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Le isometrie dirette, che non cambiano l'orientamento, sono le rototraslazioni, quindi di equazione:

P' = RиP + T con |R|=1.

Le isometrie inverse, che cambiano l'orientamento, hanno equazione:

P' = SиP* + T con |S|=1

  sono composizione di una simmetria di asse reale e di una isometria diretta P' = SиP + T.

Componendo due isometrie si ottiene ancora una isometria:

componendo due isometrie dirette si ottiene ancora una isometria diretta se P' = R1P+T1 e P'' = R2P+T2 allora P'' = R2 (R1P+T1) + T2 = R2R1P + ( R2T1 + T2 )

con | R2R1| = | R2| |R1| = 1

componendo due isometrie inverse si ottiene isometria diretta: se P' = R1P*+T1 e P'' = R2P*+T2 allora P'' = R2 (R1P*+T1)* + T2 = R2R1*P + ( R2T1* + T2 )

con | R2R1*| = | R2| |R1*| = 1

componendo due isometrie una diretta e l'altra inversa si ottiene un'isometria inversa ad esempio: se P' = R1P*+T1 e P'' = R2P+T2 allora P'' = R2 (R1P*+T1) + T2 = R2R1P* + ( R2T1 + T2 )

con | R2R1| = | R2| |R1| = 1

Ogni isometria diretta puЫ essere ottenuta mediante composizione di due simmetrie assiali, ogni isometria inversa invece o У una simmetria assiale o puЫ essere ottenuta mediante composizione di tre simmetrie assiali.

Equazioni nel piano cartesiano con asse x = asse Re e asse y = asse Im se P = x+iy , R=a+ib, con a²+b²=1, e T=c+id allora P' = (a+ib)(x+iy) +c+id = (ax–by+c)+i(bx+ay+d) e ciЫ suggerisce le equazioni di una isometria diretta;

ì x' = ax + by + c
í
î y' = bx - ay + d

se P = x+iy , R=a+ib, con a²+b²=1, e T=c+id allora P' = (a+ib)(x–iy) +c+id = (ax+by+c)+i(bx–ay+d) e ciЫ suggerisce le equazioni di una isometria inversa.

ì x' = ax + by + c
í
î y' = bx - ay + d


pagine e figure in CabriJava di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione