MIKY & GENNY

USO DELLE TAVOLE DEI VALORI NATURALI E LOGARITMICO-TRIGOMETRICHE ---> INDICE

Esistono delle tavole contenenti i valori numerici o naturali delle quattro funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente e cotangente per gli angoli da 0° a 90°, che variano di 10' in 10'. Poichè, come è noto, il seno e la tangente di un angolo sono rispettivamente uguali al coseno e alla cotangente dell'angolo complementare, nelle tavole sono riportati i valori delle funzioni goniometriche da 0° a 45°. Sono già note le tavole di valori dell'angolo, che da 0° varia di 30' in 30' fino a 45°. Allegate alle tavole vi sono le istruzioni per l'uso, pertanto ci si limita ad accennare l'argomento.

Angolo minore di 45°
In tal caso, in ciascuna pagina della tavola, il numero dei gradi si legge in alto e il numero dei primi, di 10 in 10, si legge dall'alto verso il basso nella prima colonna a sinistra; la tavola fornisce i valori delle funzioni goniometriche indicate nell'intestazione di ciascuna colonna.

Angolo maggiore di 45°
In tal caso, in ciascuna pagina della tavola, il numero dei gradi si legge in basso e il numero dei primi, di 10 in 10, si legge dal basso verso l'alto nell'ultima colonna a destra; la tavola fornisce i valori per l'angolo considerato i valori delle funzioni goniometriche indicate in fondo a ciascuna colonna.

Con queste tavole si possono risolvere approssimativamente due problemi, l'uno inverso dell'altro:

1)-dato un angolo, determinare il valore numerico di una sua funzione goniometrica.

2)-dato
il valore numerico di una  funzione, 
determinare il valore corrispondente dell'angolo.

Per risolvere il primo problema, si distinguono due casi:

a)-l'angolo dato si trova sulla tavola
.
In tal caso, il valore della funzione si trova subito.

Ad esempio, si ha:

sen25°10' = 0,4253,  cos14°20' = 0,9689,  tg62°50' = 1,9486, ctg8°20' = 6,8269.

b)-l'angolo dato non si trova sulla tavola
.
In tal caso si ricorre ad una interpolazione, limitata solo ai primi, tenendo presente che il seno e la tangente aumentano con l'aumentare dell'angolo mentre il coseno e la cotangente diminuiscono.

Esempi

1)-Calcolare sen25°12'.


Dalle tavole risulta:

sen25°10' = 0,4253,

inoltre la differenza tabulare è 26, segue quindi
la seguente proporzione:

10' : 26 = 2' : x,

da cui si ricava

x = 5,2.

Pertanto risulta:

sen25°10' = 0,4258.

2)-Calcolare cos36°26'.

Dalle tavole risulta:

cos36°26' = 0,8056,

inoltre la differenza tabulare è 17, segue quindi
la seguente proporzione:

10' : 17 = 6' : x,

da cui si ricava

x = 10,2.

Siccome il coseno diminuisce col diminuire dell'angolo, il valore trovato della x si sottrae, pertanto risulta:

cos36°26' = 0,8046.

Il problema inverso si risolve in modo analogo.

Se il valore numerico della data funzione goniometrica si trova sulle tavole, si ottiene subito il valore dell'angolo corrispondente, in caso contrario
si ricorre ad un'interpolazione.

Esempi

1)-Determinare l'angolo x tale che risulti:

senx = 0,9724.

Si ha:

x = 76°30'.

2)-Determinare l'angolo x tale che risulti tgx = 0,9193.

Si ha:

x = 42°36'.

