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Proprietà delle operazioni aritmetiche negli insiemi numerici. |
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I
numeri 0 e 1 nelle quattro operazioni
Esaminiamo adesso il comportamento nelle quattro operazioni di due numeri
particolari: 0 e 1.
L'addizione e lo 0
Consideriamo 7 + 0 = 0 + 7 = 7
Osserviamo che la somma di due addendi di cui uno è 0 è uguale all'altro addendo,
cioè un qualsiasi numero naturale addizionato a 0 rimane invariato. .
Diciamo che lo 0 è l'elemento neutro dell'addizione e scriviamo: a +
0 = 0 + a = a
La sottrazione e lo 0
Consideriamo le seguenti sottrazioni: 4 - 0 = 4 ; 0 - 7 = - 7
Osserviamo che se lo zero è il sottraendo si comporta come elemento neutro,
lascia cioè invariato il minuendo. Se invece lo zero è il minuendo, la sottrazione
è impossibile nell'insieme dei numeri naturali.
Complessivamente quindi lo zero non è elemento neutro per la sottrazione.
La moltiplicazione e lo 0
Consideriamo 7 x 0 = 0 x 7 = 0
Osserviamo che il prodotto di due numeri di cui almeno uno è 0 è sempre uguale
a 0.
Si dice che lo zero assorbe il risultato della moltiplicazione.
Diciamo che lo 0 è l'elemento assorbente della moltiplicazione e scriviamo:
a x 0 = 0 x a = 0
La divisione e lo 0
Un po' più complesso è il comportamento dello zero nella divisione.
a) Dividendo e divisore siano nulli: 0 : 0 = ?
Secondo il concetto di divisione il quoziente deve essere quel numero che moltiplicato
per 0 ci dia ancora 0. Per quanto detto sopra, qualsiasi numero moltiplicato
per 0 ci dà 0, allora possiamo scrivere: 0 : 0 = 0, 1, 2, 3, ..., 10, ..., 27,
... qualsiasi numero.
Si dice che la divisione 0 : 0 è indeterminata.
b) Il dividendo è nullo: 0 : 3 = 0
Dobbiamo trovare quel numero che moltiplicato per 3 ci dia sempre 0; sappiamo
che questo numero deve essere 0
Possiamo quindi scrivere 0 : a = 0. Si
dice che la divisione è nulla.
c) Sia 0 il divisore: 2 : 0=?
Quale sarà quel numero che moltiplicato per 0 ci potrà dare 2? Non esiste alcun
numero che soddisfi simile condizione.
Si dice che la divisione a : 0 è impossibile.
L'addizione, la sottrazione e il numero 1
Nessun comportamento particolare assume il numero 1 in queste due operazioni.
La moltiplicazione e 1'1
Consideriamo le seguenti moltiplicazioni: 2 x 1 =1 x 2 = 2
Osserviamo che il prodotto di due fattori, di cui uno è l'unità, è uguale all'altro
fattore. Cioè un qualsiasi numero naturale moltiplicato per 1 rimane invariato.
Diciamo che il numero 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione e
scriviamo: a x l = l x a = a
La divisione e il numero 1
Consideriamo le seguenti divisioni: 2 : 1 =2 1 : 2 = ?
Osserviamo che se l' 1 è divisore, si comporta come elemento neutro, lascia
cioè invariato il dividendo.
Se invece l' l è il dividendo la divisione è impossibile nell'insieme dei numeri
naturali.
Complessivamente quindi il numero 1 non è elemento neutro per la divisione.
Prova del 9 delle quattro operazioni