La Quadratura del Cerchio: segue a "Principi di Geometria Fondamentale", capitoli I-V

Capitolo VI: La geometria del compasso

Quando i matematici  moderni parlano del compasso, in realtà non sanno come funziona, perché non ne hanno riconosciuto la vera descrizione data da Archimede nella prima delle sue definizioni nel trattato "Sulle spirali", che è la seguente ed è anche il nostro comma successivo:

19°) Se una retta tracciata su un piano ruota con velocità uniforme intorno a un estremo, che rimane fisso, e torna continuamente alla posizione da cui è partita, e se, nello stesso tempo che la retta ruota, un punto si muove con velocità uniforme lungo la retta cominciando dall'estremo che rimane fisso, il punto descriverà una spirale nel piano.

Dal momento che i moderni, matematici o fisici che siano, non hanno occhi per vedere, non si sono accorti che il comunissimo loro compasso non ha solo un movimento di rotazione, ma ne ha anche un altro lineare di apertura. Se, invece di far solo ruotare lo strumento per tracciare dei cerchi, lo avessero usato con entrambi i movimenti a velocità uniforme, si sarebbero stupiti a "vedere" finalmente sul loro foglio da disegno - invece di un cerchio - la spirale, appunto, che chiamiamo "di Archimede", e che ha passo costante, perché il raggio è proporzionale all'angolo di rotazione. La punta esterna del compasso si muove precisamente lungo una retta nel movimento di apertura e questa retta ideale ruota con lo strumento, mentre questo continua ad aprirsi.

Abbiamo così trovato il giusto compasso per dimostrare il teorema del comma che segue, senza nulla di nostro (salvo le peculiarità del procedimento seguito), ma sulla base esclusiva delle scoperte matematiche del grande Archimede. Sarà perfettamente inutile tirare in ballo le conclusioni di Lindemann (1882) sulla trascendenza di pi greco, che riguardano i cerchi fatti col compasso dei "ciechi" e non la spirale di Archimede. Tuttavia quello del compasso non è il solo problema, come vedremo tra poco.

20°) TEOREMA: Con l'uso del compasso, come descritto da Archimede, e di una squadra qualsiasi, è possibile "rettificare" una circonferenza di raggio dato e quindi, con procedimenti già noti, "quadrare" il cerchio.

Dopo avere stabilito che il compasso da usare non deve servire preliminarmente per fare cerchi ma per tracciare una spirale, si entra su un secondo terreno minato. E' vero, infatti, che Archimede dopo quella definizione dimostra coi teoremi 18, 19  e 20 che la sua spirale permette di rettificare la circonferenza (e, ovviamente, noi ci limitiamo qui a richiamare quei teoremi, già assolutamente dimostrati). Ed è altrettanto vero che i moderni, pur avendo equivocato sulla funzione del compasso, conoscono senz'altro la dimostrazione di Archimede, che i lettori troveranno citata e descritta nel fascicolo dedicato ad Archimede da "LE SCIENZE", nella serie "I grandi della scienza". Ma sussiste ancora una difficoltà che sembra insuperabile nella fase della costruzione geometrica, pur effettuato il tracciamento della spirale col compasso ridefinito: cioè quella di determinare la tangente - indispensabile per il procedimento - in un punto della spirale, il che Archimede fa solo teoricamente. Giustamente Pier Daniele Napolitani, autore del fascicolo ora citato, là dove dice: "Archimede determina la rettificazione della circonferenza", aggiunge: "o, meglio, riduce il problema della rettificazione a quello di tracciare la tangente alla spirale". Faccio allora presente che, per il procedimento particolare che ora descriverò, è sufficiente tracciare la tangente non in un punto dato della spirale, il che è impossibile con gli strumenti in causa, ma in uno non predeterminato, il che si può fare, come vedremo subito.

Si tracci col compasso, così come descritto da Archimede, una spirale con origine nel polo O. Dopo il primo giro e prima del termine del secondo ogni raggio della spirale sarà diviso in due segmenti: il minore all'interno, con estremo nel polo, e il maggiore all'esterno, con estremo sulla spirale. Il segmento maggiore è il "passo" costante della spirale. Si tracci una semiretta OH con origine nel polo, che attraversi la spirale tra il primo e il secondo giro. Si muova la squadra PQR lungo OH da H verso O fino al punto B di tangenza del cateto PQ con la spirale (Archimede,"Sulle spirali", teorema 13). Tracciato il raggio OB, si prolunghi la tangente PBQ fino al punto T di incontro con la sottotangente, ossia con la perpendicolare ad OB in O. Sul raggio OB il segmento CB è il passo della spirale. Da C si conduca la parallela a BT fino all'incontro con la sottotangente in D. Dai teoremi 18, 19 e 20 di Archimede si dimostra che il segmento DT è la circonferenza rettificata di raggio OB.  Riportato quindi sulla sottotangente il segmento OV=DT, si tracci il segmento BV. Sulla semiretta OB sia dato il raggio a piacere di una circonferenza da rettificare: per esempio, ON. Condotta da N la parallela a BV fino all'incontro con la sottotangente in M, sarà OM il segmento che rettifica la circonferenza data, per evidente legge di proporzionalità. Con procedimenti già noti si passerà quindi a costruire prima il rettangolo OEFG equivalente al cerchio dato e poi il quadrato OXYZ di pari area.

Si è così realizzata la visione di Dante nell'ultimo canto della Divina Commedia, quando si paragona al "geomètra che tutto s'affige / per misurar lo cerchio, e non ritrova, / pensando, quel principio ond'elli indige". Dopo sette secoli, il principio è stato ritrovato.

Napoli, 12 novembre 2001

NOTA 1.  L'argomento del capitolo VI ha in comune solo il titolo con l'opera matematica di Lorenzo Mascheroni (1750-1800), riguardando qui il compasso di Archimede - come detto sopra - e non quello incompleto dei matematici moderni.

Il compasso dei "ciechi" (i matematici moderni)

Il compasso del Creatore (definito da Archimede)

Biblioteca Nazionale di Vienna, Bibbia del XIII secolo, da Losapevi dell'arte, Electa Mondadori

NOTA 2. Il compasso normale (il primo), usato per il solo movimento circolare, non può rettificare la circonferenza, né - di conseguenza - quadrare il cerchio, così come ha dimostrato matematicamente Lindemann, e potrebbe stare nelle mani dei Ciechi del famoso quadro di Brueghel. Il secondo, invece, presenta anche il regolo per l'apertura lineare, secondo la precisa definizione fatta da Archimede nel trattato Sulle spirali, e quadra esattamente il cerchio col procedimento dello stesso Archimede e nostro (comma 20°).

NOTA 3. Il "compasso del Creatore" - o di Archimede -  non è uno strumento solo teorico, utile esclusivamente a quadrare il cerchio, ma è usato in modo continuo e necessario dalla natura come guida fisico-geometrica di tutte le strutture circolari, che ruotano gravitazionalmente con i loro punti di intensità lungo spirali di Archimede (La Fisica Unigravitazionale e l'Equazione Cosmologica, sez. III, cap. IV a), §§ 5 e 12 sgg.; nel libro, pagg. 89 e 98 sgg.). Ne diamo due immagini,  relative rispettivamente alla materia cosiddetta inerte e a quella biologica:  

La Fisica e l'Atomo, Le spirali di crescita su un cristallo di carburo di silicio, Zanichelli editore Bologna

Enciclopedia Italiana, "Dattiloscopia", Schemi di impronte digitali