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Una trasformazione del tipo

 	 	 	     AP + B
			P' = ¾¾¾¾,  quando C¹0 e AD-BC¹0
 		   	     CP + D
si chiama trasformazione bilineare o di Möbius; si pu verificare col calcolo che conserva il birapporto.

Dati due triangoli ABC e A'B'C', c' sempre una e una sola trasformazione bilineare che li fa corrispondere; la sua equazione (A'B'C'P')=(ABCP).

In tale trasformazione, circonferenze o rette vengono trasformate in circonferenze o rette (vedere in precedenza le propriet del birapporto).

Conviene considerare anche, oltre alle trasformazioni bilineari dirette di equazione (A' B' C' P') = (ABCD), le trasformazioni bilineari inverse di equazione (A' B' C' P') = (ABCD)* - la trasformazione P'=(AP*+B)/(CP*+D) si ottiene componendo un'trasformazione bilineare diretta con un'inversione -

Esercizi

  1. Verifica che P’=(ABCP) pu scriversi nella forma
         (B - C)P + (C - B)A 
     P'= ——————————————————— 
         (A - C)P + (C - A)B 
    
  2. Verifica che una trasformazione bilineare pu sempre mettere nella forma
    P'= (A1 B1 C1 P) ,
    dove A1= - B/A, B1= - D/C, C1= (B- D)/(C- A) = (ACB)- (ACD).
  3. Studia la trasformazione P’=(ABCP).
    1. Osserva che
    2. la circonferenza per ABC si trasforma nella retta reale, A'=0, B'= , C'=1, che (CAB) = (ABC ),
    3. ogni circonferenza per B si trasforma in retta,
    4. le rette per B si trasformano in rette per (CAB),
    5. ogni altra retta in una circonferenza per (CAB)
    6. .
  4. La trasformazione P’=(ABCP)=( 1/(A-B) 1/(C-B) 1/(P-B) ) si pu vedere come composta da:
    1. una inversione principale di centro B la cui equazione P B+ 1/(P-B)*,
    2. una similitudine di equazione P ( B+1/(A-B)* B+1/(C-B)* P )* dove a 0 e 1 corrispondono rispettivamente i simmetrici di A e c nella inversione principale di centro B.
  5. La trasformazione inversa di P’=(ABCP) P = (A1 B1 C1 P’) dove
    A1 = (ABC0) = (CAB) A/B,
    B1=(CAB)= 1 - 1/(ABC) = (ABC ) ,
    C1 = (ABC1) = (CAB) (A-1)/(B-1).
    In particolare P' = (ABCP) equivale a (0 1P') = (ABCP).
  6. Una trasformazione del tipo P P’ sse (ABCP)=(A’B’C’P’) pu sempre scriversi nella forma P’=(TP+U)/(VP+W) e anche P'=( (A'B'C'0) (A'B'C' ) (A'B'C'1) (A'B'C'P) ).
  7. In particolare (ABCP) = (A'C'P') equivale a (ABCP) = (A' C'P').
  8. Studia le trasformazioni di equazione
                AP + BP* + C
          P' = ————————————————  
                DP + EP* + F
    
  9. Verifica che la trasformazione di equazione
                AP + B
          P' = ——————————    con AA* – BB* = 1
                B*P + A
    
    ovvero
                   P – B
          P' = A  ————————   con |A| = 1  e  |B| ¹  1
                  1 – B*P
    
    trasforma il cerchio unitario in s

pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione