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Per qualunque quadrilatero ABCD si calcola facilmente la relazione d'Eulero: (C–A)(D–B) = (C–B)(D–A) – (B–A)(C–D).

Il quadrilatero ABCD un

parallelogramma se e solo se A+C = B+D o anche (ACB) = (CAD) o anche (ABC) = (CDA);
il centro (A+B+C+D)/4 punto medio dei punti medi di AB e CD
;

rombo quando (ACB) = (ACD)*;

rettangolo quando (ABC) = (BAD)* o anche quando (DAB) = (CBA);

trapezio con AB // CD quando Im(ABC) = Im(ABD);

trapezio isoscele se (ABC) = (BAD)*;

quadrato quando (ABD) = (BCA) = i o anche (ABC) = 1+i e inoltre (ABD) = i,
Le altre intersezioni tra i lati del quadrilatero ABCD sono
    AIm(CDB) + BIm(DCA)
L= ——————————————————————
       Im(CDB)+Im(DCA))

    BIm(DAC) + CIm(ADB)
M= ——————————————————————
       Im(DAC)+Im(ADB)

    CIm(BDA) + AIm(DBC)
N= ——————————————————————
       Im(BDA)+Im(DBC)
Osserva inoltre ad esempio:
  • per il teorema di Menelao applicato a ABM
    (LAB)(CBM)(DMA) = 1 o anche
    (LAB)=(DAM)/(CBM);
  • per il teorema di Menelao applicato a ABN
    (LAB)(DBN)(CNA) = 1 o anche (LAB)=(CAN)/(DBN);
  • per il Teorema di Ceva applicato a ABC
    (LAB)(MBC)(NCA) = - 1.
Si pu verificare che se M = b/(a+b) allora L = -b/(a-b). Infatti:
A=(b+cS)/(b+c) e B=cS/(a+c). Dalla relazione (ABL) = (A*b*L) si ottiene il risultato
.
Si pu calcolare anche (M 0 1) = –(L 0 1), cio 0, M, 1 e L formano un gruppo armonico.
Esercizi

    Verifica che:

  1. L'intersezione P= ABÇCD tale che
            (D–C)*A+(C–A)*D+(A–D)*C
    (PBA) = ———————————————————————
            (D–C)*B+(C–B)*D+(B–D)*C
    
  2. in un quadrilatero ABCD si ha: (ABD)(BCA)(CDB)(DAC) = 1.
  3. nella figura seguente (PAB) / (PDC) = (PAD) / (PBC) ovvero (PAB)(PBC)(PCD)(PDA) = 1

pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione