Svolgimento
1200 giri al minuto equivalgono a: f = 1200 /
60 = 20 giri al secondo, quindi, f = 20 Hz (vedi le
definizioni D7-D8).
Il periodo si ottiene dalla frequenza invertendo la formula
data nella definizione D9:
T = 1 / f
Quindi, si ha: T = 1
/ 20 Hz = 0,05 s.
Nella tecnica, i "giri al minuto" vengono spesso
indicati con la sigla RPM (dall'inglese Rotations Per
Minute). Per esempio: 1200 giri al minuto = 1200 RPM.
Quindi: 1 RPM = 1/60 Hz.
Per il calcolo della velocità bisogna innanzitutto
trasformare il diametro in metri: D = 20 cm = 0,2 m.
Poiché il diametro è
il doppio del raggio (D = 2 r), la formula data nella
definizione D4 si
può riscrivere così:
v = p D / T
Quindi si ha: v =
3,14 • 0,2 m / 0,05 s = 12,56 m/s.
Infine, l'accelerazione centripeta si ottiene applicando la
formula data nella definizione D5, tenuto conto che il raggio della
ruota è 0,1 m:
ac
= (12,56 m/s)² / 0,1 m = 1577,5 m/s²
E2. Il
"cambio" di una automobile è un sistema di
ingranaggi, ovvero di ruote dentate accoppiate fra loro in
modo variabile, che consente la trasmissione alle ruote del
movimento generato dal motore. Se una ruota del diametro di 8
cm che gira con la frequenza di 3000 giri al minuto, è
accoppiata a una ruota di 6 cm di diametro, con quale
frequenza girerà quest'ultima?
Svolgimento
Si può calcolare la frequenza in funzione della
velocità e del diametro; infatti, invertendo la formula data
nella definizione D4, si ha:
T = 2 p
r / v
da cui, per la definizione D9, si ha: f = v / 2 p
r = v / p D
A causa dell'accoppiamento realizzato dai denti delle
ruote, le loro velocità periferiche sono uguali; quindi, la
frequenza di rotazione dipende solo dai diametri delle ruote,
rispetto alle quali è inversamente proporzionale, come
risulta da questa formula (vedi la Nota
1 nell’Unità
1).
Si può impostare così la proporzione inversa:
f1
• D1 = f2
• D2
Sostituendo i valori, si ha:
3000 giri/min • 8 cm = f2 •
6 cm
da cui si ricava:
f2
= 3000 giri/min • 8 cm / 6 cm = 4000 giri al
minuto.
E3. Un pendolo
lungo 50 cm compie 10 oscillazioni in 14,2 s. Calcolare quale
sarebbe il suo periodo se la lunghezza fosse 1,5 m.
Svolgimento
Il periodo attuale del pendolo è la durata di una
singola oscillazione (vedi la definizione D6). Quindi: T1 =
14,2 s / 10 = 1,42 s
mentre l1 = 50 cm = 0,5 m.
Poiché il periodo è direttamente proporzionale alla radice
quadrata della lunghezza (vedi la definizione D12), si imposta la proporzione:
T1
/ 
=
T2 / 
Sostituendo i valori, si ha:
1,42 s / 
= T2
/ 
e quindi: T2 =
1,42 s •
/ 
= 2,46 s.
E4. Una ruota
gira con il periodo di 2,3 s. Calcola la sua frequenza e
quanti giri compie in un'ora.
Svolgimento
La sua frequenza è l’inverso del periodo,
quindi: f = 1 / 2,3 s = 0,43 Hz
Questo significa che la
ruota compie 0,43 giri al secondo, perciò in un’ora,
che contiene 3600 secondi, la ruota compirà: 3600 •
0,43 = 1565,2 giri
E5. Una ruota
gira con la frequenza di 2,7 Hz. Calcola il periodo, e la
velocità e l'accelerazione centripeta di un punto distante
15 cm dal centro.
Svolgimento
Il periodo è l’inverso della frequenza, quindi: T = 1 /
2,7 Hz = 0,37 s.
La velocità del punto,
il cui raggio di rotazione è 15 cm (= 0,15 m) è:
v = 2
• 3,14 • 0,15 m / 0,37 s = 2,54 m/s
L'accelerazione centripeta
è:
a = (2,54
m/s)2 / 0,15 m = 43,2 m/s².
E6. Calcola la velocità orbitale (in
km/s) e l'accelerazione centripeta della Luna e dei pianeti
del sistema solare, nell'ipotesi che i moti orbitali siano
circolari uniformi (ricava i dati necessari dalla Tabella
11 dell’Unità
2). Disponi i risultati in un grafico e prova a scoprire che
relazione c'è tra la velocità orbitale e il raggio orbitale
dei pianeti.
Svolgimento
Risolviamo qui il problema relativamente al caso del pianeta
Giove, essendo gli altri del tutto analoghi. Dalla Tabella
11 ricaviamo i dati
necessari:
raggio
orbitale = 7,78•108 km = 7,78•1011
m
periodo = 11y 314d 20h 8m =
11 • 3,156•107 s + 314 • 86400 s +
20 • 3600 s + 8 • 60 s = 34,716•107
s + 2,713•106 s + 72.000 s + 480 s = 3,4994•108
s
(i dati necessari per la
trasformazione di anni e giorni in secondi si trovano nella Tabella
2 dell’Unità
1).
Quindi, la velocità orbitale è:
v = 2
• 3,14 • 7,78•1011 m /
3,4994•108 s = 13962 m/s = 13,962 km/s
e l’accelerazione
centripeta:
ac
= (13.962 m/s)2 / 7,78•1011
m = 2,5•10-4 m/s2
E7. Un satellite
artificiale ruota intorno alla Terra all'altezza di 250 km e
alla velocità di 7,76 km/s. Quanto tempo (in ore e minuti)
impiega per descrivere un'orbita?
Svolgimento
Per calcolare la lunghezza dell'orbita del satellite, bisogna
ricordare che il suo raggio orbitale è dato dal raggio
terrestre (= 6378 km, vedi Tabella
11 nell’Unità
2) più l’altezza del satellite rispetto alla superficie
terrestre. Quindi:
r =
6378 km + 250 km = 6628 km = 6,628•106 m
Poiché la velocità
orbitale del satellite è 7,76 km/s ( = 7760 m/s), il periodo
del satellite si calcola come segue:
T = 2
• 3,14 • 6,628•106 m / 7760 m/s =
5364 s.
Tolta un’ora (= 3600 s)
da questo tempo, rimangono 1764 s, equivalenti a: 1764 s / 60
= 29,4 min. Quindi, l'orbita del satellite dura circa 1h 29m.
E8. A quale
velocità dovrebbe volare un aereo per non vedere mai
tramontare il Sole, se si trovasse a 10.000 m d'altezza sulla
verticale dell'equatore?
Svolgimento
L'aereo deve contrastare il moto verso Est della Terra - che
compie un giro in 24 h - volando nella direzione contraria.
Quindi, deve poter percorrere in questo tempo una
circonferenza di raggio pari alla somma del raggio terrestre
e della quota dell’aereo (10.000 m = 10 km). Allora:
r =
6378 km + 10 km = 6388 km
v = 2
• 3,14 • 6388 km / 24 h = 1672 km/h
L’aereo deve volare
alla velocità di 1672 km/h.
E9.
Un'automobile percorre una curva di raggio 150 m alla
velocità di 110 km/h. Calcola la sua accelerazione
centripeta in unità g.
Svolgimento
Essendo la velocità dell’auto uguale a 110 km/h / 3,6 =
30,55 m/s, la sua accelerazione centripeta è:
ac
= (30,55 m/s)2 / 150 m = 6,22 m/s2
Per calcolare questo valore
in unità g bisogna ricordare la definizione D23
dell’Unità 7.
Si ha: 6,22 m/s2 / 9,8 = 0,635 g
E10. Un pendolo
lungo 35 cm oscilla sulla Terra con un periodo di 1,19 s. Con
quale periodo oscillerebbe sulla Luna?
