MIKY & GENNY
RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI ---> INDICE
Mediante
le formule stabilite in precedenza, si possono determinare facilmente
gli elementi di un triangolo qualsiasi, conoscendone alcuni. Si tratta
la questione prima i triangoli rettangoli, esponendo i singoli
casi nello stesso ordine con cui sono stati presentati in precedenza:
1° caso
-risoluzione di un triangolo rettangolo, conoscendo i due cateti b, c.
Si ricorda che, per la regola fondamentale II, in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'altro per la tangente dell'angolo opposto, pertanto si può scrivere:
(1) b = ctgβ,
da cui
Mediante le tavole logaritmico-trigonometriche, si ottiene il valore di tgβ e quindi dell'angolo β; si trova poi γ = 90° - β. Così procedendo, però, non si evita che l'approssimazione, in più o in meno rispetto all'esatto valore di β con cui si è calcolato β, si riversi in senso contrario, in meno o in più, sul valore di γ. Per ottenere i valori di β e di γ con la stessa approssimazione, facendo in modo che l'errore complessivo si distribuisca ugualmente su di essi, conviene calcolare γ con la formula
e poi verificare che risulti
γ + β = 90°.
Resta ora da calcolare l'ipotenusa, applicando il teorema di Pitagora, però l'espressione che si ottiene:
non si può calcolare con i logaritrmi.
Ricordando allora che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, si può scrivere:
b = asenβ,
da cui
e usare il calcolo logaritmico.
Nota bene
Per quanto già visto, l'espressione
poteva essere trasformata in un'altra atta al calcolo logaritmico, e ottenere la (2).
Infatti:
e, introducendo un angolo ausiliario φ definito dalla relazione
si otteneva
che è appunto la (2).
Esempio - Risolvere il triangolo rettangolo i cui cateti sono b = 5,31, c = 6,74.
Applicando le formule (1) e (1'), si ha:
Passando ai logaritmi, si trova:
logtgγ = log674 - log531 = 2,82866 - 2,72509 = 0,10357,
e quindi
β = 38° 13' 55'', γ = 51° 46' 5''.
Risulta poi
e quindi
a = 8,58.
Verifica:
logc = log25,48 + logtg43° 17' 22'' = 1,40620 + 1,97405 = 1,38025,
b2 = 28,1961; c2 = 45,4276; b2+ c2 = 73,6237,
2° caso
-risoluzione di un triangolo rettangolo, conoscendo l'ipotenusa a ed un cateto b.
Ricordando che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente e che un cateto è uguale all'altro per la tangente dell'angolo opposto, si può scrivere:
b = acosγ, c = btgγ.
e, passando ai logaritmi, si ha:
e quindi
quindi
Si ha subito:
Esempio - Risolvere il triangolo rettangolo, conoscendo un cateto b = 21,35 e l'angolo β = 38° 47' 30''.
Si ha:
γ = 51° 12' 30''
e
quindi
c = 25,56; a = 34,08.
Verifica
b2 = 455,8225, c2 = 653,3136, b2 + c2 =1109,1361;
quindi
a = 34,08.
1° caso
-risoluzione di un triangolo rettangolo, conoscendo i due cateti b, c.
Si ricorda che, per la regola fondamentale II, in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'altro per la tangente dell'angolo opposto, pertanto si può scrivere:
da cui
Mediante le tavole logaritmico-trigonometriche, si ottiene il valore di tgβ e quindi dell'angolo β; si trova poi γ = 90° - β. Così procedendo, però, non si evita che l'approssimazione, in più o in meno rispetto all'esatto valore di β con cui si è calcolato β, si riversi in senso contrario, in meno o in più, sul valore di γ. Per ottenere i valori di β e di γ con la stessa approssimazione, facendo in modo che l'errore complessivo si distribuisca ugualmente su di essi, conviene calcolare γ con la formula
e poi verificare che risulti
γ + β = 90°.
