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Trasformazioni lineari con Cabri-Géomètre

di Roberto Ricci, Liceo scientifico "A.Righi" di Bologna

1. Costruzioni di base

Una trasformazione lineare è una trasformazione nel piano che a punti fa corrispondere punti e con le seguenti proprietà:

  1. (almeno) un punto O è unito,
  2. a rette corrispondono rette,
  3. se ai punti allineati A, B e P corrispondono rispettivamente i punti A', B' e P', allora sulla retta A'B', presi A' come 0 e B' come 1, il punto P' ha la stessa ascissa che ha P sulla retta AB, presi A come 0 e B come 1.
Per costruire il corrispondente P' di un punto P in una trasformazione lineare che ai punti (1,0) e (0,1) fa corrispondere rispettivamente i punti (a,c) e (b,d) si può seguire il procedimento descritto nel seguito.

Figura 1

1° PASSO) Se la retta OP non è parallela alla retta per (1,0) e (0,1), costruire il punto S che ne è l'intersezione (fig. 1).

Figura 2

2° PASSO) Costruire sulla retta s' che passa per (a,c) e (b,d) - corrispondente della retta s che passa per (1,0) e (0,1) - il punto S' in modo che (fig. 2) la sua posizione su questa retta, presi (a,c) come 0 e (b,d) come 1, sia uguale alla posizione del punto S sulla retta s, presi (1,0) come 0 e (0,1) come 1.
Ciò può realizzarsi, ad esempio, costruendo il punto V simmetrico di (1,0) rispetto al punto medio tra (0,1) e (a,c), in modo che V completi il parallelogramma di vertici (a,c), (1,0) e (0,1), e, analogamente, il punto U simmetrico di (1,0) rispetto al punto medio tra S e (a,c); costruendo infine, quando U e V non appartengono a s', il punto S' intersezione della retta s' con la parallela per U alla retta per V e (b,d).

Figura 3

3° PASSO Costruire sulla retta OS' il punto P' corrispondente di P in modo che OP/OS = OP'/OS'; ciò, ad esempio (fig. 3), quando S non coincide con S', costruendo P' come intersezione tra la retta OS' e la parallela per P al segmento SS'.

Una tale costruzione può essere facilmente realizzata con Cabri e diviene sufficientemente stabile anche per i casi limite per i quali la costruzione descritta è impossibile.

Preliminarmente saranno creati, in particolare, i punti (1,0) e (0,1), i punti (a,c) e (b,d) ad essi corrispondenti , ed inoltre il punto variabile P del quale costruire il corrispondente: 
Creare un punto  (Creazione/Punto)
Indicare con O il punto appena costruito  (Edizione/Nomi)
Creare un punto  (Creazione/Punto)
Indicare con 10 il punto appena costruito (Edizione/Nomi)
Creare un punto  (Creazione/Punto)
Indicare con 01 il punto appena costruito (Edizione/Nomi)
Creare il punto corrispondente di 10 nella trasformazione lineare  (Creazione/Punto)
Indicare con ac il punto appena creato  (Edizione/Nomi)
Creare il punto corrispondente di 01 nella trasformazione lineare  (Creazione/Punto)
Indicare con bd il punto appena creato  (Edizione/Nomi)
Creare un punto  (Creazione/Punto)
Indicare con P il punto appena creato  (Edizione/Nomi)
Nel seguito della costruzione si realizza il 1° passo del metodo indicato: 
Creare la retta s per 10 e 01  (Creazione/Retta per 2 punti)
Creare la retta s' per ac e bd  (Creazione/Retta per 2 punti)
Creare la retta per O e P  (Creazione/Retta per 2 punti)
Costruire il punto S comune alle rette s e OP  (Costruzione/Intersezione di 2 oggetti)
Nel seguito della costruzione si realizza il 2° passo del metodo indicato: 
Costruire il punto medio tra 01 e ac  (Costruzione/Punto medio)
Costruire il punto V simmetrico di 10 rispetto al punto medio appena costruito  (Costruzione/Simmetrico di un punto)
Costruire il punto medio tra S e ac  (Costruzione/Punto medio)
Costruire il punto U simmetrico di 10 rispetto al punto medio appena costruito  (Costruzione/Simmetrico di un punto)
Creare la retta di estremi V e bd   (Creazione/Retta per due punti)
Costruire la retta parallela per U a tale segmento  (Costruzione/Retta parallela)
Costruire il punto S' comune a questa e alla retta s'  (Costruzione/Intersezione di 2 oggetti)
Nel seguito della costruzione si realizza il 3° passo del metodo indicato: 
Creare il segmento di estremi S e S'  (Creazione/Segmento)
Costruire la retta per P parallela a tale segmento (Costruzione/Retta parallela)
Creare la retta OS'  (Creazione / Retta per 2 punti)
Costruire il punto  comune a queste ultime due rette  (Costruzione/Intersezione di 2 oggetti
Indicare con P' il punto appena costruito (Edizione/Nomi)
Una tale costruzione può divenire infine macrocostruzione Cabri, che è possibile memorizzare su disco e far comparire come opzione del menu Costruzione,da utilizzare per costruire direttamente il corrispondente di un punto o dei vertici di una spezzata: 
Registrare la macrocostruzione (Macrocostruzioni/Nuova/selezionare nell'ordine: punti O, 10, 01, ac, bd  e  P / 
fine degli oggetti iniziali / selezionare il punto P'/ fine degli oggetti finali / nominare T(P) la macro / registrare un messaggio di aiuto come: 
"Indicare in questa successione: i punti O, 10, 01, ac, bd, il punto P . Il punto costruito è corrispondente di P nella trasformazione lineare 
che ai punti 10 e 01 fa corrispondere rispettivamente ac e bd" /  salvare su disco la macro / 
scegliere ad esempio la directory MACRO e digitare il nome  TRASFLIN)
Osserviamo che la costruzione proposta è invertibile; infatti, a parte alcuni casi limite, si può: 
dato P',  costruire S' sulla retta per (a,c) e (b,d),
costruire sulla retta per (1,0) e (0,1) il punto S  di cui S' è il corrispondente,
costruire P come intersezione della retta OS e della retta per P' parallela a S'S;
così si può realizzare anche una macrocostruzione Cabri per la trasformazione lineare inversa di una trasformazione lineare data, assegnata mediante i punti (a,c) e (b,d) corrispondenti rispettivamente dei punti (1,0) e (0,1).

paginedi Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione