MIKY & GENNY
SISTEMI DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ---> INDICE
Per
la risoluzione dei sistemi di equazioni goniometriche non è
possibile enunciare regole generali, però alcuni esempi
particolari mostrano almeno come procedere.
1)-Risolvere il sistema:
Dalla prima equazione si ricava
x + y = 90° + 2k180°,
1)-Risolvere il sistema:
Dalla prima equazione si ricava
quindi
y = 90° - x + 2k180°;
sostituendo tale valore nella seconda equazione risulta:
quindi
Esprimendo il coseno in funzione del seno, si ha:
da cui, isolando il radicale ed elevando al quadrato,
o anche
cioè
ossia
Si hanno così i valori
x = 45° + 2h180°, x = 135° + 2h180°;
sostituendo tali valori nell'espressione y = 90° - x + 2k180°, precedentemente trovata, risulta:
y = 45° - 2k180° + 2h 180°, y = -45° - 2h180° + 2k180°.
Seguono le soluzioni:
2)-Risolvere il sistema:
Elevando al quadrato la prima equazione, si trova:
e tenendo conto della seconda equazione, risulta
e semplificando
Segue allora il nuovo sistema.
Per risolverlo, si pone:
da cui segue che u e v sono le radici dell'equazione risolvente
Risolvendo, si ottiene:
e quindi, dopo facili calcoli
Si deduce quindi
da cui
con h e k interi qualunque.
sostituendo tale valore nella seconda equazione risulta:
cioè
quindi
Esprimendo il coseno in funzione del seno, si ha:
da cui, isolando il radicale ed elevando al quadrato,
o anche
cioè
ossia
Si hanno così i valori
x = 45° + 2h180°, x = 135° + 2h180°;
sostituendo tali valori nell'espressione y = 90° - x + 2k180°, precedentemente trovata, risulta:
y = 45° - 2k180° + 2h 180°, y = -45° - 2h180° + 2k180°.
Seguono le soluzioni:
2)-Risolvere il sistema:
Elevando al quadrato la prima equazione, si trova:
e tenendo conto della seconda equazione, risulta
e semplificando
Segue allora il nuovo sistema.
Per risolverlo, si pone:
cosx = u, cosy = v,
e si ottiene il sistema algebrico simmetrico
e si ottiene il sistema algebrico simmetrico
da cui segue che u e v sono le radici dell'equazione risolvente
e quindi, dopo facili calcoli
Si deduce quindi
da cui
con h e k interi qualunque.