<< inizio complessi < ииииии << inizio sezione < ииииии << indietro < ииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииии > avanti >>

<< Inversione rispetto a un punto < ииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииииии << Inversione rispetto a una circonferenza >>

L'inversione rispetto alla circonferenza che passa per i punti A, B e C ha equazione

(ABCP')=(ABCP)*.


In particolare (ACP')=(ACP)* У l'equazione di un'inversione rispetto a una circonferenza per B=Ц, cioУ la retta AC; in effetti si tratta dell'equazione della simmetria di asse AC.
Quindi la simmetria assiale У un caso particolare di inversione rispetto a una circonferenza (e per questo l'inversione si chiama anche simmetria rispetto a una circonferenza)

Piщ in generale, in un'inversione che faccia corrispondere i punti A', B', C' e D' ai punti A, B, C e D, vale la relazione: (A' B' C' D')=(ABCD)*

Una costruzione particolarmente utile, che si puЫ interpretare come costruzione nello spazio tridimensionale, У la seguente

La circonferenza piщ piccola rappresenta una sezione di una sfera tangente in B al piano complesso; il punto Q У corrispondente a P nella proiezione stereografica, Q' У simmetrico di Q rispetto all'equatore della sfera corrispondente alla circonferenza d'inversione, P' l'inverso di P rispetto a questa.

Esercizi:

Verificare che

  1. (0ABC) = 1/(1/A 1/B 1/C)
    (A0BC) = (1/A 1/B 1/C)
    (AB0C) = ( 1/C 1/B 1/A)
    (ABC0) = (1/C 1/A 1/B)
  2. L'inversione P'=1/P*, si puЫ anche scrivere come:
    (0 Ц 1 P') = (Ц 0 1 P)* .
  3. Nell'inversione P'=1/P*:
    1. rette per 0 sono trasformate in se stesse;
    2. rette non per 0 sono trasformate in circonferenze per 0: infatti se (ABP)=(ABP)* У una retta non per 0 la curva corrispondente ha equazione (A B 1/P'*) = (A B 1/P'*)* cioУ (1/A 0 1/B P'*) = (1/A 0 1/B P'*)* in cui si riconosce l'equazione di una circonferenza per 0, 1/A* e 1/B*;
    3. un cerchio per 0 diventa una retta non passante per 0;
    4. un cerchio non per 0 diventa un cerchio non per 0.
  4. In particolare un'inversione di centro A e con circonferenza per B ha equazione (A¥BP') =(¥ABP)* ovvero anche (ABP')=1/(ABP)*.
  5. In un'inversione di centro B, P' e Q' corrispondenti dei punti P e Q, i triangoli BPQ e BP'Q' sono simili.
  6. La media armonica Ma di due punti (che У anche la media pesata di A e B con pesi rispettivamente A e B) У inversa della media aritmetica degli inversi dei due punti rispetto alla circonferenza di centro 0 e passante per 1. Sta quindi sulla circonferenza per 0, A e B. Inoltre (A 0 B Ma)=1/2.

    Analizzare il caso in cui la circonferenza d'inversione passa per la media geometrica di A e B.
  7. P e P' si corrispondono in una simmetria rispetto a una circonferenza C se e solo se le circonferenze per P e P' sono ortogonali a C.
  8. Se P e Q sono simmetrici rispetto a una circonferenza C, P', Q' e C' simmetrici di quelli rispetto alla circonferenza C1, allora P' e Q' sono simmetrici rispetto a C'.
  9. Analizzare la costruzione seguente che, dati due punti corrispondenti, costruisce il cerchio d'inversione di centro 0.

  10. Data una circonferenza e una retta, costruire la sola inversione che trasforma l'una nell'altra.
  11. La media armonica di un insieme di punti complessi У il punto simmetrico rispetto a una qualunque circonferenza di centro 0 del punto media aritmetica dei simmetrici di quei punti rispetto alla stessa circonferenza.
  12. Date tre circonferenze dello stesso fascio per B ed S, una qualunque retta per B taglia le tre circonferenze in punti P1, P2 e P3. Si ha che (P1 P2 P3) У costante. (Infatti nell'inversione rispetto alla circonferenza C di centro B e passante per S i punti P1', P2' e P3' simmetrici rispetto C di quelli dati stanno sulle rette per S simmetriche delle circonferenze rispetto a C. Poichж il birapporto (P1' B P2' P3') У invariante proiettivo e vale (P1 P2 P3)*, ecco la tesi)
  13. La composizione di due riflessioni rispetto a una circonferenza У una similitudine

pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione