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| Ripasso di Fisica per il Biennio delle Superiori |  |
| Unità 10. Lavoro ed energia |
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E1. Calcolare
il lavoro necessario per trascinare una slitta di 40 kg lungo
un pendio in salita lungo 30 m con un dislivello di 8 m. La
forza di attrito della slitta sulla neve è di 55 N. Quanta
potenza è necessaria per eseguire questo lavoro in un minuto
e mezzo?
Svolgimento
Il lavoro principale è quello che deve essere
eseguito contro la forza di gravità che agisce sulla slitta.
Poiché questa ha la direzione verticale, per il calcolo del
lavoro occorre considerare solo il dislivello effettuato
nello spostamento (vedi le definizioni D4 e D6). Quindi si ha:
L1 = m • g • h = 40 kg • 9,8 m/s² • 8 m = 3136 J
Deve essere eseguito anche un lavoro contro la forza di attrito: poiché questa forza è parallela allo spostamento, per il calcolo del lavoro occorre considerare la lunghezza l del pendio:
L2 = F • l = 55 N • 30 m = 1650 J
Essendo il lavoro una grandezza scalare, il lavoro totale si ottiene come somma dei due lavori calcolati (vedi la definizione D17 dell’Unità 2):
L = L1 + L2 = 3136 J + 1650 J = 4786 J
Un minuto e mezzo (1,5 min) corrisponde a 90 s (poiché 60 • 1,5 = 90). Quindi, la potenza è:
P = 4785 J / 90 s = 53 W
E2. Calcolare
l'energia cinetica di un corpo che si muove con velocità
uniforme su una circonferenza di raggio 3 m, sottoposto alla
forza centripeta di 65 N.
Svolgimento
A prima vista questo esercizio sembra un rompicapo, perché i
dati a disposizione non bastano per ottenere la massa e la
velocità del corpo, che servono per il calcolo dell'energia
cinetica. Tuttavia il problema non le richiede
esplicitamente, perciò basta invertire la formula della
forza centripeta (vedi l'esercizio E2
dell’Unità 9)
rispetto al prodotto m • v²:
m • v² = Fc • r = 65 N • 3 m = 195 N•m,
da cui si ha:
Ec = ½ m • v² = ½ • 195 N•m = 97,5 J
E3. Calcolare
il coefficiente di elasticità di una molla che dopo essere
stata compressa di 1 cm riesce a lanciare una pallina di 50 g
fino all'altezza di 2 m.
Svolgimento
All’altezza di 2 m la pallina ha un'energia potenziale
gravitazionale pari a:
Ep = 0,05 kg • 9,8 m/s² • 2 m = 0,98 J
Questa energia viene dalla trasformazione dell'energia elastica rilasciata dalla molla durante l'espansione. Invertendo quindi la formula dell'energia elastica data nella definizione D8 rispetto al coefficiente di elasticità e sostituendo i dati (Ds = 1 cm = 0,01 m), si ha:
k = 2 Ee / Ds² = 2 • 0,98 J / (0,01 m)² = 19.600 N/m
E4. Quanto
lavoro contro la forza di gravità deve compiere una persona
di 70 kg per salire una scala di 30 scalini, ognuno dei quali
è alto 12 cm?
Svolgimento
Ciò che conta è il dislivello h (vedi
l’esercizio E1).
In questo caso, poiché uno scalino è alto 12 cm (= 0,12 m),
si ha:
h = 30 • 0,12 m = 3,6 m.
Quindi, il lavoro è:
L = 70 kg • 9,8 m/s2 • 3,6 m = 2469,6 J.
E5. Durante
una espansione isobara (vedi la definizione D29
dell’Unità
6), un gas mantenuto alla pressione di 5 atm espande il suo
volume da 2 m3 a 2,3 m3.
Quanto lavoro viene compiuto?
Svolgimento
La pressione di 5 atm equivale a:
P = 5 atm • 1,01•105 Pa = 5,05•105 Pa
(vedi Tabella 2 dell’Unità 1). La variazione di volume è:
DV = 2,3 m3 - 2,0 m3 = 0,3 m3
Quindi il lavoro è:
L = 5,05•105 Pa • 0,3 m3 = 151.940 J
E6. In
una miniera profonda 150 m si hanno infiltrazioni d'acqua per
un totale di 600 l al minuto. Quale deve essere la potenza
minima del motore di una pompa che voglia mantenere asciutta
la miniera?
Svolgimento
Il volume di 600 l equivale a 600 dm3. Ricordando
la densità dell’acqua (1 kg/dm3), questo
volume ha una massa di 600 kg. Poiché tale massa si infiltra
in un minuto (= 60 s), la potenza minima richiesta deve
essere in grado di sollevare quest’acqua nello stesso
tempo. Quindi:
P = 600 kg • 9,8 m/s2 • 150 m / 60 s = 14.700 W
Esprimi questo risultato in CV.
La quantità d'acqua (o di altro liquido) che scorre nell'unità di tempo in un determinato condotto (tubo, fiume, ecc.) è detta portata (simbolo P). Si ha:
P = V / t
dove V = volume del
liquido e t = tempo impiegato dal volume V a
passare da un determinato punto del condotto. Nel SI la
portata si misura in m3/s.
Per esempio, nell’esercizio E6 si ha V = 600 dm3
= 0,6 m3 e t = 60 s. Perciò:
P = 0,6 m3 / 60 s = 0,01 m3/s
E7. La grande diga di Bratsk
(Siberia), alta 125 m e lunga 5 km, chiude un lago
artificiale 15 volte più grande di quello di Garda. L'acqua
di questo lago viene utilizzata per alimentare una centrale
idroelettrica posta alla base della diga, alta 125 m, che
produce una potenza di 4,05 GW. Calcola la portata delle
condotte d'acqua che servono le turbine della centrale per
produrre questa potenza.
Svolgimento
Abbiamo P = 4,05 GW = 4,05•109 W.
Invertendo la formula della potenza, si ottiene (considerando
nulle le perdite) che la massa d'acqua necessaria in un
secondo è:
m = 4,05•109 W • 1s / 9,8 m/s2 • 125 m = 3,306•106 kg
Poiché 1 m3 d’acqua ha la massa di 100 kg, la massa trovata occupa un volume di 3306 m3. Quindi, la portata richiesta (vedi Nota 1) è di 3306 m3/s.
E8. Calcola
l'energia cinetica di una automobile di 900 kg che viaggia
alla velocità di 110 km/h. Se da questa velocità le
occorrono 80 m per fermarsi, quanta forza riescono ad
esercitare i suoi freni?
Svolgimento
La velocità dell’auto equivale a 110 km/h / 3,6 = 30,
55 m/s. Quindi la sua energia cinetica è:
Ec = ½ 900 kg • (30,55 m/s)2 = 420.139 J
La forza esercitata dai freni è:
F = 420.139 J / 80 m = 5252 N
Calcola anche la decelerazione subita dall'automobile.
E9. Che
proporzionalità c'è tra la velocità di una automobile e lo
spazio necessario per fermarla? A quale velocità dovrebbe
andare l'automobile dell'esercizio precedente per richiedere
uno spazio di arresto di 160 m?
Svolgimento
Uguagliando le formule del lavoro e dell’energia
cinetica, si ottiene:
F • s = ½ m • v²
Questa formula evidenzia una proporzionalità tra lo spazio e il quadrato della velocità, se sono costanti la forza e la massa. Quindi:
s1 / v1² = s2 / v2²
Ciò significa che alle alte
velocità un aumento di velocità comporta un aumento dello
spazio di frenata maggiore di quello che si avrebbe alle
basse velocità. Quindi, bisogna fare attenzione alle
distanze di sicurezza!
Se v1 = 110 km/h e s1 = 80 m (dati
dell’esercizio precedente), per avere s2 =
160 m, bisogna che la velocità sia (utilizzando la relazione
di proporzionalità quadratica):
v2
= 
155,6
km/h.
E10. Qual
è la potenza (in kilowatt e in CV) sviluppata
dall'automobile di cui si tratta nell'esercizio E9
dell’Unità
7, se la sua massa è di 950 kg? Risulta più potente
un'automobile di 820 kg che raggiunge la stessa velocità in
7 s?
Svolgimento
Quando l'automobile raggiunge i 100 km/h (= 27,78 m/s) , ha
un'energia cinetica uguale a:
Ec = ½ 950 kg • (27,78 m/s)² = 366.512 J
Poiché compie questo lavoro in 8 s, possiede una potenza:
P = 366.512 J / 8 s = 45.815 W = 45,8 kW
Questa potenza equivale a 45.815 W / 735,45 = 62,3 CV
Eseguiamo gli stessi conti per l'altra automobile:
Ec = ½ 820 kg • (27,78 m/s)² = 316.409 J
P = 316.409 J / 7 s = 45.201 W = 45,2 kW
Quindi, la potenza di questa automobile è inferiore.
E11. Una
molla che ha il coefficiente di elasticità di 10.000
N/m riesce ad ammortizzare in 2 cm l'urto di un corpo di 2,5
kg. Calcola la velocità del corpo prima dell'urto.
Svolgimento
L'energia cinetica del corpo si trasforma in energia elastica
della molla. Quindi si ha, uguagliando le formule di queste
due energie:
½ m • v² = ½ k • Ds²
Invertendo questa formula rispetto alla velocità, si ottiene:
v = Ds
• 
Dove Ds indica lo spazio necessario per ammortizzare l’urto, pari a 2 cm (= 0,02 m). Sostituendo i dati nella formula, si ha:
v = 0,02
m •
= 1,26 m/s
E12. Un
fucile di 5 kg che spara un proiettile di 12 g alla velocità
di 200 m/s, per il principio di conservazione della quantità
di moto riceve un impulso all'indietro (il cosiddetto rinculo)
uguale a quello fornito al proiettile. Perché allora il
proiettile fa più danni del fucile?
Svolgimento
La stessa quantità di moto posseduta dai due corpi (vedi la
definizione D29 dell’Unità 9) non vuol dire che hanno
anche stessa energia!
