Cenni sulle equazioni differenziali
a cura di
Gaetano G. Perlongo
(Edizione rivista e corretta)
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Wir sind gewohut dass die
menschen vernoehnen was sienicht verstehen (Conan Doyle) (*) Siamo abituati al fatto che gli uomini disprezzino ciò che non comprendono
Indice
Prefazione & Ringraziamenti
Nota alla seconda edizione In questa edizione ho cercato di ridurre
l'entropia della prima stesura Per equazione
differenziale si intende un'equazione contenente come incognite una funzione
e le sue derivate ordinarie, intendendo per questo, quelle equazioni
differenziali dove l'incognita è funzione di una sola variabile indipendente:
Si chiama ordine di un'equazione differenziale,
l'ordine della derivata di ordine più elevato che in essa compare. Per
esempio:
è un'equazione differenziale del terzo ordine. La
forma più generale di un'equazione differenziale alle derivate ordinarie, si
presenta come segue:
e ogni funzione y(t), che insieme alle sue derivate
soddisfa la (*) si chiama integrale dell'equazione differenziale o
soluzione di essa. Integrare un'equazione differenziale vuol dire
infatti, trovare la sua funzione (o le sue funzioni) y(t) che, insieme
alle proprie derivate, la soddisfi. A questo punto, per intravedere
quanto esteso sia il campo d'applicazione delle equazioni differenziali,
ci è sufficiente prendere in esame, parallelamente, il comportamento
di alcuni componenti elettrici e meccanici, i quali obbediscono alle
leggi fondamentali dell'Elettrotecnica e della Meccanica.
per
l'induttore:
per
il condensatore, ricordando che è q (t)=C v(t) e derivando:
si
ottiene:
Questo per quanto riguarda gli elementi elettrici,
mentre per gli elementi meccanici le equazioni sono: per il massa si può
scrivere la legge F= m a, se però interessa conoscere la velocità v o lo
spostamento s, si scriverà rispettivamente:
per la molla si può scrivere la relazione F=K x,
con K="costante elastica della molla" da cui derivando si ottiene:
Risulta chiaro, da quanto scritto sopra, che si incontra
di frequente il problema di dover risolvere delle equazioni differenziali
se si vuole la soluzione del fenomeno in studio. Equazioni differenziali risolubili con
integrazione diretta E'
il tipo più semplice, la sua forma è la seguente:
Ricordando che l'espressione d y(t)/dt si può intendere,oltre
che come simbolo di derivata prima, anche come il rapporto tra il
differenziale della funzione y (t) e quello della variabile indipendente
t, la (7 ) può scriversi:
cioè
infine:
Nella (8), c indica una costante arbitraria, ma in
pratica nello studio dei fenomeni reali, essa viene determinata imponendo
alcune condizioni, dette "condizioni ai limiti", alle quali
deve soddisfare la funzione y(t). Ad esempio, in questo caso la (8)
si può scrivere:
dove
y(0) è il valore che la funzione assume nell'istante t=0. Equazioni differenziali a variabili separabili E'
una semplice estensione del caso precedente e la loro forma risulta essere:
da
cui, integrando:
dove
c rappresenta ancora la costante arbitraria di integrazione. Equazioni differenziali lineari a coefficienti
costanti Questa è la classe di equazioni differenziali che
ha per il corso di Fisica Tecnica maggior importanza, poiché è quella
che più frequentemente si incontra. Sono equazioni lineari a coefficienti
costanti le equazioni del tipo:
dove:
ao, a1,.........,an sono delle costanti; e dove n indica anche l'ordine
dell'equazione differenziale poiché la derivata di ordine più elevato è la:
Se nella (12) risulta f(t)=0, allora l'equazione
si dice omogenea, in caso contrario invece si dice completa. Per risolvere
la (12) si procede nel seguente modo: Si rende omogenea l'equazione
di partenza (se non lo è già) e poi mediante la sostituzione:
per la funzione incognita; si passa dall'equazione
differenziale in esame, ad un'equazione algebrica nell'incognita a. Infatti
le derivate della (13) danno:
Sostituendo
la (14) nella (12), questa resta omogenea e si ottiene:
da
cui, dividendo per
che
deve essere risolta. A questo punto la teoria ci dice che ogni radice
semplice della (15) dà un integrale
ogni
radice multipla (doppia,tripla, ecc.) dà gli integrali:
Se infine la (15) presenta radici complesse, e
quindi necessariamente a due a due coniugate tra loro, del tipo
In
tal caso, sfruttando le formule di Eulero, qui riportate:
gli
integrali possono essere messi sotto l'aspetto più familiare:
Una volta trovate le radici della (15) vale il
seguente teorema, che ci permette di pervenire alla soluzione nel nostro
problema:
dove
le Ci sono costanti arbitrarie, determinabili come già detto, in base alle
condizioni ai limiti.
Applicazioni delle equazioni differenziali,
(applicazioni fisiche) 1.
In certe condizioni la quantità costante Q (calorie / secondo)
di calore che passa attraverso una parete è data da:
dove K è la costante di conduttività
del materiale costituente la parete;
fig.1 Poniamo che x
denoti la distanza di un punto interno alla parete della faccia esterna.
Integrando l'equazione:
da:
In conclusione allora, il flusso di calore per ore
è uguale 3600 Q=57600 cal. 2.
Una condotta di vapore del diametro di 20 cm viene protetto
con un rivestimento di 6 cm di spessore il cui K è 0.0002. Determinare: a) la
perdita oraria di calore su un metro di tubo se la superficie del
rivestimento è di 30 °C; b) la distribuzione radiale di temperatura nel manto
isolante. a)
fig.2 A distanza x
> 10 cm dal centro del tubo, il calore fluisce attraverso strati
cilindrici di area superficiale=2 pi=
T=30, x=16; T=200, x=10
Quindi, la perdita di calore in un metro lineare
di tubo e in un'ora di tempo è b) Integrando
3.
Un paracadutista, al momento in cui il paracadute si apre,
sta precipitando ad una velocità v=55 m/sec. Se la resistenza dell'aria
è
così, integrando tra i limiti t=0, v=55 e t=t, v=v
Si noti come il paracadutista
raggiunge rapidamente una velocità quasi costante, cioè la velocità
limite di 5 m/sec.
5.
Quindi avendo: F=ma
Per t=0, x=o è v=vo e allora:
La massima altezza si raggiunge quando è v=0,
dalla (2) allora:
Perciò l altezza massima è :
Nel caso a) il
moto è armonico semplice di ampiezza (xo) e periodo
7.
Una molla di rigidità K=700 N/m pende verticalmente, fissata
all'estremo superiore. Una massa di 7 Kg viene sospesa all'altro estremo
della molla. A partire dalla posizione di riposo, la massa viene tirata
di 0.005 m verso il basso e quindi abbandonata. Determinare il movimento
trascurando la resistenza dell'aria. Si consideri l'asse x verticale
discendente con origine O nella posizione di equilibrio.
Si tratta cioè di un moto armonico
semplice. Il periodo è 2 Per coloro che
volessero andare oltre l'aspetto contenuto in questo lavoro, consiglio i
seguenti riferimenti:
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