Per trasformare le somme algebriche in prodotti, s'introducono angoli particolari chiamati angoli ausiliari.
Naturalmente non si possono trattare tutti i casi possibili, pertanto ci si limita a quelli più caratteristici.
1)-Trasformazione del binomio a + b.
Siano
a e b due numeri aventi lo stesso segno, e in tal caso si suppongono
positivi; se fossero negativi, mettendo in evidenza il segno meno, si
potrebbe considerare il loro valore assoluto.
Se nel binomio da trasformare si mette in evidenza a, si può scrivere:
Introducendo l'angolo ausiliario φ definito dalla relazione (1)
si ha:
quindi, il binomio a + b risulta trasformato nel monomio
Nota bene
La posizione (1) è lecita perchè la tangente assume tutti i valori reali da +∞ a -∞ e l'angolo φ resta definito a meno di multipli di π.
Se
invece a e b hanno segno contrario, si può sempre supporre che
sia positivo quello maggiore in valore assoluto. In tale ipotesi,
mettendo in evidenza i segni, si può scrivere l'espressione
sotto la forma a - b, ottenendo:
Introducendo l'angolo ausiliario φ definito dalla relazione (2)
si ha:
quindi, il binomio a - b risulta trasformato nel monomio acos2φ.
Nota bene
La posizione (2) è lecita perchè per ipotesi 0 < (b/a) < 1.
2)-Trasformazione in prodotto la somma algebrica a + b + c + d + ...
Si comincia a trasformare in monomio la somma a + b con il procedimento visto e, ponendo a + b = m, si ha:
a + b + c + d + ... = m + c + d + ...
Successivamente si trasforma in monomio la somma m + c e, ponendo m + c = n, si ha:
a + b + c + d + ... = n + d + ...,
e così via; in tal modo si trasforma in un monomio la somma considerata.
3)-Trasformazione in un monomio delle espressioni
con a e b positivi.
Dopo facili calcoli, si ha:
introducendo l'angolo ausiliario φ definito dalla relazione
si ha:
Analogamente risulta:
e quindi, introducendo l'angolo ausiliario φ definito dalla relazione
si ha:
Nota bene
Per poter considerare l'espressione
si deve supporre a > b e quindi 0 < (b/a) < 1.
4)-Trasformare in monomio le espressioni
con a e b positivi.
Dopo facili calcoli, si ha:
Introducendo l'angolo ausiliario φ definito dalla relazione
rispettivamente, si ha:
o anche, tenendo conto che tg45° = 1,
Procedendo in altro modo, cioè introducendo un angolo Ψ definito dalla relazione
si ha:
Quando
si applicano questi procedimenti, si dice che si trasforma una data
espressione, in un'altra idonea al calcolo logaritmico.