Per il proiettile (m = 12 g = 0,012 kg) si ha:
q = 0,012 kg • 200 m/s = 2,4 kg•m/s
Ec = ½ 0,012 kg • (200 m/s)² = 240 J.
Per il fucile, invertendo la formula della quantità di moto, si ha:
v = q / m = 2,4 kg•m/s / 5 kg = 0,48 m/s,
Grazie a questo risultato, possiamo calcolare anche la sua energia cinetica:
Ec = ½ 5 kg • (0,48 m/s)² = 0,576 J.
L'energia del fucile risulta oltre 400 volte inferiore a quella del proiettile!
E13. Calcola
il lavoro necessario per accelerare una automobile di 1200 kg
da 95 a 125 km/h, servendoti del teorema dell'energia
cinetica. Utilizzando i risultati dell'esercizio E12
dell’Unità
7, calcola anche la potenza sviluppata dal motore per
ottenere questa accelerazione.
Svolgimento
Il lavoro necessario per produrre l’accelerazione da 95
km/h (= 95 km/h / 3,6 = 26,4 m/s) a 125 km/h (= 125 km/h /
3,6 = 34,7 m/s) è:
L = ½ m (v2² - v1²) = ½ 1200 kg ((34,7 m/s)² - (26,4 m/s)²) = 3,056•105 J
Poiché il tempo impiegato per questa accelerazione, secondo il risultato dell’esercizio E12 dell’Unità 7 è 8,18 s, la potenza dell’automobile è:
P = 3,056•105 J / 8,18 s = 37.359 W = 37,359 kW
Questa potenza equivale a 37.359 W / 735,45 = 50,8 CV.
E14. Calcola
la potenza in watt del fornello di cui si tratta
nell'esercizio E13 dell’Unità 5.
Svolgimento
L’esercizio dell’Unità 5 dava come risultato 14,17
Cal/s. Poiché 1 Cal = 4186 J (vedi la Tabella
2 nell’Unità
1), questa potenza equivale a:
P = 14,17 Cal/s • 4186 = 59.316 W = 59,3 kW.
Con una tale potenza, più che un fornello, questo è un forno industriale!
E15. Quanto
lavoro producono le forze d'attrito durante la caduta per
1000 m del paracadutista di cui si tratta nell'esercizio E12
dell’Unità
9? Quante Calorie vengono disperse nell'ambiente?
Svolgimento
Dato che durante la caduta a velocità uniforme del
paracadutista la forza d'attrito è uguale al peso del
paracadutista, abbiamo Fa = 784 N. Quindi,
il lavoro compiuto da questa forza è:
L = 784 N • 1000 m = 784.000 J
Poiché tutto questo lavoro viene disperso in energia termica, sapendo che 4186 J = 1 Cal, l’energia dispersa è: 784.000 J / 4186 = 187,3 Cal.
ESPERIENZE E ATTIVITÀ
A1. Misura
la tua potenza muscolare e quella dei tuoi amici
cronometrando il tempo impiegato a salire di corsa una rampa
di scale. Nota la massa della persona, il calcolo del lavoro
eseguito contro la forza di gravità si ottiene come
nell'esercizio E4 (gli
altri lavori effettuati durante la salita si possono
trascurare).
Ti stupirai di trovare facilmente potenze superiori al
cavallo-vapore, ma questo è dovuto alla brevità
dell'esercizio: su tempi più lunghi i risultati sarebbero
ben minori! (circa 400 W in tempi dell'ordine del minuto, e
200 W in tempi dell'ordine di un'ora).
Organizza i risultati in una classifica dei tempi e in una
classifica delle potenze. Perché le due classifiche sono
diverse?
A2. Analizza
le trasformazioni di energia che avvengono nei seguenti
sistemi meccanici: fionda, catapulta, maglio, balestra, freni
di bicicletta, salto con l'asta. Cerca di individuare in
quali fasi del funzionamento di questi sistemi si ha la
maggior perdita di energia meccanica in energia termica.
A3. Segui su
una carta stradale i diversi percorsi tracciati dall'uomo per
risalire con mezzi diversi una valle di montagna in cui siano
presenti la ferrovia, la strada, e l'autostrada. Misura la
lunghezza di questi percorsi. In modo analogo, segui su una
mappa più particolareggiata i percorsi tracciati per far
risalire un pendio da una funivia, da una mulattiera, e da un
sentiero. Per ogni mezzo di trasporto sembra esserci una
pendenza ottimale del percorso, che detta quindi le
caratteristiche del suo tracciato.
Il lavoro eseguito per effettuare la salita dipende dalla
lunghezza del percorso? Riporta in una tabella le lunghezze
dei percorsi, le potenze e le velocità tipiche dei mezzi che
le percorrono, e cerca le eventuali corrispondenze.
A4. Fai una
ricerca storica sulla rivoluzione industriale,
individuando perché, dove e come si è prodotta, e come si
è legata allo sviluppo scientifico, sociale ed economico
della nostra civiltà. A proposito dei progressi più recenti
della tecnologia produttiva, si parla spesso di una seconda
rivoluzione industriale. Cerca su giornali e riviste qualche
notizia su questo argomento, e approfondisci le problematiche
relative, soprattutto dal punto di vista scientifico.