Svolgimento
Il periodo del pendolo è inversamente proporzionale
alla radice quadrata dell’accelerazione di gravità.
Poiché l’accelerazione di gravità sulla Terra è 9,8
m/s2, mentre sulla Luna è 1,62 m/s2
(vedi definizione D23 ed esercizio E11
dell’Unità 7),
il periodo T sulla Luna si trova tramite la seguente
proporzione:
1,19 s •
= T
• 
da cui:
T = 1,19 •
3,13 / 1,27 = 2,93 s.
Quindi, il periodo del pendolo sulla Luna sarebbe di 2,93 s.
E11. L'atomo di
idrogeno è costituito da un elettrone che ruota intorno ad
un protone compiendo circa 6•1015
rivoluzioni al secondo. Calcola la frequenza in gigahertz di
questo movimento e la velocità dell'elettrone in frazioni
della velocità della luce.
Svolgimento
Poiché 1 GHz = 109 Hz, la frequenza 6•1015
Hz equivale a 6•1015 / 109 =
6•106 GHz.
Per rispondere alla seconda domanda occorrono il raggio
dell’atomo di idrogeno e la velocità della luce, che
sono riportati nella Tabella 4 dell’Unità 2. Poiché r =
5,29•10-11 m, la velocità orbitale (che si
ottiene moltiplicando la circonferenza per la frequenza) è:
v = 2
• 3,14 • 5,29•10-11 m •
6•1015 Hz = 1,99•106 m/s
Ora, poiché la velocità
della luce è c = 2,998•108 m/s, la
velocità dell’elettrone è:
v =
1,99•106 m/s / 2,998•108 m/s
= 0,0066 c.
ESPERIENZE E ATTIVITÀ
A1. Usa il
piatto del tuo giradischi come una fonte di moto circolare
uniforme a due diverse velocità: 33 e 45 giri al minuto. In
quanti minuti il piatto compie 100 giri nei due casi? Calcola
la frequenza (in hertz) e il periodo. Quanti centimetri al
secondo percorre la puntina del giradischi all'inizio e alla
fine di un disco nei due casi? (fai le misure delle
rispettive distanze dal centro con un doppio decimetro).
A2. Sospendi
un pendolo sulla verticale del piatto del giradischi e regola
la sua lunghezza in modo che oscilli con lo stesso periodo di
rotazione del piatto (disponi un oggetto sulla periferia del
piatto, che possa servire da riferimento). Quali analogie
riesci a notare tra il moto del pendolo e il moto circolare
uniforme?
A3. Verifica
le proprietà del pendolo, usando un cronometro per la misura
dei periodi. Anche un orologio da polso va bene, purché sia
dotato almeno della misura dei secondi. E' sempre bene
misurare il tempo impiegato ad effettuare molte oscillazioni
(10 o più), e dividere il tempo per il numero di
oscillazioni.
Controlla così se il periodo dipende dalla ampiezza di
oscillazione, dalla massa, dalla lunghezza (sempre
limitandoti alle piccole oscillazioni). Fai queste prove una
per una, lasciando costanti gli altri parametri. Fai i
grafici dei risultati (periodo-massa, periodo-ampiezza,
periodo-lunghezza) e commentali.
A4. Rifai
l'esperimento precedente, facendo compiere al pendolo delle
oscillazioni molto ampie, e misura l'entità delle variazioni
dei risultati rispetto alla teoria formulata riguardo le
piccole oscillazioni.
A5.
Costruisci un pendolo con un filo estensibile (un elastico,
una molla lunga e sottile, o altro). Cerca di disegnare la
traiettoria che compie durante una oscillazione (prova a
proiettarne l'ombra su un muro mediante una lampada) e
controlla le deviazioni dalla teoria.
A6. Studia
le oscillazioni libere e longitudinali dello stesso strumento
usato per l'esperienza precedente. Determina l'ampiezza delle
oscillazioni e il periodo. Come dipendono queste grandezze
dalle caratteristiche della molla e dalla tensione iniziale?
(vedi le definizioni D10-D11
dell’Unità 3)
Il periodo è costante? e l'ampiezza?
