La simmetria di asse coincidente con la retta dei reali ha equazione: P' = P* ; quella di asse coincidente con la retta dei numeri immaginari ha equazione: P' = – P* .
| La simmetria di asse 0S, con |S|=1
, ha equazione: P' = S2·P* |
Osserva che |P'| = |P| e 0S è bisettrice dell'angolo
P0P', dunque (arg(P') + arg(P))/2 = arg (S), cioè
arg(P') = 2 arg(S) - arg (P) = arg(S2P*).
La trasformazione è involutoria: S2(S2 P* )* = S2( S2 )* P = |S2|2 P = P .
Una simmetria
di asse 0S ha equazione: S P' = ———·P* S* |
P ' = ( S/|S| )2 P*;
poiché |S|2 = SS* potremo anche scrivere l'equazione nella forma indicata;
Osserva inoltre, dato che l'asse di simmetria è una retta di punti che corrispondono a se stessi (punti uniti), si può considerare P=(S/S*)P* ovvero S*P - SP*=0 come l'equazione complessa della retta 0S; in generale potremo dunque dire che due punti P e Q sono allineati con 0 quando Q*P - QP*= 0.
In generale una simmetria di asse
TS ha equazione :
S–T
P' = ———— ·(P–T) + T
(S–T)*
|
L'equazione della retta TS, come luogo dei punti uniti nella simmetria di asse TS, ha dunque forma:
(P- T)(S- T)*- (P- T)*(S- T)=0;
Una simmetria assiale conserva le lunghezze dei segmenti e le ampiezze degli angoli pur scambiandone il verso.
| Una ...: | si può scomporre in due simmetrie assiali con assi ...: | Infatti ...: |
| ...traslazione | ...paralleli | ...ad esempio una traslazione che fa
corrispondere a 0 il punto T può essere ottenuta
componendo una simmetria di asse per 0 e perpendicolare a
0T, quindi di equazione P' = iTP*/(iT)* = - TP*/T*, con una simmetria di asse coincidente con l'asse del segmento 0T; quest'ultima deve avere dunque equazione P'' = - T(P')*/T*+ T; poiché l'asse segmento 0T è il luogo dei punti uniti in questa simmetria, la sua equazione complessa risulta essere T*P+TP*- TT* = 0. |
| ...simmetria centrale | ...perpendicolari | ...componendo due simmetrie di asse 0S e 0V si ha P' = (V/V*)( (S/S*) P* )* e quindi P' = (VS*/(V*S) ) P e ciò rappresenta una simmetria di centro 0 se e solo se VS*/(V*S) = - 1 o anche VS*+V*S=0, relazione che rappresenta così la condizione di perpendicolarità tra le rette 0V e 0S |
| ...rotazione | altrimenti | ...ad esempio P' = R·P = (ÖR)²·(P*)*
significa che una rotazione di centro 0 in cui |
| Equazioni nel piano cartesiano con |
una simmetria di asse per 0 e inclinazione q rispetto all'asse reale
ha equazione P' = x cos2q + y sin2q + i(x sin2q – y cos2q ). Le equazioni cartesiane sono dunque
ì x' = x cos2q + y sinq í î y' = x sin2q – y cos2q ) |