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Un'oscillazione elementare u di ampiezza A, pulsazione w (positiva), periodo T e frequenza f, con w = 2p/T = 2pf e fase iniziale f rappresentata dalla funzione

u(t) =Acos(wt + f)

Non restrittivo supporre A non negativo; infatti per l'identit cos(t +p) = -cos(t), possiamo scrivere
Acos(wt + f) = (-A)cos(wt + (f + p) )
ancora un'oscillazione elementare di ampiezza -A, pulsazione w, periodo T = 2p/w e fase iniziale f+p.

Considerare tale funzione come parte reale della funzione complessa
Ae i(wt + f)
comporta dei vantaggi matematici.

Tale famiglia di funzioni complesse "stabile" rispetto a combinazioni lineari.

Cio se u1 e u2 sono di questo tipo,
lo anche
hu1 + ku2
qualsiasi h e k reale non negativo.

Infatti:
essendo evidente che sia hu1 sia ku2 sono dello stesso tipo, sufficiente mostrare che lo anche la somma di due funzioni:

u1(t) =A1cos(wt + f1) = Re A1e i(wt +f1),

u2(t) =A2cos(wt + f2) = Re A2e i(wt + f2)

la loro somma si scrive

u1(t) +u2(t) = Re A1e i(wt + f1)+ Re A2e i(wt + f2) =
= Re (A1e if1 + A2eif2 )e iwt =
= Re Ae ife iwt = Re Ae i(wt + f)

essendo il numero complesso Ae if somma dei due numeri complessi A1e if e A2 e if

Da qui l'idea - dovuta all'ingegnere americano Charles Proteus Steinmetz (1865-1923) - di rappresentare
la funzione u(t) =Acos(wt + f)
mediante il numero complesso z = Ae if, di modulo A e argomento (= fase) f.

Tale famiglia di funzioni "stabile" anche rispetto alla derivazione

Inoltre se la funzione u(t) rappresentata dal numero complesso z,

u'(t) rappresentata dal numero z' =iwz,

ruotato di un angolo retto in senso positivo e con modulo variato del fattore w

Infatti

se u(t) =Acos(wt + f), allora (in base alla formula di addizione del coseno)

u'(t) = -wAsin(wt + f)=

=wAcos(wt + (f + p/2) )

associata al numero complesso wAe i(f+p/2)= iwAe if tenendo conto che e ip/2 = i.


pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione