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| Ripasso di Fisica per il Biennio delle Superiori |  |
| Unità 11. La gravitazione |
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D1. La forza
di gravità che attrae i corpi verso terra (vedi la
definizione D6 dell’Unità 3) è un caso particolare
della gravitazione universale, la forza per la quale
ogni corpo dotato di massa è attratto da ogni altro corpo
presente nell'universo, ed a sua volta (per la terza legge di
Newton) esercita una forza di attrazione su ogni altro corpo.
D2. La legge
di gravitazione universale (di Newton) afferma che due
corpi di masse m1 e m2
si attraggono con una forza che è direttamente proporzionale
al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al
quadrato della distanza d tra i due corpi:
Fg = G • m1 • m2 / d²
D3. La
costante di proporzionalità G è la costante di
gravitazione universale (o costante di Cavendish,
dal nome dello scienziato che è riuscito per primo a
misurarla). Essa non dipende dalla sostanza dei corpi che si
attraggono, né dal mezzo interposto, ma solo dal sistema di
unità di misura adottato. Nel SI, si ha:
G = 6,673•10-11 N•m²/kg².
D4. L'azione gravitazionale
esercitata da un corpo esteso è equivalente, in prima
approssimazione, a quella che si avrebbe se tutta la sua
massa fosse concentrata nel suo baricentro (vedi la
definizione D21 dell’Unità 3). Per questo, la distanza
fra i corpi soggetti a forze gravitazionali deve essere
misurata tra i baricentri (C1 e C2)
dei corpi stessi, e la forza gravitazionale ha la direzione
della retta che congiunge i due baricentri.
D5. La
sorgente della forza gravitazionale è detta massa
gravitazionale. In base a precise misurazioni, si può
affermare che essa è identica alla massa inerziale definita
nell’Unità 9. Questa uguaglianza giustifica la misura
indiretta della massa eseguita con le bilance (vedi la
definizione D28 dell’Unità 3) e costituisce il principio
di equivalenza su cui si fonda la teoria della relatività
generale di Einstein.
D6. A causa
del piccolo valore di G, l'interazione gravitazionale
è molto debole. Tuttavia, il fatto che questa forza sia
sempre attrattiva e che agisca tra tutti i corpi comporta che
tutti i suoi effetti si sommino, in un raggio d'azione
praticamente infinito. Così, in presenza di grandi quantità
di materia, la gravità può dominare sulle altre forze, ed
è per questo motivo che la gravità gestisce fenomeni a
grande scala come il movimento di pianeti, stelle e galassie,
e determina l'evoluzione dell'universo.
| D7.
Per quanto detto nella definizione D1, applicando la legge di
gravitazione universale a un corpo di massa m
posto sulla superficie terrestre, si ottiene il suo
peso p: p = G • M • m / R² con M = massa della Terra, e R = raggio della Terra (cioè la distanza tra il baricentro della Terra e la sua superficie, vedi la definizione D4). |
 |
D8.
Confrontando la formula precedente con quella data nella
definizione D13 dell’Unità 9 si ottiene:
g = G • M / R²
Inserendo i dati relativi alla Terra in questa formula (presi dalla Tabella 11 dell’Unità 2), si ricava il valore della accelerazione di gravità introdotto nella definizione D23 dell’Unità 7, che risulta così dipendere solo dalla massa e dal raggio del pianeta.
D9. La legge
di gravitazione universale consente di spiegare il moto
orbitale dei pianeti e dei satelliti. Essa fornisce
infatti un fondamento teorico alle tre leggi di Keplero,
che erano state formulate in base all'osservazione del moto
dei pianeti, prima della scoperta di Newton.
D10. La prima
legge di Keplero, o legge delle orbite, afferma
che tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche (vedi Nota 1), aventi il Sole in uno dei fuochi.
D11. La seconda
legge di Keplero, o legge delle aree, afferma che
il segmento congiungente un pianeta con il Sole percorre aree
uguali in tempi uguali.
D12. La terza
legge di Keplero, o legge dei periodi, afferma che
i quadrati dei periodi di rivoluzione di due pianeti intorno
al Sole T1 e T2 stanno
fra loro come i cubi delle rispettive distanze medie dal Sole
r1 e r2: T1²
/ T2² = r13 /
r23
D13. Limitandosi al caso
particolare delle orbite circolari, si può calcolare
la velocità orbitale (vc ) che deve
avere un pianeta o un satellite per mantenersi in orbita,
imponendo che in ogni punto della sua orbita la forza
centripeta necessaria per incurvare la sua traiettoria sia
uguale alla forza gravitazionale: Fc = Fg.
Sostituendo le formule rispettive, si ha:
m • vc² / r = G • m • M / r²
da cui, semplificando, si ottiene la velocità orbitale vc:
vc
=
dove M è la massa del corpo centrale (il Sole per i pianeti, e il pianeta per i satelliti) e r è il raggio orbitale.
D14. Per
velocità diverse da vc si hanno le orbite ellittiche.
Il limite inferiore delle velocità orbitali è costituito
dalla velocità cui corrisponde un'orbita che interseca il
corpo centrale, mentre il limite superiore è costituito
dalla velocità di fuga.
D15. La velocità di fuga (vf
) è la velocità che ha un pianeta o un satellite
quando la sua energia cinetica è uguale al lavoro necessario
per strapparlo dall'attrazione del corpo centrale (vedi
l’Unità 10). Si può dimostrare che:
vf
= 
Un corpo orbitante dotato di questa velocità si allontana indefinitamente dal corpo centrale, seguendo un'orbita parabolica. Per velocità superiori a vf, si ottengono orbite iperboliche.
D16. La
gravitazione universale spiega anche il fenomeno delle maree,
i periodici sollevamenti e abbassamenti delle acque marine
dovuti alle differenti forze di gravità esercitate dalla
Luna e dal Sole sulla parte solida e sulla parte liquida
(mari e oceani) della Terra.
Le ellissi sono curve chiuse che fanno parte della famiglia delle coniche (le figure geometriche che si possono ottenere sezionando un cono con un piano). A questa famiglia appartengono anche la circonferenza, la parabola e l'iperbole.
Le ellissi possiedono molte proprietà geometriche, una delle quali può essere sfruttata per disegnare l'ellisse stessa mediante un filo, una matita e due spilli. Fissando le due estremità del filo a due punti A e B, la cui distanza reciproca sia minore della lunghezza del filo, si traccia una ellisse facendo scorrere la matita in modo da tenere teso il filo. I parametri caratteristici dell'ellisse che si ottiene sono la lunghezza del filo e la distanza tra i due punti A e B, detti fuochi dell'ellisse, che risultano in posizione simmetrica rispetto al centro della figura.
Se la lunghezza del segmento AB non è molto minore della lunghezza del filo, l'ellisse risulta molto pronunciata (è questo il caso delle orbite cometarie), mentre se la lunghezza di AB è molto piccola l'ellisse tende a confondersi con una circonferenza (e questo è il caso delle orbite planetarie). Si ha la circonferenza quando AB = 0.
Considerando che l'ellisse di figura rappresenti un'orbita con il Sole in uno dei fuochi, il punto D1 di minima distanza dal Sole si dice perielio, mentre il punto D2 di massima distanza è detto afelio (nel caso dell'orbita di un satellite intorno alla Terra, questi due punti sono detti rispettivamente perigeo e apogeo). La distanza D1D2 è l'asse maggiore dell'ellisse (che è pari alla "lunghezza del filo" nel procedimento di costruzione della figura visto sopra).
