Si osservi questa sequenza di fatti:

Se A=CDÇC'D' e B= CC' Ç DD' allora (A B C D) = (A B C' D') . Infatti: posto T = CD'Ç AB, si consideri il triangolo CDD' e la retta AB; per il teorema di Menelao (ACD)(BDD')(TD'C) = 1 ; si consideri il triangolo C'D'C e la retta AB; per il teor di Menelao (AC'D') (TD'C)(BCC') = 1 ; Quindi (ACD)·(BDD') = (AC'D')·(BCC') ovvero (ACD)/(AC'D') = (BCC')/(BDD')=(BCD)/(BC'D') da cui (ACD) / (BCD) = (AC'D') / (BC'D' ) , la tesi.

(OABC) = (OA'B’C’) Infatti dal teorema di Menelao applicato al triangolo OAA’: (BOA)(SAA’)(B’A’O) = 1 e inoltre (COA)(SAA’)(C’A’O) = 1. Quindi (BCOA)(B’C’A’O) = 1 da cui (OABC) = 1 /(A’OB’C’) = (OA'B'C')

Da questo risultato si ritrova anche la relazione:

Ne concludiamo che questo valore, indipendente dalla secante scelta, si può chiamare di birapporto (a b c d) delle quattro rette

Ricordiamo anche che :

2·areaSAD Im(SAD) ———————— —————— sin(ad) SA·SD SD ——————— = —————————— = —————————— sin(ac) 2·areaSAC Im(SAC) ———————— —————— SA·SC SC 2·areaSBD Im(SBD) ———————— —————— sin(bd) SB·SD SD ——————— = —————————— = —————————— sin(bc) 2·areaSBC Im(SBC) ———————— —————— SB·SC SC da cui sin(ad) · sin(bc) Im(SAD) · Im(SBC) —————————————————— = —————————————————— = (abcd) sin(ac) · sin(bd) Im(SAC) · Im(SBD)

Così una proiettività in cui A®A', B®B', C®C' e D®D' ha equazione ( P'A' P'B' P'C' P'D') = (PA PB PC PD) .