<< Inversione rispetto a un punto <
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<< Inversione rispetto a una circonferenza >>
L'inversione
rispetto alla circonferenza che passa per i punti A, B e C ha equazione
(ABCP')=(ABCP)*.
In particolare (ACP')=(ACP)* è l'equazione di un'inversione rispetto
a una circonferenza per B=¥, cioè la retta AC;
in effetti si tratta dell'equazione della simmetria di asse AC.
Quindi la simmetria assiale è un caso particolare di inversione rispetto a una circonferenza
(e per questo l'inversione si chiama anche simmetria rispetto a una circonferenza)
Più in generale, in un'inversione che faccia corrispondere i punti A', B', C' e D' ai punti
A, B, C e D, vale la relazione: (A' B' C' D')=(ABCD)*
Una costruzione particolarmente utile, che si può interpretare come costruzione nello spazio
tridimensionale, è la seguente
La circonferenza più piccola rappresenta una sezione di una sfera tangente in B al
piano complesso; il punto Q è corrispondente a P nella proiezione
stereografica, Q' è simmetrico di Q rispetto all'equatore della sfera
corrispondente alla circonferenza d'inversione, P' l'inverso di P rispetto
a questa.
L'inversione P'=1/P*,
si può anche scrivere come:
(0 ¥ 1 P') = (¥ 0 1 P)* .
Nell'inversione P'=1/P*:
rette per 0 sono trasformate in se stesse;
rette non per 0 sono trasformate in circonferenze per 0:
infatti se (ABP)=(ABP)* è una retta non per 0 la curva
corrispondente ha equazione (A B 1/P'*) = (A B 1/P'*)*
cioè (1/A 0 1/B P'*) = (1/A 0 1/B P'*)* in cui si
riconosce l'equazione di una circonferenza per 0, 1/A* e
1/B*;
un cerchio per 0 diventa una retta non passante per 0;
un cerchio non per 0 diventa un cerchio non per 0.
In particolare un'inversione di centro A e con circonferenza per B
ha equazione (A¥BP') =(¥ABP)* ovvero anche
(ABP')=1/(ABP)*.
In un'inversione di centro B, P' e Q' corrispondenti dei punti P e Q,
i triangoli BPQ e BP'Q' sono simili.
La media armonica Ma di due punti (che è anche la media pesata di A e B con pesi rispettivamente A e B) è inversa della media aritmetica degli
inversi dei due punti rispetto alla circonferenza di centro 0 e passante per 1. Sta quindi
sulla circonferenza per 0, A e B. Inoltre (A 0 B Ma)=1/2.
Analizzare il caso in cui la circonferenza d'inversione passa per la media geometrica di A e B.
P e P' si corrispondono in una simmetria rispetto a una circonferenza C
se e solo se le circonferenze per P e P' sono ortogonali a C.
Se P e Q sono simmetrici rispetto a una circonferenza C,
P', Q' e C' simmetrici di quelli rispetto alla circonferenza C1,
allora P' e Q' sono simmetrici rispetto a C'.
Analizzare la costruzione seguente che, dati due punti corrispondenti, costruisce il cerchio d'inversione di centro 0.
Data una circonferenza e una retta, costruire la sola inversione
che trasforma l'una nell'altra.
La media armonica di un insieme di punti complessi è il
punto simmetrico rispetto a una qualunque circonferenza di centro 0 del
punto media aritmetica dei simmetrici di quei punti rispetto alla stessa circonferenza.
Date tre circonferenze dello stesso fascio per B ed S, una qualunque retta per B
taglia le tre circonferenze in punti P1, P2 e P3. Si
ha che (P1 P2 P3) è costante. (Infatti nell'inversione rispetto
alla circonferenza C di centro B e passante per S i punti P1', P2' e P3' simmetrici
rispetto C di quelli dati stanno sulle rette per S
simmetriche delle circonferenze rispetto a C. Poiché il birapporto (P1' B P2' P3') è
invariante proiettivo e vale (P1 P2 P3)*, ecco la tesi)
La composizione di due riflessioni rispetto a una circonferenza è una similitudine