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Risolutore universale di equazioni

Roberto Ricci

docente di Matematica e Fisica al Liceo Scientifico "A. Righi" di Bologna

 

La figura illustra l'apparecchio ideato nel 1751 e chiamato da Diderot nell'Encyclopedie: 'Constructeur universelle d'equations' che possiamo tradurre con 'Risolutore universale di equazioni'. Il meccanismo si compone di aste rigide che a un estremo possono scorrere lungo un'asse, quello delle ordinate, per rappresentare opportunamente i coefficienti dell'equazione e che, collegate a due altre aste rigide disposte perpendicolarmente, una fissa per l'unit e l'altra scorrevole in direzione delle ascisse, possono tracciare il grafico del polinomio in questione. Gli zeri si trovano come intersezioni con l'asse delle ascisse.

Con Cabri semplice riprodurre il funzionamento della macchina, e cos possibile rendersi conto del funzionamento e riflettere per comprenderne le ragioni matematiche .

Supponiamo di voler risolvere l'equazione ax+bx+cx+d = 0. Tracciato un sistema di assi cartesiani ortogonali si fissa l'unit sull'asse x, quindi sull'asse y i punti d'=d, c'=d'+c, b'=c'+b, a'=b'+a. E cos via nel caso di grado maggiore di 3.

Si traccia la retta passante per (0,b') e (1,a'). Ad essa appartiene il punto (x, ax+b'). Si traccia la retta per (0,c') e (1,ax+b'). Ad essa appartiene il punto (x,ax+bx+c'). Si traccia la retta per (0,d') e (1,ax+bx+c'). Ad essa appartiene il punto (x,ax3+bx2+cx+d).

E' interessante osservare anche, mediante qualche semplice calcolo, che le rette per b', d' e c' hanno pendenza rispettivamente a, ax+b, ax+bx+c, che quindi P ha ordinata ax+bx+cx+d.

Orbene allo scorrere di x lungo l'asse delle ascisse, P traccia il luogo di punti y=ax+bx+cx+d e quindi coincide con x quando quest'ultimo uno zero.

Possiamo dire che il dispositivo un tracciatore di grafici di polinomi di grado n.

Tuttavia esiste un altro modo ancora pi semplice, riproducibile con Cabri, per risolvere questo stesso problema, nell'ipotesi preliminare non restrittiva che a=1. Tale metodo risale a Bombelli.

Si crea innanzitutto una retta OA. Si costruisce per O la perpendicolare ad OA, e su questa si crea il punto B. Si costruisce poi per B la perpendicolare ad OB, e su questa si crea il punto C. Si costruisce inoltre per C la perpendicolare a BC, e su quest'ultima retta si crea il punto D. La costruzione prosegue analogamente per grado superiore a 3. Infine si crea un punto variabile x sulla retta OB, si crea il segmento di estremi in questo punto e in A, poi si costruisce da questo punto la retta perpendicolare al segmento. Costruito il punto in comune tra questa retta e BC, da questo si costruisce la perpendicolare alla stessa retta.

Quando l'intersezione tra quest'ultima retta e CD coincide con D, allora x una radice dell'equazione di terzo grado x+bx+cx+d quando, nel riferimento cartesiano di centro O e assi BO e AO, si ha che A(0,-1), B(-b,0), C(-b,-c), D(-b+d,-c).

Nel caso di figura l'equazione ha tutte e tre le radici reali.

Si pu spiegare il metodo con considerazioni ancora analitiche:
y = -x0(x-x0) e y=-c+(x+b-d)/x0 sono le equazioni della prima e dell'ultima retta costruita.
Se queste due rette si intersecano in un punto di BC dovr aversi -x0(-b-x0) =-c+(-b+b-d)/x0, il che appunto x0+bx0+cx0+d = 0