UN METODO PER DISEGNARE FIGURE RICORSIVE

Roberto Ricci

Liceo Scientifico "A Righi", Bologna

Un noto tipo di approccio alla risoluzione dei problemi consiste in un'analisi che conduce alla scomposizione del problema in sottoproblemi più semplici. Può essere descritto nel modo seguente:

Risolvere il problema P:

		se   si conosce una risoluzione di P

Quando almeno uno dei sottoproblemi è dello stesso tipo del problema in esame si ha una descrizione nota come ricorsiva. Ad esempio i famosi paradossi di Zenone sono legati a descrizioni ricorsive. Il paradosso di Achille e la tartaruga è legato, ad esempio, a una descrizione come la seguente:

	Inseguire la tartaruga che ha vantaggio d:
		percorrere lo spazio d
		inseguire la tartaruga che ha vantaggio d·vt/vA

dove vA e vt sono rispettivamente la velocità di Achille e quella della tartaruga, con vA > vt. Molto noto è anche il paradosso dell'impossibilità del movimento, basato sulla descrizione seguente:

	Andare dal punto A al punto B:
		andare dal punto A al punto medio del segmento AB
		andare dal punto medio del segmento AB al punto B.

Tali descrizioni sono in effetti paradossali, o meglio non corrispondono a procedimenti effettivamente realizzabili. Un procedimento effettivamente realizzabile analogo all'ultimo citato è descritto di seguito.

Andare dal punto A al punto B:
	se  la distanza AB è superiore a un passo
 allora
		andare dal punto A al punto medio del segmento  AB
		andare dal punto medio del segmento AB al punto B
 altrimenti
		fare un passo da A a B.

A volte, dovendo tracciare a mano libera un segmento di estremi assegnati e troppo lontani tra loro per la nostra mano insicura, può capitare di seguire un procedimento come il seguente

Congiungere A e B con un segmento:
 se A e B sono abbastanza vicini
	allora
		tracciare il segmento AB
	altrimenti
		individuare il punto medio M del segmento AB
		congiungere A e M con un segmento
	 	congiungere M e B con un segmento.

Tale procedimento ha la stessa struttura dell'ultimo descritto nel paragrafo precedente, derivato dal paradosso di Zenone sull'impossibilità del movimento.Semplicemente per il gusto di generalizzare si potrebbe variare il procedimento nel modo seguente

Congiungere A e B:
 se A e B sono abbastanza vicini
	allora
		tracciare il segmento AB
	altrimenti
		individuare mediante un assegnato criterio, 	[riferito ad AB, un punto qualsiasi C
		congiungere A e C
		congiungere C e B.

Si capisce subito che non è un "buon procedimento", che originerebbe facilmente una linea divergente, a meno di non sottoporre a delle limitazioni le distanze e . Se imponessimo ad esempio che == otterremmo una linea, una curva ricorsiva, approssimativamente uguale a quella della figura seguente:

Ancora per il piacere di generalizzare si può esaminare il procedimento seguente:

	Congiungere A e B:
 se A e B sono abbastanza vicini
	allora
	 tracciare il segmento AB
	altrimenti
	individuare i vertici V1=A,V2,....,Vn=B diuna spezzata simile ad una assegnata
    congiungere V1 e V2
		      ...................
    congiungere Vn-1 e Vn.

Realizzare un disegnatore automatico TurboPascal - nel seguito ci riferiamo alla vs. 3.0 per I.B.M. compatibili con scheda grafica CGA - di curve ricorsive del tipo generale descritto precedentemente è un'attività di laboratorio d'informatica e matematica che può essere affrontata nel corso del triennio in una scuola secondaria superiore. Tra i prerequisiti sarà richiesta la capacità di usare il costruttore di tipo 'ARRAY' e di costruire semplici procedure e funzioni. Occorrerà inoltre aver introdotto la procedura predefinita 'draw' per tracciare un segmento di estremi assegnati. Le coordinate dei punti sul video dell'elaboratore saranno riferite al sistema cartesiano discreto che viene reso disponibile con il comando 'graphMode'. Supponendo di rappresentare la spezzata campione con estremi (0,0) e (1,0), occorrerà utilizzare un metodo per costruire una spezzata simile a quella ma con estremi A e B qualsiasi. Il modo più semplice è forse il seguente: detto pq il piano i cui assi coordinati sono descritti dai versori e , essendo il vettore perpendicolare al vettore ,

si può riconoscere che, detto P un punto qualsiasi di coordinate (p,q) nel piano pq, = + = + p + q o anche, dette xA e yA le coordinate di A, xB e yB le coordinate di B, x e y le coordinate di P nel piano xy,

x = xA + p(xB-xA) + q(yA-yB)

y = yA + p(yB-yA) + q(xB-xA).

Un semplice programma in TurboPascal è dunque il seguente:

const
nVert=16;
type
punti=array [1..2] of real;
spezzata=array [1..nVert] of punti;
var
A0,B0:punti;
p,q:array[1..nVert] of real;
i,n,risoluzione:integer;


function dist(P,Q:punti):real;
begin
	dist:=sqrt(sqr(P[1]-Q[1])+sqr(P[2]-Q[2]))
end;

procedure determina_vertici(A,B:punti;var V:spezzata);
var i:integer;
begin
for i:=1 to n do
begin
V[i][1]:=A[1]+p[i]*(B[1]-A[1])+q[i]*(A[2]-B[2]);
V[i][2]:=A[2]+p[i]*(B[2]-A[2])+q[i]*(B[1]-A[1]);
end
end;

procedure congiungi(A,B:punti);
var V:spezzata;
i:integer;
begin
if dist(A,B) < risoluzione
	then
		draw(round(A[1]),GetMaxY-round(A[2]),	 round(B[1]),GetMaxY-round(B[2]),1)
	else
		begin
		determina_vertici(A,B,V);
		for i:=1 to n-1 do
		congiungi(V[i],V[i+1]);
	end
end;

begin
write('Numero di vertici della spezzata = '); readln (n);
writeln('introduci le coordinate (p,q) dei vertici della spezzata');
for i:= 1 to n do
	begin
			write ('p[',i,'] = '); read(p[i]);
			write ('q[',i,'] = '); readln(q[i]);
			writeln;
	end;
write('risoluzione del disegno = '); read(risoluzione);
A0[1] := 100; A0[2] := 100;
B0[1] := 200; B0[2] := 200;
graphMode;
congiungi(A0,B0);
readln;
textMode
end.

Naturalmente le curve ricorsive disegnate automaticamente col metodo descritto sopra sono soltanto delle approssimazioni di curve che possono essere solo immaginate, a cui tendono le curve disegnate quando la risoluzione tende a zero. Un esempio famoso di curva ricorsiva è il "fiocco di neve" di Helge von Koch,

che si ottiene a partire dalla spezzata i cui vertici sono descritti nella tabella seguente

 
		p	q
	V1 	0	0
	V2	1/3	0
	V3	1/2	
	V4	2/3	0
	V5	1	0

Un altro esempio di curva ricorsiva nota, con una spezzata di base semplice, è "le chiese" di Dekking

che si ottiene considerando i seguenti vertici di base

		p	q
	V1	0	0
	V2	1/3	0
	V3	1/3	1/3
	V4	2/3	1/3
	V5	2/3	0	
	V6	1	0		

Naturalmente il programma descritto nel paragrafo precedente offre, data la sua versatilità, la possibilità di studiare altre diverse curve ormai classiche e le loro varianti, ma stimola anche la caccia di altre curve interessanti.

B.Mandelbrot: Gli oggetti frattali, Einaudi, Torino 1987

S.Carmelo:'Schemi ricorsivi', in: L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate', vol.16, n°2, feb.93