Per qualunque quadrilatero ABCD si calcola facilmente la relazione d'Eulero: (C–A)(D–B) = (C–B)(D–A) – (B–A)(C–D).

Il quadrilatero ABCD è un

parallelogramma se e solo se A+C = B+D o anche (ACB) = (CAD) o anche (ABC) = (CDA);
il centro è (A+B+C+D)/4 punto medio dei punti medi di AB e CD;

rombo quando (ACB) = (ACD)*;

rettangolo quando (ABC) = (BAD)* o anche quando (DAB) = (CBA);

trapezio con AB // CD quando Im(ABC) = Im(ABD);

trapezio isoscele se (ABC) = (BAD)*;

quadrato quando (ABD) = (BCA) = i o anche (ABC) = 1+i e inoltre (ABD) = i,

Le altre intersezioni tra i lati del quadrilatero ABCD sono A·Im(CDB) + B·Im(DCA) L= —————————————————————— Im(CDB)+Im(DCA)) B·Im(DAC) + C·Im(ADB) M= —————————————————————— Im(DAC)+Im(ADB) C·Im(BDA) + A·Im(DBC) N= —————————————————————— Im(BDA)+Im(DBC) Osserva inoltre ad esempio: per il teorema di Menelao applicato a ABM (LAB)(CBM)(DMA) = 1 o anche (LAB)=(DAM)/(CBM); per il teorema di Menelao applicato a ABN (LAB)(DBN)(CNA) = 1 o anche (LAB)=(CAN)/(DBN); per il Teorema di Ceva applicato a ABC (LAB)(MBC)(NCA) = - 1.

Si può verificare che se M = b/(a+b) allora L = -b/(a-b). Infatti: A=(b+cS)/(b+c) e B=cS/(a+c). Dalla relazione (ABL) = (A*b*L) si ottiene il risultato . Si può calcolare anche (M 0 1) = –(L 0 1), cioè 0, M, 1 e L formano un gruppo armonico.

Esercizi

Verifica che:

1. L'intersezione P= ABÇCD è tale che

           (D–C)*A+(C–A)*D+(A–D)*C
   (PBA) = ———————————————————————
           (D–C)*B+(C–B)*D+(B–D)*C
   

2. in un quadrilatero ABCD si ha: (ABD)·(BCA)·(CDB)·(DAC) = 1.
3. nella figura seguente (PAB) / (PDC) = (PAD) / (PBC) ovvero (PAB)(PBC)(PCD)(PDA) = 1