Divisibilità

Dati due numeri naturali a e b, diciamo che a è divisibile per b se la divisione a:b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo che b è un divisore di a.

Definizione: Siano a, b due numeri interi, si dice che b divide a, in simboli a/b, se esiste un numero intero c tale che a=b*c.

Se un numero a è divisibile per b, allora a è multiplo di b. 

Criteri di divisibilità

CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 2: Basta guardare l'ultima cifra del numero: se è pari esso è divisibile per 2. Esempio: 254 è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra è pari.

CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 3: Se  la somma delle cifre del numero (fino a quando si arriva ad un numero di una cifra), è divisibile per 3, allora l'intero numero lo è.

Esempio: 6741 è divisibile per 3 perchè 6+7+4+1 = 18 = 1+8 = 9, che è divisibile per 3.

CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 9: Se  la somma delle cifre del numero (fino a quando si arriva ad un numero di una cifra), è divisibile per 9, allora l'intero numero lo è.

Esempio: 729 è divisibile per 9 perchè 7+2+9 = 18 = 1+8 = 9, che è divisibile per 9.

CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 4: Un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre sono o due zeri o un multiplo di 4.

Esempio: 712 è divisibile per 4 perchè 12 è multiplo di 4 , 712 : 4 = 178.

CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 5:Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.

Esempio: 645 è divisibile per 5 perchè l'ultima cifra è un 5.

CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 7: Un numero è divisibile per 7 se, chiamate D le decine ed U le unità, D - 2U è 0 o divisibile per 7. (Si può continuare ad applicare la regola finchè il numero di due cifre è facilmente verificabile.)

Esempio: 378 è divisibile per 7, perchè:37 - 2*8 = 21 è divisibile per 7, e quindi anche 378 lo è.

CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 10, 100, 1000 ... Un numero è divisibile per 10, 100, 1000 ecc se termina rispettivamente per 1, 2, 3 ... zeri.

CRITERIO DI DIVISIBILITA' PER 11: Se la differenza fra la somma delle cifre di posto dispari e la somma di quelle di posto pari è divisibile per 11 o è 0, allora l'intero numero è divisibile per 11.

Esempio: 957 è divisibile per 11 perchè 9 + 7 - (5) = 11, che è divisibile per 11.

Per sapere se un numero è divisibile per 11, oltre al criterio descritto, si può anche sottrarre l'ultima cifra al numero formato dalle altre; se si ottiene 0 o un multiplo di 11, il numero è divisibile.

Esempio. 957 è divisibile per 11 perché 95-7 = 88, che è multiplo di 11.

Così, con piccole variazioni si può stabilire se un numero è divisibile per 13, per 17 o per 19:
Per 13 : si sottrae l'ultima cifra al triplo del numero formato dalle altre.

Esempio 299 è divisibile per 13 perché 29*3-9= 78, che è multiplo di 13

Per 17 : si sottrae l'ultima cifra al numero formato dalle altre moltiplicato per 7.
Per 19 : si sottrae l'ultima cifra al numero formato dalle altre moltiplicato per 9.

Numeri primi inferiori a 200

Per calcolare il M.C.D. fra due o più numeri, con il metodo della fattorizzazione, si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano fra di loro tutti i fattori comuni presi ciascuno una sola volta e con il più piccolo esponente.

Per calcolare il m.c.m. fra due o più numeri, con il metodo della fattorizzazione, si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano fra di loro tutti i fattori comuni e non comuni presi ciascuno una sola volta e con l'esponente maggiore.