Il rapporto semplice di tre punti A, B e P, da indicare con
(ABP) è il rapporto
P – A
————— .
B – A
Con questa notazione:
(ABP) = (A'B'P') oppure (ABP)* = (A'B'P') ÜÞ
i due triangoli ABP e A'B'P' sono simili.
Ovvero (ABP) = (A'B'P') e (ABP)* = (A'B'P') sono le equazioni delle due similitudini nelle quali P®P'
quando A®A' e B®B'.
Il punto (ABP) ha, relativamente al piano complesso Π0 1,
la stessa posizione del punto
P relativamente al piano complesso ΠA B.
(ABP) possiamo chiamarlo anche coordinata complessa
del punto P nel piano ΠA B.
Esercizi:
Servendoti della precedente figura convinciti che
(ACB) = 1/(ABC)
(BAC) = 1 – (ABC)
(CBA) = (ABC)/((ABC) – 1)
(CBA) = – (ABC) / (BAC)
Dimostra con il calcolo le proprietà precedenti e quelle seguenti
(ABC)·(BCD) = (ABD)
Posto P = (a·A + b·B)/(a+b), media pesata di A e B con pesi rispettivamente a e b, si ha
(ABP) = b/(a+b) , (BAP) = a/(a+b), (PAB) = –a/b.
Se z e la coordinata complessa di P nel piano ΠA B, allora P = (1–z)·A+z·B.
Ovvero P = (BAP)·A + (ABP)·B
(A' B' C') = ( (ABA') (ABB') (ABC') )
(P' S O) = (P O S) è l'equazione della simmetria di centro nel punto medio tra O e S
(S O P') = —(S O P) è, qualunque sia il punto O, l'equazione della simmetria di centro S
P' è simmetrico di P rispetto ad OS ÜÞ (O S P') = (O S P)*
(S O P') = 1/(O S P) Û S-O è medio proporzionale in senso complesso tra P'-O e P-O.
Ovvero (S O P)' = 1/(O S P) è l'equazione della inversione di centro S
Studiare altre trasformazioni di equazione del tipo (O S P') = (P O S), (O S P') = (S P O)*, ...
P' corrisponde a P nell'inversione rispetto alla
circonferenza di centro A e passante per B ÜÞ (ABP')= 1/(ABP)*.