Resta ora da calcolare l'ipotenusa, applicando il teorema di Pitagora, però l'espressione che si ottiene:
non si può calcolare con i logaritrmi.
Ricordando allora che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, si può scrivere:
b = asenβ,
da cui
Nota bene
Per quanto già visto, l'espressione
poteva essere trasformata in un'altra atta al calcolo logaritmico, e ottenere la (2).
Infatti:
e, introducendo un angolo ausiliario φ definito dalla relazione
si otteneva
che è appunto la (2).
Esempio - Risolvere il triangolo rettangolo i cui cateti sono b = 5,31, c = 6,74.
Applicando le formule (1) e (1'), si ha:
Passando ai logaritmi, si trova:
e quindi
Risulta poi
e quindi
a = 8,58.
Verifica:
logc = log25,48 + logtg43° 17' 22'' = 1,40620 + 1,97405 = 1,38025,
2° caso
-risoluzione di un triangolo rettangolo, conoscendo l'ipotenusa a ed un cateto b.
Ricordando che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente e che un cateto è uguale all'altro per la tangente dell'angolo opposto, si può scrivere:
Segue:
quindi dalla prima delle (3) si ricava γ, dalla seconda c e infine β = 90° - γ, come visto in precedenza.
Esempio - risolvere il triangolo rettangolo, conoscendo l'ipotenusa a = 37,15 e il cateto b = 25,48.
Dalla (3) segue
Esempio - risolvere il triangolo rettangolo, conoscendo l'ipotenusa a = 37,15 e il cateto b = 25,48.
Dalla (3) segue
e, passando ai logaritmi, si ha:
e quindi
β = 46° 42' 38'', γ = 90° - β = 43° 17' 22''.
c = btgγ = 25,48·tg43° 17' 22'',
Risulta poi
da cui
c = 24.
quindi
c = 24.
Nota bene
1)-Il cateto c si poteva anche calcolare usando la formula:
1)-Il cateto c si poteva anche calcolare usando la formula:
il procedimento richiedeva però calcoli più lunghi del necessario.
2)-il triangolo si poteva risolvere applicando la formula di bisezione:
dopo aver trovato c con la formula
che nel calcolo richiede gli stessi logaritmi che necessitano per calcolare γ.
Questo procedimento, alquanto prolisso, ha il vantaggio di fornire risultati più approssimati, in quanto l'angolo si determina mediante la tangente.
3° caso
-risoluzione di un triangolo rettangolo, conoscendo l'ipotenusa a e l'angolo β.
Si ha subito:
2)-il triangolo si poteva risolvere applicando la formula di bisezione:
dopo aver trovato c con la formula
che nel calcolo richiede gli stessi logaritmi che necessitano per calcolare γ.
Questo procedimento, alquanto prolisso, ha il vantaggio di fornire risultati più approssimati, in quanto l'angolo si determina mediante la tangente.
3° caso
-risoluzione di un triangolo rettangolo, conoscendo l'ipotenusa a e l'angolo β.
Si ha subito:
γ = 90° - β, b = senβ, c = acosβ.
e
Esempio - risolvere il triangolo rettangolo, conoscendo l'ipotenusa a = 25,47 e l'angolo β = 35° 47' 20''.
Si ha:
Si ha:
γ = 54° 12' 40''
e
da cui
b = 14, 89, c = 20,66.
Verifica
b2 = 220,7121, c2 = 426,8356, b2 + c2 =647,5477;
quindi
a = 25,45.
4° caso
-risoluzione di un triangolo rettangolo, conoscendo il cateto b e l'angolo β.
-risoluzione di un triangolo rettangolo, conoscendo il cateto b e l'angolo β.
γ = 90° - β, b = ctgβ, b = asenβ,
da cui
da cui
Esempio - Risolvere il triangolo rettangolo, conoscendo un cateto b = 21,35 e l'angolo β = 38° 47' 30''.
Si ha:
γ = 51° 12' 30''
e
quindi
c = 25,56; a = 34,08.
Verifica
quindi
a = 34,08.