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Centro di massa con Cabri

di Roberto Ricci

 

 

Come rappresentare con Cabri masse puntiformi sul piano? come realizzare macrocostruzioni per costruire il centro di massa di due masse puntiformi?

Per rappresentare una massa puntiforme ci si può servire, ad esempio, di una circonferenza il cui centro sarà il corpo puntiforme mentre il raggio sarà proporzionale alla massa. Di conseguenza, create due circonferenze, per costruire il centro di massa di due corpi puntiformi da queste rappresentate potremo, ad esempio:

	costruire i centri P e Q delle due circonferenze date, punti che rappresentano i corpi puntiformi;
	creare il segmento PQ;
	costruire la perpendicolare da P al segmento PQ;
	costruire la perpendicolare da Q al segmento PQ;
	costruire le intersezioni tra queste perpendicolari e le circonferenze; 
	creare un segmento che unisca due di tali intersezioni e che intersechi il segmento PQ;
	costruire il punto C' l'intersezione tra questo segmento e PQ;
	costruire il punto medio M del segmento PQ;
	costruire il punto C simmetrico di C' rispetto a M.

Il punto C è effettivamente il centro di massa. Infatti, facendo riferimento alla figura, detti r1 e r2 i raggi delle circonferenze di centro rispettivamente P e Q, proporzionali rispettivamente alle masse m1 e m2 dei corpi puntiformi P e Q, per la similitudine tra i triangoli rettangoli APC' e BQC', si può dire che PC': r1 = QC': r2 e quindi QC/PC = PC'/QC' = r1/r2 = m1/m2.

Alternativamente potremo, ad esempio:

	costruire i centri P e Q delle due circonferenze;
	creare il segmento PQ;
	costruire la perpendicolare p da P al segmento PQ;
	costruire la perpendicolare q da Q al segmento PQ;
	costruire le intersezioni tra p e la circonferenza di centro P;
	costruire la parallela da uno di questi punti, detto A,  al segmento PQ;
	costruire l'intersezione A' tra questa e la retta q;
	costruire le intersezioni tra q e la circonferenza di centro Q;
	costruire da uno di questi punti B, opposto ad A rispetto alla retta PQ, la parallela a PQ ;
	costruire l'intersezione B' tra questa e la retta p;
	creare il segmento A'B';
	costruire il punto C intersezione A'B' e PQ.

Con un ragionamento analogo al precedente si può dimostrare che C è ancora il centro di massa cercato.

La macrocostruzione in ogni caso dovrà fornire come risultato un corpo puntiforme secondo la nostra rappresentazione: una circonferenza di centro nel centro di massa e raggio somma dei raggi delle circonferenze che rappresentano le due masse date. Perciò, ad esempio, aggiungeremo alla precedente costruzione:

	costruire il punto medio tra C e B;
	costruire il simmetrico di A' rispetto al punto appena costruito;
	costruire la circonferenza di centro C e passante per il punto appena costruito.

Nella descrizione della macrocostruzione, dopo aver selezionato l'opzione Macro-costruzioni del menu Diversi, saranno indicati come oggetti iniziali le circonferenze date e come oggetto finale la circonferenza così costruita.

Così si potrà iterare la macrocostruzione, nuova opzione del menu Costruzioni, per ottenere il centro di massa di più di due corpi puntiformi.

Anche per non rischiare di ingenerare una cattiva abitudine a pensare che la massa di un corpo sia legata alle sue dimensioni lineari, si potrà utilizzare una diversa rappresentazione delle masse puntiformi: creato un punto nel piano, indicheremo la sua massa su una retta prefissata, posto su essa il punto 0. Così è possibile realizzare una costruzione valida anche per masse negative.

Ad esempio, creata la retta m, costruiti i punti 0, m1 e m2 su questa, creati i punti P1 e P2, corpi puntiformi di masse rispettivamente m1 e m2, potremo servirci dei passi seguenti per costruire il centro di massa:

	costruire il punto medio tra P1 e m2;
	costruire il punto A simmetrico di 0 rispetto al punto appena creato;
	costruire il punto medio tra 0 e P2;
	costruire il punto B simmetrico di m1 rispetto al punto appena creato;
	creare la retta AB;
	creare la retta P1P2;
	costruire il punto C intersezione tra le rette AB e P1P2;
	costruire il punto medio tra m1 e m2;
	costruire il punto m1+m2 simmetrico di 0 rispetto al punto appena costruito.

Naturalmente la macrocostruzione dovrà avere come oggetti iniziali la retta su cui sono rappresentate le masse, i punti 0, m1 e m2 su di essa, i punti P1 e P2 , e come oggetti finali il punto m1+m2 e il punto C.

Per convincersi della correttezza della costruzione è sufficiente osservare che le due rette AP1 e BP2 sono parallele e quindi i due triangoli AP1C e BP2C sono simili; poiché AP1/ BP2 = m2/m1, allora anche P1C / CP2 = m2/m1.

Si potrà in tal modo constatare ad esempio che il baricentro di un triangolo, punto intersezione tra le mediane, è il centro di massa quando i vertici hanno la stessa massa; oppure che l'incentro di un triangolo, punto intersezione delle bisettrici e centro della circonferenza inscritta, coincide con il centro di massa quando ciascun vertice ha massa proporzionale alla lunghezza del lato opposto.

 

Bibliografia

R.Ricci, Punti notevoli dei triangoli, su: La matematica e la sua didattica, N.1 Gen-Mar 94, Pitagora ed., Bologna, pp.39-43