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L'equazione complessa di una affinità è:
P' = R·P + S·P* + T con |R| ¹ |S| . |
Deforma le figure e tuttavia:
| trasforma rette in rette, | Tre punti P, Q e R sono allineati
quando P –Q e Q–R sono allineati con 0, cioè (P–Q)(Q–R)*–(P–Q)*(Q–R) = 0 o anche (P–Q)/(Q–R) = (P–Q)*/(Q–R)*; perciò in un'affinità a punti allineati corrispondono punti allineati |
| trasforma rette parallele in rette parallele, |
Due rette PQ e RS sono parallele
quando P-Q e R-S sono allineati con 0, cioè (P-Q)(R-S)*- (P-Q)*(R-S)=0; perciò a rette parallele corrispondono rette parallele. |
| conserva i rapporti tra le aree |
L'area di un triangolo PQR vale Im(
(P-Q)(Q-R)* ) /2 e quindi il triangolo corrispondente in
un'affinità ha area: Im( (P'-Q')(Q'-R')* ) /2 = Im( (AP+BP*-AQ-BQ*)(AQ+BQ*-AR-BR*)* ) /2 = = Im( (A(P-Q)+B(P-Q)*)(A(Q- R)+B(Q-R)*)* ) /2 = = Im( |A|2(P-Q)(Q-R)* + 2 Re (AB*(P-Q)(Q-R)) + |B|2(P-Q)*(Q-R) )/2 = = |A|2Im((P-Q)(Q-R)*) /2 + |B|2 Im( (P-Q)*(Q-R) )/2 = =(|A|2 -|B|2) Im((P-Q)(Q-R)*) /2 , cioè le due aree hanno rapporto costante dato da |A|2 - |B|2. |
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Le affinità conservano i centri di massa. In particolare a tre punti allineati
A,B e C corrispondono tre punti allineati A',B' e C' con lo stesso rapporto semplice:
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Conservando il rapporto d'area, l'equazione di un'affinità che al triangolo ABC fa
corrispondere il triangolo A'B'C' è infatti anche
area(BCP)·A' + area(CAP)·B' + area(ABP)·C'
P' = —————————————————————————————————————————
area(ABC)
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Non è difficile verificare col calcolo che la composizione di due affinità è ancora un'affinità.