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Le trasformazioni geometriche

Cosa sono?

 

Trans-formare = mutare conservando un’identità

( anche calcolare è trasformare: un’espressione, una formula)

Questioni Spinose

 

 

Sono la stessa figura ?

b è la stessa di a traslata

c è la stessa di a traslata e ruotata

d è la stessa di a traslata, ruotata, dilatata

Infine sono tutte un’unica fugura: il segmento orientato.

Le figure geometriche sono parte (insieme di punti ) del piano (spazio) ma ….

 

Sono la stessa figura ? hanno una comune identità ?



Dilatando lungo una direzione

Importante è vedere la figura come un "pieno" e quindi la T.G. tra punti.

Proiettando oppure comprimendo lungo una direzione

invecchiando…

(stessa) identità = equivalenza rispetto a una classe di trasformazioni

Le isometrie non cambiano: forma, grandezza; cambiano:

Le similitudini non cambiano: forma; cambiano:

Le affinità (es.: ombre solari) non cambiano: parallelismo, rapporti tra aree, limitato/illimitato; cambiano: perpendicolarità, forma

Le proiettività) (es.: prospettiva, ombre) non cambiano allineamento, n° vertici; cambiano: limitato/illimitato

Le trasformazioni topologiche (es. specchi deformanti, ombre su superfici non piane,..), non cambiano dentro/fuori, n° "buchi, strappi"

(Un puzzle è un esempio di trasformazione del piano che cambia tutto)

Trasformando lo spazio con una certa trasformazione non vediamo alcuna differenza in quell’ottica geometrica tra la figura e la sua immagine

Le isometrie non distinguono segmenti orientati con la stessa lunghezza: dati due segmenti orientati con la stessa lunghezza ce n’è sempre una e una sola che trasforma il primo nel secondo.

Le similitudini non distinguono segmenti orientati: dati due segmenti orientati ce n’è sempre una e una sola che trasforma il primo nel secondo, in particolare tutti i quadrati sono uguali

Le affinità non distinguono triangoli (né parallelogrammi): dati due triangoli ce n’è sempre una che trasforma uno nell’altro.

Le collineazioni non distinguono quadrilateri neanche da "angoli senza punta"

Le trasformazioni topologiche non distinguono tra figure senza tagli, con lo stesso n° di buchi…

Proprietà’ che persistono dopo i cambiamenti

Esempi di figure

classe di trasformazioni

Tipo di geometria

metriche lunghezza, distanza, grandezza

Il triangolo equilatero di lato tot, il cerchio di raggio tot

isometrie

 

geometriche principali rapporto tra distanze, angoli, perpendicolarità, forma

Il triangolo equilatero,

il cerchio

similitudini

Geometria Euclidea

affini

parallelismo, rapporto tra le aree

Il triangolo,

il cerchio

affinità

Geometria affine

proiettive allineamenti, centro di simmetria

Parte di piano tra tre rette, la conica

proiettività

Geometria Proiettiva

topologiche

interno, n° di "buchi"

Figura senza "buchi"

trasf. topologiche

Topologia

Su, giù, sopra, sotto, destra, sinistra … non sono proprietà geometriche

Non esiste il triangolo isoscele, il rettangolo

 

Isometrie ( o congruenze) = Movimenti rigidi anche fuori del piano

Equiestensione (tutte le figure con il tangram hanno la stessa area)

 

Tutti i movimenti rigidi del piano (anche uscendone) si possono ottenere componendo simmetrie assiali