MIKY & GENNY
VALORI NUMERICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE ---> INDICE
Per
le applicazioni pratiche è molto utile conoscere i valori delle
funzioni goniometriche di alcuni angoli. Si conoscono già quelli
degli angoli 0°, 90°, 180°, 270°; si vogliono trovare
ora i
valori delle funzioni goniometriche di altri angoli particolari, precisamente degli angoli di 45°, 30°, 60°, 18° e 72°.
Angolo di 45°
Nella figura suddetta si è considerato l'angolo
nel cerchio trigonometrico, e dal punto P è stata condotta la
perpendicolare PQ all'asse delle x. Il triangolo rettangolo OQP
è isoscele sulla base OP e quindi OQ = QP, come lo è
anche OAT, e quindi AT = OA, allora segue che
sen45° = cos45°
valori delle funzioni goniometriche di altri angoli particolari, precisamente degli angoli di 45°, 30°, 60°, 18° e 72°.
Angolo di 45°
Nella figura suddetta si è considerato l'angolo
nel cerchio trigonometrico, e dal punto P è stata condotta la
perpendicolare PQ all'asse delle x. Il triangolo rettangolo OQP
è isoscele sulla base OP e quindi OQ = QP, come lo è
anche OAT, e quindi AT = OA, allora segue chee perciò
D'altronde, applicando il teorema di Pitagora al triangolo OQP e ricordando che il seno ed il coseno dell'arco
sono rispettivamente l'ordinata e l'ascissa di P rispetto al raggio del
cerchio preso come unità di misura, indicata con 
la misura del segmento OQ, si deduce:
da cui
e quindi
Di conseguenza risulta:
Angolo di 30°
Nella figura suddetta si è considerato l'angolo
nel cerchio trigonometrico, e dal punto P è stata condotta la
perpendicolare PQ all'asse delle x che interseca la circonferenza nel punto P'. Il triangolo rettangolo POP' ha l'angolo 
di 60°, perciò è equilatero.
Segue allora
PP' = OP = OA,
ossia
da cui
D'altronde, applicando il teorema di Pitagora al triangolo OQP, si ricava:
e quindi
cioè
Poi risulta:
Di conseguenza si ha:
Angolo di 60°
Dopo aver osservato che l'angolo di 60° è il complementare dell'angolo di 30°, si ha subito:
Angolo di 18°
Nella figura suddetta si è considerato l'angolo
nel cerchio trigonometrico, e dal punto P è stata condotta la
perpendicolare PQ all'asse delle x che interseca la circonferenza nel
punto P'. Nel triangolo isoscele POP' l'angolo al vertice 
è di 36°, cioè la quinta parte dell'angolo piatto,
perciò la base PP' è la sezione aurea del lato OP,
cioè la sezione aurea del raggio.
Si ricorda che la sezione aurea di un segmento è quella sua parte che risulta media proporzionale fra l'intero segmento e la parte rimanente. Detta a la misura del segmento ed x quella della sua sezione aurea, dalla proporzione a : x = x : (x - a), deduce l'equazione x2 + ax - a2 = 0 . Dopo averla risolta, tenendo conto della sola radice positiva, risulta:
che è la misura della sezione aurea.
Si può quindi scrivere:
da cui
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OQP, si ha:
quindi
Si ha inoltre:
Si osserva ora che le espressioni della tangente e della cotangente dell'angolo di 18° si possono semplificare partendo dal valore della cotangente e razionalizzando, si ottiene:
Tenendo presente che l'angolo di 72° è il complementare dell'angolo di 18°, si può scrivere subito:
E' utile ricapitolare i risultati ottenuti:
D'altronde, applicando il teorema di Pitagora al triangolo OQP e ricordando che il seno ed il coseno dell'arco
sono rispettivamente l'ordinata e l'ascissa di P rispetto al raggio del
cerchio preso come unità di misura, indicata con la misura del segmento OQ, si deduce:da cui
e quindi
Di conseguenza risulta:
Angolo di 30°
Nella figura suddetta si è considerato l'angolo
nel cerchio trigonometrico, e dal punto P è stata condotta la
perpendicolare PQ all'asse delle x che interseca la circonferenza nel punto P'. Il triangolo rettangolo POP' ha l'angolo di 60°, perciò è equilatero.Segue allora
ossia
da cui
D'altronde, applicando il teorema di Pitagora al triangolo OQP, si ricava:
e quindi
cioè
Poi risulta:
Di conseguenza si ha:
Angolo di 60°
Dopo aver osservato che l'angolo di 60° è il complementare dell'angolo di 30°, si ha subito:
Angolo di 18°
Nella figura suddetta si è considerato l'angolo
nel cerchio trigonometrico, e dal punto P è stata condotta la
perpendicolare PQ all'asse delle x che interseca la circonferenza nel
punto P'. Nel triangolo isoscele POP' l'angolo al vertice
è di 36°, cioè la quinta parte dell'angolo piatto,
perciò la base PP' è la sezione aurea del lato OP,
cioè la sezione aurea del raggio.Si ricorda che la sezione aurea di un segmento è quella sua parte che risulta media proporzionale fra l'intero segmento e la parte rimanente. Detta a la misura del segmento ed x quella della sua sezione aurea, dalla proporzione a : x = x : (x - a), deduce l'equazione x2 + ax - a2 = 0 . Dopo averla risolta, tenendo conto della sola radice positiva, risulta:
che è la misura della sezione aurea.
Si può quindi scrivere:
da cui
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OQP, si ha:
quindi
Si ha inoltre:
Si osserva ora che le espressioni della tangente e della cotangente dell'angolo di 18° si possono semplificare partendo dal valore della cotangente e razionalizzando, si ottiene:
Infine risulta:
Angolo di 72°
Angolo di 72°
E' utile ricapitolare i risultati ottenuti: