponda un triangolo, che risolva il problema, occorre che risulti

 

Ma risulta



da cui



mentre



e quindi esistono due triangoli soddisfacenti le condizioni assegnate se

bsenαctgβ < bcosα,

cioè

ctgβ < ctgα

e quindi

β > α.

Allora, dalla figura suddetta risulta b > a e perciò si può dire che se sono soddisfatte le due condizioni

b
senα < a,  a < b,

si hanno le due soluzioni, mentre, se è soddisfatta solo la condizione bsenα < a, se ne ha una sola.

Nel caso in cui b = a, il triangolo ABC risulta isoscele sulla base



Se invece l'angolo α è retto, come risulta dalla figura seguente, esiste al massimo un solo triangolo, purchè sia b < a.



Se infine
l'angolo α è ottuso, come risulta dalla figura seguente, esiste al massimo un solo triangolo che soddisfa le condizioni date, purchè risulti



e quindi

 a > b.



Concludendo:



Esempi

1)-Risolvere il triangolo, conoscendo a = 4, b = 8,
α = 30°.

Si ha:



e quindi

β = 90°.

Risulta poi

γ = 60°

ed infine

 


come è evidente geometricamente dalla figura seguente.



Infatti, si tratta di un triangolo rettangolo avente l'ipotenusa uguale ad 8 ed un cateto metà dell'ipotenusa; allora, come è noto, l'angolo
minore è di 30° e l'altro di 60°, mentre il cateto, essendo uguale all'altezza del triangolo equilatero di lato 8, è:



2)-Risolvere il triangolo, conoscendo a = 8, b = 4, α = 120°.

Si ha:



ed è

a > b.

Esiste quindi un solo triangolo.
Infatti, risulta



da cui


e perciò


β1 = 24° 25' 35'',  β2 = 155° 34' 25'',

Segue

α + β1 = 144° 25' 35'',  α + β2 = 275° 34' 25'',

da cui risulta evidente che esiste un solo triangolo individuato dal valore di β1.

Di conseguenza, si ha:

γ1 = 180° - 44° 25' 35'' = 35° 34' 25'',



logc = log16 + logsenγ1 -  logsenα = 1,05652,

c = 5,37.

3)-Risolvere il triangolo, conoscendo a = 4, b = 6, α = 30°.

Poichè in questo caso sono soddisfatte le due condizioni

bsenα < a < b,

esistono due triangoli soddisfacenti il problema.

Infatti, si ha:



e quindi



infine dalla formula



applicando i logaritmi



si ha:

c1 =  7,85,  c2 = 2,55.