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Viene detto birapporto tra quattro punti A, B, C e P il rapporto 

 
	               (ACP)
             (ABCP) = ———— .
	               (BCP)

Coincide anche con il coniugato del rapporto semplice dei tre punti corrispondenti ad A, C e P nell'inversione rispetto a una qualunque circonferenza di centro B. 
         1    1    1
(ABCP)=(———  ———  ———) = (Ai Bi Pi)*
        A-B  C-B  P-B
lo si può verificare semplicemente col calcolo.

Si calcola facilmente, e si vede dalla figura, che (ABCA)=0, (ABCC)=1, (ABCB)=¥ .

Si calcola anche che (A¥ CP) = (ACP).

Questo significa che se aggiungiamo al piano complesso il punto ¥ , costruendo in tal modo una sfera, il numero (ABCP) rappresenta la posizione di P nella "sfera complessa" che ha A come punto 0, C come punto 1 e B come punto ¥.

Come risulta chiaro il significato del rapporto semplice quando viene associato alle similitudini, così sarà più chiaro il birapporto considerando le trasformazioni bilineari.

Esaminiamo alcuni risultati:

Si ha che (VSLM) = -1.

Infatti: nella proiezione da B

(VLSM) = (ATCM)

mentre da D

(SLVM) = (ATCM)

quindi

(VLSM) = ½

o anche (VSLM) = (1/2) / (1/2 - 1) = - 1

Teorema di Izvolsky (1929)

Se L, M e N dividono i lati del triangolo ABC secondo i rapporti a, b, c allora:

(ABLL') = (BCMM') = (CANN')= abc

 

Esercizi:

  1. La relazione di Eulero diventa: (ABCD) + (ADCB) = 1
  2. Verificare che (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA) (scambiando due coppie di nomi di vertici del quadrilatero ABCD e seguendo sempre i vertici nello stesso ordine )
  3. (ABDC) = 1/(ABCD)
    (ADCB) = 1 - (ABCD)
    (ADBC) = 1 / (1 - (ABCD))
    (ACDB) = ( (ABCD) - 1 )/ (ABCD)
    (ACBD) = (ABCD) / (ABCD) - 1)

  4. (¥ ABC) = (ACB) = 1/(ABC)
    (A¥ BC) = (ABC)
    (AB¥ C) = (CBA)
    (ABC¥ ) = (CAB)
  5. ( (ABCP) (ABCQ) (ABCR) (ABCS) ) = (PQRS)
  6. (ABCD) = (ABDC) quando (ABCD) = ± 1
    (ABCD) = (ADCB) quando (ABCD) = ½
    (ABCD) = (ADBC) quando (ABCD) =(1± i Ö 3)/2
    ecc...
  7. (ABC¥ ) = - 1 Û (CAB) = - 1 Û C= (A+B)/2
  8. (ABC¥ ) = l Û (CAB) = l Û C= (l A- B)/(l - 1)
  9. Si calcola che (ABXY) = (ABXZ) / (ABYZ)
  10. Si consideri un'omologia di asse Re e centro S, con A ® A'. Detti L e M le intersezioni tra AA' e l'asse e tra PP' e l'asse, da (P'M P S) = (A' L A S) si ottiene (P' P S)·Im(P)= (A' A S)·Im(A).
pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione