Dati due triangoli ABC e A'B'C', c'è sempre una e una sola trasformazione bilineare che li fa corrispondere; la sua equazione è (A'B'C'P')=(ABCP).

In tale trasformazione, circonferenze o rette vengono trasformate in circonferenze o rette (vedere in precedenza le proprietà del birapporto).

Conviene considerare anche, oltre alle trasformazioni bilineari dirette di equazione (A' B' C' P') = (ABCD), le trasformazioni bilineari inverse di equazione (A' B' C' P') = (ABCD)* - la trasformazione P'=(A·P*+B)/(C·P*+D) si ottiene componendo un'trasformazione bilineare diretta con un'inversione -

Esercizi

1. Verifica che P’=(ABCP) può scriversi nella forma

        (B - C)P + (C - B)A 
    P'= ——————————————————— 
        (A - C)P + (C - A)B 
   

2. Verifica che una trasformazione bilineare può sempre mettere nella forma
   P'= (A₁ B₁ C₁ P) ,
   dove A₁= - B/A, B₁= - D/C, C₁= (B- D)/(C- A) = (ACB)- (ACD).
3. Studia la trasformazione P’=(ABCP).
Osserva che
1. la circonferenza per ABC si trasforma nella retta reale, A'=0, B'=¥ , C'=1, che (CAB) = (ABC¥ ),
2. ogni circonferenza per B si trasforma in retta,
3. le rette per B si trasformano in rette per (CAB),
4. ogni altra retta in una circonferenza per (CAB)
.
4. La trasformazione P’=(ABCP)=( 1/(A-B) 1/(C-B) 1/(P-B) ) si può vedere come composta da:
   1. una inversione principale di centro B la cui equazione è P® B+ 1/(P-B)*,
   2. una similitudine di equazione P® ( B+1/(A-B)* B+1/(C-B)* P )* dove a 0 e 1 corrispondono rispettivamente i simmetrici di A e c nella inversione principale di centro B.
5. La trasformazione inversa di P’=(ABCP) è P = (A₁ B₁ C₁ P’) dove
   A₁ = (ABC0) = (CAB) A/B,
   B₁=(CAB)= 1 - 1/(ABC) = (ABC¥ ) ,
   C₁ = (ABC1) = (CAB) (A-1)/(B-1).
   In particolare P' = (ABCP) equivale a (0¥ 1P') = (ABCP).
6. Una trasformazione del tipo P® P’ sse (ABCP)=(A’B’C’P’) può sempre scriversi nella forma P’=(TP+U)/(VP+W) e anche P'=( (A'B'C'0) (A'B'C'¥ ) (A'B'C'1) (A'B'C'P) ).
7. In particolare (ABCP) = (A'C'P') equivale a (ABCP) = (A'¥ C'P').
8. Studia le trasformazioni di equazione

               A·P + B·P* + C
         P' = ————————————————  
               D·P + E·P* + F
   

9. Verifica che la trasformazione di equazione

               A·P + B
         P' = ——————————    con AA* – BB* = 1
               B*·P + A
   

   ovvero

                  P – B
         P' = A  ————————   con |A| = 1  e  |B| ¹  1
                 1 – B*·P
   

   trasforma il cerchio unitario in sé