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PARTE II
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Capitolo 5
MACCHINE E MENTI

  1. Assolutezza del computabile
  2. L'introduzione di elementi astratti
  3. IncompletabilitÓ della matematica
  4. Oltre l'incomputabile?
  5. La O-macchina come modello per la conoscenza matematica
  6. Incompletezza del sistema cervello

1. ASSOLUTEZZA DEL COMPUTABILE

Il concetto di procedimento meccanico raggiunge, secondo Gödel, la sua più tersa, adamantina trasparenza nella cifra del computabile mediante macchina di Turing. L'analisi che se ne trae appare, oltre che corretta, perfettamente adeguata; in tal senso, la si può considerare, per quel concetto, termine conclusivo del percorso che ha condotto alla sua conoscenza. Succede infatti, rispetto ai concetti matematici, che da una iniziale vaghezza si arrivi, come nell'acuirsi della messa a fuoco, a uno stato in cui tutto si presenta netto, in un processo per Gödel paragonabile a quanto accade nella percezione sensoriale, dove l'immagine, prima indistinta, diviene nitida in seguito nella sua grana1.
Nel corso di una elaborazione della conoscenza matematica, si opera il passaggio da un intuitivo intravedersi delle nuove idee a una dimensione del tutto formalizzabile. Il concetto di effettivo ha dunque toccato nel Turing-computabile l'acme della focalizzazione, e senza zone d'ombra si staglia limpido e scevro d'ambiguità. Il suo perfetto adempimento implica anche un corrispondere finito a un oggetto matematico, dotato di uno spessore di realtà autonoma, quale la posseggono gli oggetti fisici2. Come di questi è necessario ammettere l'esistenza, per spiegare in modo non contraddittorio il mondo delle apparenze, così per realizzare un buon sistema matematico occorre postulare la realtà dell'universo dei suoi oggetti3. Gödel deduce un indizio di tale necessità proprio dal teorema di incompletezza sintattica, la cui interpretazione richiede assunzioni che trascendono l'aritmetica4.
Ma l'esito di incompletezza riceve appunto dalla giusta delimitazione del concetto del computabile la sua risonanza: dunque varrà per ogni sistema che formalizzi una porzione di teoria elementare dei numeri. Poiché infatti la nozione di Turing computabile gode di un'assolutezza che non dipende dal formalismo scelto, essa rende cristallino lo stesso concetto di sistema formale, additandone il quid peculiare.
Se un sistema formale essenzialmente si concreta come procedimento meccanico, macchina di Turing o apparato ricorsivo, trovano assetto indelebile anche i requisiti per il calcolo logico, descritti in Gödel 31: che la classe degli assiomi sia ricorsiva e che altrettanto lo siano le regole di inferenza. Poiché l'insieme dei teoremi, derivati con tali regole e da siffatti assiomi, è ricorsivamente enumerabile, il concetto di sistema formale viene a equivalere a quello di insieme ricorsivamente enumerabile. Ma se la classe delle proposizioni vere W include quella delle proposizioni dimostrabili B, essendo quest'ultima semidecidibile, la W non è nemmeno tale.
Si rammenta come con Tarski per il concetto di verità di un sistema si ottengano, entro il sistema, solo definizioni parziali, al limite in numero infinito, senza che se ne garantisca, dal loro prodotto logico, la costruzione di una definizione inequivoca e complessiva. Per questo motivo e poiché esistono proposizioni indecidibili: "siamo portati a concludere perciò che, benché tutto ciò che è matematico sia formalizzabile, tuttavia è impossibile formalizzare tutta la matematica in un unico sistema formale"5.

2. L'INTRODUZIONE DI ELEMENTI ASTRATTI

Però l'incompletezza sintattica per Gödel non stabilisce "alcun confine ai poteri della ragione umana, ma piuttosto alle potenzialità del puro formalismo in matematica"6. Se si configura il concetto ultimato di sistema formale come frutto del programma hilbertiano, traducendo l'espressione 'puro formalismo' in manipolazione meccanica di simboli, le potenzialità del formalismo non vanno oltre quanto prescrive la loro stessa natura, che consiste nel: "rifiutare qualsiasi genere di oggetti astratti o infiniti, quali sono ad esempio i significati immediati dei simboli matematici"7 . Dunque i più vasti poteri della ragione rimandano all'impiego dei concetti infinitari.
Scrive ancora Gödel: "Si noti che la questione se esistano procedure finite non meccaniche, non equivalenti ad alcun algoritmo, non ha nulla a che vedere con l'adeguatezza della definizione di 'sistema formale' e di 'procedura meccanica'". Precisando in nota8 come con procedura non meccanica si intenda proprio quella che impiega termini astratti, sulla base del loro significato, Gödel tiene il discorso entro la polarità finitario (concreto) - infinitario (astratto).
Dal punto di vista dei risultati di incompletezza, poiché la proposizione che esprime la coerenza del sistema appartiene al novero di quelle indecidibili, si deduce l'insufficienza dei metodi strettamente finitari, per dimostrare la non contraddittorietà della teoria elementare dei numeri. Gödel rimanda, a titolo esemplificativo, al suo scritto del 1958 Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes in cui, per ottenere tale dimostrazione, introduce il concetto astratto di funzionale, estendendo ad esso lo schema di ricorsività primitiva.
Per concetti astratti Gödel intende quelli che "non contengono proprietà o relazioni di oggetti concreti (ad esempio, di combinazioni di segni) ma che si riferiscono a strutture mentali [Denkgebilde] (ad esempio dimostrazioni, proposizioni sensate, ecc.)"9 con la clausola che nelle dimostrazioni l'elemento concettuale emerga non dalle proprietà combinatorie dei segni, ma dal loro senso. Il concetto astratto introdotto da Gödel per dimostrare la non-contraddittorietà della teoria dei numeri è quello di "funzione calcolabile di tipo finito sui numeri naturali", i cui principi elementari di costruzione sono la ricorsione su variabili numeriche e la sostituzione di funzioni. La definizione di funzionale di tipo finito t è ottenuto considerando il tipo t come variabile. Posto quindi che:
1) si intendano per 'funzione calcolabile di tipo 0' i numeri naturali;
2) si siano già compresi i concetti di 'funzione calcolabile di tipo t0', 'funzione calcolabile di tipo t1',...,'funzione calcolabile di tipo tk' (con k ³ 1);
Gödel definisce una funzione calcolabile di tipo (t0, t1,...,tk) come un'operazione che a ogni k-upla di funzioni calcolabili dei tipi t1, t2,..., tk associa una funzione calcolabile di tipo t0.
A questo punto la non-contraddittorietà dell'aritmetica classica è ridotta a quella del sistema T (o teoria dei funzionali computabili di tipo finito), grazie a una opportuna interpretazione dell'aritmetica intuizionista (cui lo stesso Gödel aveva mostrato, in Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie, 1933, come si potesse ricondurre l'aritmetica classica). A ogni formula F dell'aritmetica intuizionista si associa cioè nella teoria T una formula F' di genere:
($y)(z)A(y,z,x)
con y e z successioni finite di variabili di un qualche tipo t, e A(y,z,x) espressione priva di quantificatori, ricavata per combinazione di equazioni di T.
In tal caso una formula F' afferma che, per ogni scelta di funzionali z, esistono funzionali y che soddisfano A(y,z,x).
Il ricorso ai concetti astratti è motivato nel 1961 (The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy) dalla necessità di assicurare alla matematica la certezza del suo sapere. Il fallimento del programma hilbertiano, palesa come a questo scopo non sopperisca la manipolazione dei simboli fisici; solo progredendo verso livelli di sempre maggiore astrazione, la matematica può sfuggire all'esito scettico che impregna lo spirito del tempo, e che la consegna al rango di sistema ipotetico. Si deve dunque approfondire la conoscenza dei concetti astratti, precisandoli in se stessi e nei loro rapporti; tuttavia la chiarificazione degli elementi di significato non consiste, almeno non esclusivamente, nel fornire una definizione. Il metodo adatto, per comprendere a fondo questi concetti, è offerto forse dalla fenomenologia di Husserl; essa ci insegna a produrre in noi un nuovo, più elevato stato di coscienza, che trascende il senso comune e attinge ai fondamenti del pensiero.

3. INCOMPLETABILITA' DELLA MATEMATICA

Tuttavia si può dire che, al tempo stesso, l'assolutezza del concetto di Turing-computabile, con tutto ciò che comporta, rappresenti un reale limite per i poteri della ragione. Dato infatti il rapporto di inclusione W É B, se da un lato nell'estensione del sistema formale le proposizioni indecidibili vengono decise, altre se ne ripresentano nel sistema esteso, e tra esse ancora quella che ne afferma la consistenza. D'altro lato se innegabilmente la dimostrabilità formale non costituisce analisi compiuta del concetto 'vero', questo si concretizza solo, e non oltre, come dimostrabile.
In Gödel 31 una forma di decisione avviene in virtù di considerazioni metamatematiche. La proposizione descritta in [R(q);q], che afferma di non possedere la proprietà 'Bew', realmente non la possiede. Si sa quindi che, in quanto indimostrabile, essa è vera. Il rapporto tra indecidibile e vero risulta allora leggibile, più che nell'accentuazione di una spinta alla trascendenza da ogni formalismo, sotto l'insegna dell'incompletabilità della matematica.
In proposito commenta Kleene: "Non riusciremo mai a scrivere in forma completamente utilizzabile tutti i principi necessari per determinare la verità o falsità delle proposizioni di tale ambito, così che dopo tale elencazione tutto ciò che occorrerebbe sarebbe sufficiente pazienza nell'applicazione di tali principi."10 Nessuna meccanizzazione afferra appieno la stessa teoria elementare dei numeri; all'inventiva concettuale si dischiude uno spazio illimitato. Ma ogni concetto matematico, nel momento in cui arriva a limpida definizione, diviene formalizzabile. Nel passaggio dalla percezione confusa allo scandito, dall'impreciso al distinto, si plasma il conosciuto, palesando la sua traducibilità in veste rigorosa. Se la mente è, come crede Gödel, incapace di formalizzare tutte le sue intuizioni, la parziale formalizzazione suscita, a sua volta, nuove intuizioni. Così si avvicina in modo asintotico a un'idea di verità, cha fa da sprone al pensiero, ma non ne spezza l'ordine del dimostrabile.

4. OLTRE L'INCOMPUTABILE?

In Systems of logic based on ordinals del 1938, Turing immaginò un nuovo tipo di macchina, la O-macchina, capace di risolvere problemi incomputabili per una normale TM. Una O-macchina consta di una parte 'classica': una certa macchina di Turing, e una parte 'non classica', denominata oracolo. Questo si configura come un dispositivo aspecifico, o scatola nera, di cui si ignora la struttura interna.
Ogni oracolo aggiunge, a quelle di una normale macchina di Turing, un'operazione primitiva, la cui esecuzione dà in uscita i valori di alcune funzioni sui numeri naturali non Turing-computabili. L'oracolo interviene ogniqualvolta un programma apposito pone la O-macchina in uno stato particolare, o 'call state', che richiama l'avvio dell'operazione primitiva.
Turing prospetta una O-macchina particolare, che risolve il problema dell'arresto, semplicemente innestando su un interprete universale (TMU) quell'oracolo, la cui operazione associa alla funzione halt H(x,y):
a) il valore 1, quando per l'input y la x-esima macchina di Turing si ferma;
b) il valore 0, quando per l'input y la x-esima macchina di Turing non si ferma.
I tentativi di costruire ipercalcolatori, che superino la barriera del Turing-computabile non hanno finora dato frutti. Tuttavia Jack B. Copeland e Diane Proudfoot (1999) ritengono che, in linea di principio, si ravvisi un meccanismo idoneo a costituirsi quale oracolo una rete neurale, a numero illimitato di neuroni artificiali, e suscettibili di assumere qualsiasi configurazione per addestramento. Ciò però a patto che si desincronizzi l'attività dei neuroni.
Gli autori forniscono un esempio di come potrebbe funzionare un oracolo, per una ipotetica macchina, destinata a risolvere il problema dell'arresto.
L'oracolo sia costituito da un dispositivo di misurazione perfetto e dal valore preciso t di un numero irrazionale, immagazzinato in memoria come sequenza infinita di 0 e 1. Se ogni programma è a sua volta rappresentabile come stringa di cifre in notazione binaria, equivalente di un numero intero, l'oracolo scorre da sinistra a destra, lungo la sequenza decimale di t, per tanti posti quanti sono quelli indicati dal numero del programma.
Supponendo che il numero in questione sia 82, l'oracolo conterebbe quindi fino alla 82esima cifra di t. Se tale cifra fosse 1, l'oracolo fornirebbe risposta affermativa al problema dell'arresto per il programma indicato dal numero 82; se la cifra trovata fosse invece 0, l'oracolo giungerebbe alla conclusione opposta11.

5. LA O-MACCHINA COME MODELLO PER LA CONOSCENZA MATEMATICA

Nel dibattito imperniato al paragone tra cervello e macchina di Turing, la O-macchina apporta una variante. Alla tesi: il cervello è - o è imitabile perfettamente da - una macchina di Turing (o viceversa non lo è), si aggiunge: il cervello è - o è imitabile perfettamente da - una O-macchina.
La O-macchina sembra rievocare, con la sua black box, una chiara ispirazione comportamentistica. Quando si conoscono gli input, inviati all'oracolo, e gli output emessi, la natura interna della black box è irrilevante ai fini della descrizione logica del funzionamento della O-macchina. Altrettanto lo è, per la determinazione del comportamento, l'indagine del mentale, quando si disponga di realtà osservabili quali gli stimoli e le risposte.
Ma, rispetto al tema del rapporto cervello-macchina, poiché la O-macchina pare avere il solo scopo di sottolineare nell'uomo generiche capacità ultracomputazionali, si potrebbe interpretare il ruolo della black box alla stregua di indefinito sostituto meccanico della entità 'mente', capace di assorbirne le prerogative e di evitarne al tempo stesso quell'alone di incorporeità e di indeterminismo, che sempre nel suo nome si ascolta riecheggiare.
Restando al più ristretto terreno di confronto della conoscenza matematica, se il cervello è, o assomiglia a, una O-macchina, a rigore non dovrebbero valere per esso le limitazioni messe in luce dai teoremi di Gödel. Esisterà infatti una O-macchina, il cui oracolo risolva, per ogni formula ben formata A di un sistema formale per la teoria elementare dei numeri, il problema della attribuzione all'insieme dei teoremi o a quello dei non teoremi. L'oracolo saprebbe quindi catturare, con una modalità di azione meccanica, la parte della classe W (proposizioni vere) che sopravvanza B (proposizioni dimostrabili).
Se però l'output dell'oracolo corrispondesse per esempio alla decisione che A appartiene all'insieme dei teoremi, si dovrebbe, a quel punto, poter possedere una dimostrazione di A nel sistema formale. Ma se si tratta, a tutti gli effetti, di una decisione per A, proprio questo rende più difficile immaginare nella O-macchina un modello di come la comprensione matematica umana affronterebbe il non ricorsivo. Il ragionamento metamatematico, con cui in Gödel 31 si decide della verità di [R(q);q], lascia infatti intatta la sua non assegnazione all'insieme dei teoremi o a quello dei non teoremi. Quindi si incontrerebbero nella O-macchina capacità computazionali non affini a quelle umane, o comunque più potenti.

6. INCOMPLETEZZA DEL SISTEMA CERVELLO

Tra i poli individuati da cervello e macchina di Turing, funge da cerniera quell'idea di procedura meccanica che, nell'evolversi del concetto di sistema formale si travasa in quello di programma per calcolatore. In Le ragioni fisiche e le dimostrazioni matematiche, Gabriele Lolli traccia le conseguenze lucide e estreme di una identificazione dei termini del confronto. Se il cervello è (opera come) un sistema formale: "allora coincide con la propria metateoria, non c'è scampo, e la nozione di verità non è definibile nonostante il nostro uso intuitivo di essa".12
Il sistema formale cervello non è, non può essere, passibile di estensione; nessun ulteriore assioma lo può rafforzare. Perciò se ammettiamo la sua consistenza, la proposizione che la esprime resta assolutamente non decisa e non definita quanto al suo valore di verità: né vera né falsa. L'incompletezza delle teorie matematiche diventerebbe il riflesso di un'incompletezza profonda del sistema cervello.
Se dilatassimo questa conclusione, fino a scorgervi cifra di una incompletezza esistenziale, cardine dello stato imperfetto in cui versa, per la propria finitudine, l'uomo, si spingerebbe il discorso, in modo illecito, molto più in là di quanto esso di per sé non ammetta. Ma Lolli si attiene con sobrietà entro i confini della logica. Il corollario che subito egli, come già Gödel, ne trae è che lo sviluppo della matematica non avvenga in un singolo sistema prefissato, ma in sistemi molteplici e progressivamente più forti. Non ha risposta meccanica la domanda di come si troveranno tali sistemi; alla logica non compete questa previsione, perché quei nuovi assiomi, che essa può formulare, compendiano le già avvenute acquisizioni della scienza.
Ciò che alla logica spetta invece è organizzare con le proprie forme il sapere, riflettendo sull'ordinamento via via elaborato. Due modi soli dell'organizzazione sembrano a Lolli individuabili con certezza: il primo è offerto dal livello del decidibile, cui fanno capo diverse teorie algebriche e la geometria euclidea; il secondo ruota attorno al livello del semidecidibile, in cui ricadono tutte le teorie che contengono l'aritmetica.
L'aspettativa di un terzo livello che, corrispondendo alla nozione di verità, dissolverebbe i fenomeni di incompletezza, non rappresenta per Lolli altro che lo strascico di un'illusione pregödeliana. Se pure sembra che un concetto astratto quale quello di verità si sottragga ai vincoli della formalizzazione, in matematica esso non è che un fatto dimostrato, preso nel modello delle teorie assiomatiche.

NOTE

1. Sull'opinione di Gödel circa la nozione di procedimento meccanico e la percezione dei concetti si può leggere quanto riferisce H. Wang, op. cit., pp. 95 e seguenti. Gödel ritiene che esista sempre un concetto preciso, che corrisponde al concetto inzialmente intuito in maniera non chiara. Il paragone con la percezione sensoriale è molto stretto; in questo caso, il processo del consolidarsi dei contorni concettuali potrebbe essere pensato come il graduale emergere dei dettagli di un oggetto fisico mentre si raggiunge l'acuità visiva. Egli giudica quindi la nozione di 'eseguibile mediante macchina di Turing' l'unica che con fedeltà apporti confini univoci e corretti al concetto, prima confusamente intravisto, di procedimento meccanico. Poiché il concetto intuitivo non richiede che il processo meccanico termini in ogni caso, la nozione conclusiva è meglio colta dalle macchine di Turing che producono funzioni ricorsive parziali, piuttosto che da quelle che producono funzioni ricorsive totali. Ma per Gödel i concetti sarebbero percepiti in maniera più diretta degli oggetti fisici; perciò egli ipotizza che un apposito organo di senso, collegato ai centri nervosi del linguaggio, sia preposto alla ricezione delle impressioni astratte.
2. Tutto ciò comporta che l'intuizione matematica per prima sia pensata come un tipo di percezione concettuale, e che i suoi oggetti specifici, gli oggetti matematici, godano di un'esistenza pari a quella degli oggetti fisici. Si veda per esempio quanto Gödel scrive circa la teoria degli insiemi: "Nonostante la loro distanza dall'esperienza sensoriale, abbiamo in qualche modo anche una percezione degli oggetti della teoria degli insiemi, come appare dal fatto che gli assiomi ci impongono la loro verità. Non vedo motivi per avere meno fiducia in questo tipo di percezione, cioè nell'intuizione matematica, che nelle percezioni sensoriali che ci inducono a costruire le teorie fisiche". (Gödel, K., "What is Cantor's continuum problem?" in Benacerraf, P., Putnam, H.,(a cura di), Philosophy of mathematics: selected readings, Prentice-Hall, Englewood Cliffs (N.J.), 1964 pp. 258-273; trad. it. di C. Cellucci, "Che cos'è il problema del continuo di Cantor?", in Cellucci, C. (a cura di), Filosofia della matematica, op. cit., pp. 113-136, cit. da p. 133.) In tal caso i paradossi della teoria degli insiemi potrebbero essere per la matematica quello che le illusioni dei sensi sono per la fisica. Il divario rispetto a quanto enunciato nello scritto del 1944, che cioè l'analisi dei paradossi compiuta da Russell abbia evidenziato la contraddittorietà insita nelle nostre principali intuizioni logiche (per esempio quella di verità, o quella di classe) è risolto distinguendo tra il concetto dicotomico e quello iterativo di insieme. Il primo ricava ogni insieme ripartendo la totalità di tutte le cose nelle due categorie di quelle che posseggono una certa proprietà e di quelle che non la posseggono; tale concetto è eminentemente logico, e coincide con la nozione di classe. L'iterazione a partire da elementi ultimi (Urelemente), per la ripetuta applicazione dell'operazione 'insieme di', permetterebbe invece una fondazione matematica adeguata.
3. Alla concezione nominalistica dei Principia, Gödel replica che concetti e classi potrebbero essere concepiti come oggetti reali: "Mi sembra che l'assunzione di tali oggetti sia altrettanto legittima dell'assunzione dei corpi fisici, e che ci siano almeno altrettanti motivi per credere alla loro esistenza. Essi sono necessari per ottenere un sistema matematico soddisfacente nello stesso senso in cui i corpi fisici sono necessari per una teoria soddisfacente delle nostre percezioni sensoriali" (Gödel, K., La logica matematica di Russell, op. cit., p. 95).
4. "E'stato messo in luce che (supponendo che la matematica moderna sia coerente) la soluzione di certi problemi aritmetici richiede l'uso di assunzioni che trascendono essenzialmente l'aritmetica, cioè il dominio dotato di quel tipo di evidenza elementare indiscutibile che più appropriatamente può essere paragonato con la percezione sensoriale." (Gödel, K., La logica matematica di Russell, op. cit., p. 84) Analogamente in "Che cos'è il problema del continuo di Cantor?", op. cit., p. 135, si legge: "si deve fare continuamente appello all'intuizione matematica (...) anche per risolvere problemi della teoria dei numeri finitista". Gödel si riferisce qui a problemi come la congettura di Goldbach (ogni intero positivo pari è la somma di due numeri primi), conseguenza dell'incompletezza dell'aritmetica. E' proprio la congettura di Goldbach che, nella relazione al convegno di Königsberg, viene portata ad esempio di proposizione vera ma indimostrabile nel sistema formale della matematica classica.
5. Gödel, K., "Recensione di Carnap 1934", op. cit., p. 290.
6. Gödel, K., "Sulle proposizioni indecidibili dei sistemi matematici formali", op. cit., p. 275.
7. Kurt Gödel a Hao Wang, 7.12.67, in Wang, H., op. cit., p. 19.
8. Gödel, K., "Sulle proposizioni indecidibili dei sistemi matematici formali", op. cit., p. 275. La citazione è tratta dal poscritto aggiunto il 3.06.1964. La nota in questione è la n. 36, p. 275.
9. Gödel, K., "Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes", Dialectica, 12 (1958), pp. 280-287; trad. it. di A. Oddone, "Su un'estensione fino a oggi non ancora utilizzata del punto di vista finitista", in D. Cagnoni (a cura di), Teoria della dimostrazione, Milano, Feltrinelli, 1981, pp. 117-123, cit. da p. 118-119. La prospettiva di Gödel è, in un certo senso, rovesciata rispetto a quella di Gentzen: con Gödel uno schema finitario (ricorsione) definisce oggetti astratti (funzionali); con Gentzen un principio infinitario (induzione transfinita) ai applica a oggetti concreti (alberi di dimostrazioni).
10. Le parole di S. C. Kleene sono tratte dalla nota introduttiva a: Gödel, K., "Sulle proposizioni indecidibili dei sistemi matematici formali"; op. cit., p. 251.
11. Copeland, B. J, Proudfoot, D., "Alan Turing e le reti neurali", Le scienze, 370 (1999), pp.94-101.
12. Lolli, G., Le ragioni fisiche e le dimostrazioni matematiche, Mulino, Bologna, 1985, p. 274.


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