Tavole logaritmico-trigonometriche

Le tavole dei valori numerici consentono nel calcolo una modesta approssimazione, percio' si preferisce usare altre tavole che riportano i logaritmi delle funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente, di primo in primo, per angoli da 0° a 90°. Esse si chiamano tavole
logaritmico-trigonometriche. Ogni manuale che riporta queste tavole fornisce anche le istruzioni per l'uso. Per tutti gli angoli minori di 45°, in ciascuna pagina della tavola il numero dei gradi si legge in alto e i minuti primi nella prima colonna a sinistra; per le funzioni goniometriche valgono le indicazioni dell'intestazione di ciascuna colonna. Invece, per tutti gli angoli compresi tra 45° e 90°, i gradi sono riportati in basso alla pagina, i minuti primi nell'ultima colonna a destra, e per le funzioni goniometriche valgono le indicazioni in basso di ciascuna colonna.
Le eventuali colonne intitolate d, differenze tabulari, contengono le differenze dei logaritmi dei seni, dei coseni, di due angoli successivi, che differiscono di un minuto primo.

Ricordando che:

sen0° = 0,  sen90° = 1,  cos0° = 1,  cos90° = 0,

risulta evidente che le mantisse dei logaritmi del seno e del coseno sono tutte negative.

Essendo inoltre :


le mantisse dei logaritmi della tangente, per angoli compresi fra 0° e 45°, e della cotangente, per angoli compresi fra 45° e 90°, risultano anch'esse negative.
Queste tavole consentono di risolvere i seguenti due problemi,
l'uno inverso dell'altro:

1)-dato un angolo, determinare il logaritmo di una sua funzione goniometrica.

2)-dato
il logaritmo di una  funzione
goniometricadeterminare l'angolo.
Per risolvere il primo problema, si distinguono due casi:

a)-l'ampiezza dell'angolo è espressa in gradi e primi
.

In tal caso, il valore della funzione si legge subito sulle tavole.
Ad esempio, si ha:


b)-l'ampiezza dell'angolo è espressa in gradi, primi
e secondi.
In tal caso,
si legge subito il logaritmo della funzione per i gradi e per i primi e si ricorre all'interpolazione lineare per valutare la variazione del logaritmo a causa dell'aumento dell'angolo relativo ai secondi.
Il procedimento consiste nell'ammettere che le variazioni del logaritmo di ciascuna
funzione goniometrica siano proporzionali alle variazioni dell'angolo.
In base a ciò, l'incremento del logaritmo corrispondente ai secondi si determina risolvendo una proporzione, tenendo presente che i logaritmi del seno e della tangente
aumentano con l'aumentare dell'angolo, mentre i logaritmi del coseno e della cotangente diminuiscono.

Esempi

1)-Calcolare logsen36°15'36''.


Dalle tavole risulta:


a questo risultato si deve aggiungere l'aumento relativo ai 36''. La differenza tabulare è 18 e rappresenta l'aumento che subirebbe il log del seno, se si aumentasse l'angolo di 1'
= 60'';  segue quindi la seguente proporzione:

60 : 18 = 36 : x,

ove con x si è indicato l'aumento incognito del logatritmo.
Risolvendo la proporzione, si trova

x = 10,8,

e perciò


Si segue lo stesso procedimento per la tangente, che, come il seno aumenta all'aumentare dell'angolo.

2)-Calcolare logcos24°13'46''.

Dalle tavole risulta:


La differenza tabulare è 6'; segue quindi
la seguente proporzione:

60 : 6 = 436 : x,

Risolvendo la proporzione, si trova :
x = 4,6

e quindi, quando l'angolo aumenta di 46'' il logaritmo del coseno diminuisce di 4,6, ossia, arrotondando di 5, segue



l problema 2), inverso di quello trattato ora, si risolve analogamente.

Esempi

1)-Calcolare l'angolo x tale che risulti


Dalle tavole risulta:


e quindi

x = 47°8'.

2)-Calcolare l'angolo x tale che risulti:

logctgx = 0,19108.

Dalle tavole risulta:

0,19108
 = logctg32°47',

e quindi

x = 32°47'.

3)-Calcolare l'angolo x tale che risulti

logtgx = 0,86412.

Dalle tavole risulta:

 logtg82°12'
 = 0,86333,

con differenza tabulare 94. Poichè la differenza fra il logaritmo dato e quello letto sulle tavole è 0,86412 - 0,86333 = 79, si ha la proporzione:

94 : 60 = 79 : y,

da cui

y = 50.

Si ha quindi

x =
82°12'50''.