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Poich (ABCP')=(ABCP)* l'equazione di una inversione rispetto alla circonferenza per i punti A, B e C, allora lequazione della circonferenza, luogo dei punti uniti nell'inversione, :

(ABCP)=(ABCP)*.

Si pu anche ricordare che in un'inversione di centro B le circonferenze per B corrispondono a rette e viceversa.


Questa immagine utile per dimostrare il Teorema di Tolomeo per i quadrilateri circoscrivibili.
Infatti, posto D= P, si ha: |Di–Ai| + |Ci–Di|=|Ci–Ai|
e quindi, preso lo zero in B e la circonferenza d'inversione di raggio unitario:
|1/D* – 1/A*| + |1/C* – 1/D*| = |1/C* – 1/A*|
che con qualche passaggio diventa:
|A – D| |C| + |D – C| |A| = |A – C| |D|

Teorema (dovuto a Carnot): se da un punto P di una circonferenza si mandano semirette che formano angoli uguali con i lati di un triangolo inscritto, allora le intersezioni delle semirette con i lati sono allineati.
Per dimostrarlo ricorriamo al teorema di Menelao. Detti A1A2A3 i vertici del triangoli,
K1 il punto su A2A3, K2 il punto su A3A1, K3 il punto su A1A2,
sufficiente verificare che (K1A2A3)(K2A3A1)(K3A1A2)=1
D'altra parte (K1A2A3) = (K1PA3) / (K1PA2);
I triangoli K1PA3 e K3PA1 sono simili,
come pure i triangoli K1PA2 e K2PA1, quindi
(K1A2A3) = (K3PA1) / (K2PA1);
Analogamente si verifica pure che:
(K2A3A1) = (K1PA2) / (K3PA2);
(K3A1A2) = (K2PA3) / (K1PA3);
e questo conduce alla tesi.
Quando le semirette sono perpendicolari ai lati, si ottiene il teorema di Simson

Esercizi

Verifica che
  1. Il centro della circonferenza per A, B e C media pesata dei tre punti con pesi rispettivamente Re(1/((B–A)(C–A)*)), Re(1/((A–B)(C–B)*)) e Re(1/((A–C)(B–C)*))
  2. Il quadrilatero ABCD inscrivibile in una circonferenza se e solo se (ABCD) un numero reale
  3. Il punto P sulla circonferenza per 0, A e B e allineato con (A+B)/2 vale:
        AA* + BB*
    P = ––––––––– 
          A*+B*
    
  4. (ABCD)=–1 quando D sta sulla circonferenza per A, B e C e A–B media armonica di C–B e D–B ( sfrutta l'uguaglianza (ABCD)=( 1/(A–B) 1/(C–B) 1/(D–B) ).
  5. Se (ABCD)=–1 allora, detto M il punto medio di CD, (D–M)2=(A–M)(B–M).
  6. Dal fatto che nell'inversione rispetto alla circonferenza per A, B e C il centro O corrisponde al punto , quindi (ABCO)=(ABC)*, verifica che O la media pesata di A e B con pesi rispettivamente (CAB) e -(CAB)*.
  7. Determina il centro della circonferenza per 0, 1 e A e l'intersezione con l'asse immaginario
  8. Poich (CAP')=1/(CAP) l'equazione dell'inversione rispetto alla circonferenza di centro C e passante per A, allora (CAP)=1/(CAP)* l'equazione della circonferenza di centro C e per A.
  9. Dimostra che se il triangolo ABC equilatero, P sta sulla circonferenza circoscritta ad ABC, allora PA = PC + PB (applica il teorema di Tolomeo).
  10. Poich l'angolo APB retto sse (PAB) sta sull'asse Im, allora (PAB)+(PAB)*=0 l'equazione della circonferenza di diametro AB.
  11. a P P* + b P + c P* + d = 0 l'equazione di una circonferenza se a¹0 , altrimenti di una retta
  12. | P(a+b)/2 – P*(a–b)/2 | =1 l'equazione di un'ellisse con assi coincidenti con gli assi Re ed Im,e su questi semiassi di lunghezze a e b.
  13. | P(a–ib)/2 + P*(a+ib)/2 | =1 l'equazione di un'iperbole con assi coincidenti con gli assi Re ed Im,e su questi semiassi di lunghezze a e b.
  14. P-(P)*- AA* =0 iperbole equilatera con assi coincidenti con assi Re ed Im.
  15. In generale per le coniche si può considerare la definizione come luogo dei punti che hanno costante (=e) il rapporto della distanza da un fuoco F e da una direttrice AB, ovvero 2(P–F)/((B–A)((ABP)–(ABP)*)) sta sulla circonferenza di centro 0 e raggio e
  16. In particolare le coniche si possono studiare come trasformate di circonferenze mediante omologie
  17. Considera la circonferenza ABC e verifica che:
    1. i punti P dell'arco AB contenente C soddisfano (ABCP)>0, gli altri (ABCP)<0;
    2. i punti P interni sono tali che Im( (ABCP) ) > 0, quelli esterni Im( (ABCP) ) < 0;
    3. i punti P sulla circonferenza per A e B ortogonale alla data verificano (ABCP)=–(ABCP)*;
    4. i punti P interni a quest'ultima circonferenza sono tali che Re( (ABCP) ) < 0, quelli esterni Re( (ABCP) ) > 0;

pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione