MIKY & GENNY

TRASFORMAZIONE DI SOMME ALGEBRICHE IN PRODOTTI ---> INDICE

Per trasformare le somme algebriche in prodotti, s'introducono angoli particolari chiamati angoli ausiliari.

Naturalmente non si possono trattare tutti i casi possibili, pertanto ci si limita a quelli più caratteristici.

1)-Trasformazione del binomio a + b.
Siano a e b due numeri aventi lo stesso segno, e in tal caso si suppongono positivi; se fossero negativi, mettendo in evidenza il segno meno, si potrebbe considerare il loro valore assoluto.
Se nel binomio da trasformare si mette in evidenza a, si può scrivere:


Introducendo l'angolo ausiliario
φ definito dalla relazione (1)


si ha:


quindi, il binomio a + b risulta trasformato nel monomio



Nota bene

La posizione (1) è lecita perchè la tangente assume tutti i valori reali da +
- e l'angolo φ resta definito a meno di multipli di π.

Se invece a e b hanno segno contrario, si può sempre supporre che sia positivo quello maggiore in valore assoluto. In tale ipotesi, mettendo in evidenza i segni, si può scrivere l'espressione sotto la forma a - b, ottenendo:


Introducendo l'angolo ausiliario
φ definito dalla relazione (2)


si ha:


quindi, il binomio a - b risulta trasformato nel monomio 
acos2φ.

Nota bene

La posizione (2) è lecita perchè
per ipotesi 0 < (b/a) < 1.

2)-Trasformazione in prodotto la somma algebrica
a + b + c + d + ...
Si comincia a trasformare in monomio la somma a + b con il procedimento visto e, ponendo a + b = m, si ha:

a + b + c + d + ... = m +
c + d + ...

Successivamente si
trasforma in monomio la somma m + c e, ponendo m + c = n, si ha:

a + b + c + d + ... = n
+ d + ...,

e così via; in tal modo si trasforma in un monomio la somma considerata.

3)-Trasformazione in un monomio delle espressioni


con a e b positivi.

Dopo facili calcoli, si ha:


introducendo l'angolo ausiliario
φ definito dalla relazione


si ha:


Analogamente risulta:


e quindi,
introducendo l'angolo ausiliario φ definito dalla relazione


si ha:


Nota bene

Per poter considerare l'espressione


si deve supporre a > b e quindi 0 < (b/a) < 1.


4)-Trasformare in monomio le espressioni


con a e b positivi.

Dopo facili calcoli, si ha:


Introducendo l'angolo ausiliario
φ definito dalla relazione


rispettivamente, si ha:


o anche, tenendo conto che tg45° = 1,


Procedendo in altro modo, cioè introducendo un angolo Ψ definito dalla relazione


si ha:


Quando si applicano questi procedimenti, si dice che si trasforma una data espressione, in un'altra idonea al calcolo logaritmico.